Eindexamen wiskunde A havo 2001 tijdvak 1 (wiskunde A1,2)

opgave 1Opgave 1 Misdrijven

Elk jaar worden in Nederland veel misdrijven gemeld. Deze variëren van het

van een chocoladereep tot het plegen va

Misdrijven worden gemeld bij het Openbaar Ministerie (OM). Het

over de (even

In fig

figuur 1

fietsdiefstal vernieling diefstal overige bedreiging zakkenrollerij mishandeling diefstal uit auto inbraak doorrijden na ongeval 171 135 128 122 111 73 62 51 47 36 per ..... seconden een misdrijf

De getallen langs de horizontale as geven voor elke categorie aan hoeveel seco

er gemiddeld tussen

Je kunt bijvoorbeeld aflezen dat in 1996 in Nederla

Let op: 1996 was een schrikkeljaar en had dus 3

14p

Toon aan dat er in 1996 ongeveer 670 000 keer een f ets

Als je de staafjes en de getallen in figuur 1 b

van links naar rechts zijn de getallen steeds kleiner;

van links naar rec

23p

aantal misdrijven hoort.

In drie van de 10 categorieën misdrijven komt het woord diefsta voor, nam

’fietsdiefstal’, ’diefstal overige’ en ’diefstal uit auto’.

Je kunt deze drie categorieën samenvoegen tot één (nieu

Je moet dan de drie bijbehorende staafjes vervangen door é

34p

Bij veel gemelde misdrijven is er geen verdachte aangewezen. Is er geen verd

dan komt er ook geen strafzaak

informatie over de manie

!" #$"% "&’( & ) #$"% "’( *"+ , -+ , !+ , %".+ ,

44p

Bereken hoeveel procent van alle 242 100 strafzaken tot een geldboete leidde

Het a

In 1990 werden 50 000 strafzaken met een transactie afgehandeld. In 1996 ware

er al 62 200.

Neem aan dat het

55p

opgave 2Opgave 2 Verwarming

Om een kamer goed te kunnen v

capaciteit hebben. Een grote kamer heeft natuurlijk een radiator met een groter

capaciteit nodig dan een kleine kamer.

De verwarmingsinstallateur bepaalt aan de hand v

cap v n

gegeven in m³ de capaciteit van een diator in Watt.

tabel 1

/ & . 1 " 1 . 1 " 1 . 1 " 1 0 & 1 . . . 1

85 × 40 = 3400 Watt nodig is.

Iemand heeft nog de oude radiator die geschikt was om de kinderkame

Hij vraagt zich af of deze radiator geschikt is voor de vernieuwde badkamer.

De kinderkamer van 30 m³ was op de begane grond en had één buitenmuur.

De badkamer op de eerste verdieping is we kleiner, de inho

zijn twee buitenmuren. En in een badkamer moet het iets war

65p

Heeft de oude radiator vo doende capaciteit? Licht je antwoord toe.

Vaak worden grafieken gebruikt in plaats van tabellen. De installateur kan dan

aflezen hoevee capaciteit een radiator moet hebben. Het is mogelijk om met

van tabel 1 zulke grafieken te maken. In figuur 3 is een dee

figuur 3

12000 capaciteit in Watt 11000 10000 9000 8000 7000 6000 5000 4000 3000 2000 1000 0 0 25 50 75 100125150175200 inhoud in m3

In de figuur ontbreekt het deel voo

74p

met één buitenmuur op de begane grond.

Een installatiebureau gebru kt formules om de benodigde capaciteit uit te

De formule eldt voor vert ken waarvan de inhoud n et groter is dan 200 m³.

C = –0,12 · I² + 70 · I + 315 met I de inhoud in m³ en C de capaciteit

De afgeleide van deze formule is ook alleen geldig voor vertrekken me

van hoogstens 200 m³.

86p

Toon aan met behu p

opgave 3Opgave 3 De kleurenblinde en de glasbak

Ongeveer een half miljoen Nederlanders is kleurenblind. Een kleurenblinde ziet (bijna) geen verschil tussen (bepaalde) kleuren. Gekleurde flessen zijn groen of bruin. Sommige kleurenblinden zien geen verschil tussen groen en bruin. Zij staan met hun lege flessen voor de glasbak en weten niet of ze een gekleurde fles in het gat voor groen glas of in het gat voor bruin glas moeten gooien. tekening Peter is kleurenblind. Hij kan de groene en de bruine flessen niet van elkaar onderscheiden.Als Peter met zijn lege flessen bij de glasbak komt, gooit hij de witte flessen altijd in het juiste gat. Bij een gekleurde fles kiest hij aselect tussen het gat voor groen en het gat voor bruin. De kans dat een groene of bruine fles in het goede gat terechtkomt is dus 0,5. Peter brengt 100 lege flessen naar de glasbak. De helft van zijn flessen is van wit glas. Bij de andere helft zijn zowel groene als bruine flessen.

Laat zien dat naar verwachting 75 van de 100 flessen in het goede gat terechtkomen.

Uit vraag 9 volgt: de kans dat een fles in het goede gat terechtkomt is 75% als Peter de witte flessen altijd goed gooit en bij elke gekleurde fles aselect kiest tussen het gat voor groen en het gat voor bruin. Uit onderzoek is gebleken dat van de flessen in de glasbak 50% wit, 40% groen en 10% bruin is. Neem aan dat dit ook voor de flessen van Peter geldt. Je kunt het gooien van de flessen in de glasbak weergeven met een boomdiagram. figuur 4 Zie figuur 4. wit Peter kan de kans dat hij een fles in het goede gat gooit, hoger krijgen dan 75%. Hij gooit de witte flessen allemaal in het goede gat. Hij concludeert uit het onderzoek dat van de gekleurde flessen 4/5 deel groen en 1/5 deel bruin is. In die verhouding gaat hij de gekleurde flessen in de gaten gooien. Elke gekleurde fles heeft dan kans 4/5 om in het komen. gat voor groen terecht te komen en kans 1/5 om in het gat voor bruin terecht te

Bereken voor deze werkwijze de kans dat een willekeurige fles in het goede gat terechtkomt. Er bestaan nog betere werkwijzen voor Peter. In zo’n werkwijze is de kans dus nog groter dat een fles in het goede gat terechtkomt.

Geef een voorbeeld van zo’n werkwijze en toon aan dat deze beter is.

opgave 4Opgave 4 Schoenveters

De meeste schoenen worden met veters dichtgemaakt. De schoen heeft dan twee rijen gaatjes waar een veter doorheen gehaald moet worden.Als je daarna een knoop legt in de overblijvende stukken, zit de schoen dicht. In deze opgave bekijken we drie manieren om schoenveters te rijgen:Amerikaans (zigzag), Europees (recht) en Schoenverkoper (snel). Zie figuur 5. figuur 5 Voor schoenen met drie paar gaatjes is er iets bijzonders aan de hand: twee van de drie manieren van rijgen geven hetzelfde resultaat.

Maak voor elk van de drie manieren van rijgen een schets, zoals in figuur 5, en laat daarmee zien welke twee manieren hetzelfde resultaat geven. Bij elk van de drie genoemde manieren van rijgen hoort een formule voor de benodigde veterlengte. Daarbij laten we het deel van de veter waar de knoop in komt buiten beschouwing, omdat dat deel voor elke manier van rijgen even lang is. Voor de veterlengte l gelden dan de volgende formules. Amerikaans: l = 4 + 2( n – 1) · d 2 + 16 Europees: l = 4( n – 1) + 2 d 2 + 16 + ( n – 2) · 4 d 2 + 16 Schoenverkoper: l = 4( n – 1) + ( n – 1) · d 2 + 16 + ( n – 1) 2 · d 2 + 16

Hierbij is n het aantal paren gaatjes en d de afstand tussen de opeenvolgende gaatjes. De veterlengte l en de afstand d zijn in centimeters.Voor de formules is de afstand tussen de linker- en rechtergaatjes op 4 cm gesteld. De formules gelden voor schoenen met ten minste twee paar gaatjes. Ga uit van een schoen met acht paar gaatjes, waarbij de afstand tussen de opeenvolgende gaatjes 1,8 cm is.

Bereken het verschil in veterlengte l tussen de manieren Europees en Schoenverkoper. Een fabrikant maakt een model schoenen in de maten 38 tot en met 45. Om de veters te rijgen gebruikt hij de Amerikaanse manier. Voor schoenmaat 38 geldt n = 6 en d = 1,5. De totale afstand tussen het eerste paar en het laatste paar vetergaatjes is dan 7,5 cm. Bij een grotere schoenmaat moet die afstand 9 cm worden. Daarvoor kan de fabrikant kiezen uit twee mogelijkheden: I één paar vetergaatjes erbij; II geen paar vetergaatjes erbij, maar de afstand d vergroten.

Bereken het verschil in veterlengte l tussen beide mogelijkheden. Naar aanleiding van het resultaat van vraag 14 besluit de fabrikant het model in elke maat met 6 paar vetergaatjes te maken (dus n = 6).Voor de fabrikant wordt de formule dan: Amerikaans: l = 4 + 10 d 2 + 16 Om de stevigheid rond de voet te garanderen bij grotere schoenmaten maakt de fabrikant de afstand tussen de vetergaatjes volgens tabel 2. tabel 2 Schoenmaat 38 39 40 41 42 43 44 45 d (in cm) 1,5 1,6 1,7 1,8 1,9 2,0 2,1 2,2 Voor een fatsoenlijke knoop is bij dit type schoen ten minste 42 cm extra veter nodig.

Onderzoek bij welke schoenmaten je een veter van 90 cm kunt gebruiken. Licht je antwoord toe. Voor de andere twee manieren om schoenveters te rijgen, luiden de formules voor de veterlengte van schoenmodellen met zes paar vetergaatjes ( n = 6) als volgt: Europees: l = 20 + 2 d 2 + 16 + 4 4 d 2 + 16 Schoenverkoper: l = 20 + 5 d 2 + 16 + 25 d 2 + 16 De fabrikant wil zo kort mogelijke veters in de schoenen doen, want kortere veters zijn goedkoper. Daarbij zijn er drie mogelijke manieren van rijgen:Amerikaans, Europees en Schoenverkoper.

Is er een manier van rijgen die voor alle schoenmaten van tabel 2 het goedkoopst is? Zo ja, welke? Licht je antwoord toe.

opgave 5Opgave 5 Casino

Holland Casino exploiteert in

cijfers uit het jaarverslag ov 95.

figuur 6

Aantal bezoekers (x1000) per casino Gemiddelde uitgaven in guldens per bezoeker f50 f100 f150 Amsterdam 176 Valkenburg c hevenin 66 g 44 e 66 n Sch 11 i 44 p 66 hol Am 8833 s 11 terdam Breda 166 172 S ort Nijmegen n d v o 229900 V a lk 159 Z a 338833 e n Rotterdam E in d 228811 gr u b 157 h o v e n G ro ninge 22 n 9944 Rotter 66 d 33 a 99 m N 44 ij 11 m 11 egen 442277 Br e d a G Ei r n o d n h in o g v e e n n 145 155 Zandvoort 137 Scheveningen 130 Schiphol Totaal aantal bezoekers: 4348000 29

In deze figuur lezen we onder andere dat Nederlands grootste casino, het ca

Amsterdam, dat jaar 831 000 bezoekers trok. Zij gaven daar gemiddeld 176 g

Dat is vrij veel, want in heel N

175p

inderdaad ongeveer 153 gulden was.

In het weekend is het in de casino’s het drukst. Ruim 22% van alle be

zaterdag. We gaan er van uit dat

casino normaal verdeeld is met een gemiddelde van 3500 bezoekers en een

standaardafwijking van 350 bezoekers.

Als er meer dan 3000 bezoekers zijn, noemt de bedrijfsleid

185p