bij dit examen
FORMULEBLAD Vuistregels voor de grootte van het verschil van twee groepen a b 2 × 2-kruistabel , met c d waarin a , b , c en d absolute aantallen zijn − als phi < − 0,4 of phi > 0,4 , dan zeggen we “het verschil is groot” − als − 0,4 ≤ phi < − 0,2 of 0,2 < phi ≤ 0,4 , dan zeggen we “het verschil is middelmatig” − als − 0,2 ≤ phi ≤ 0,2 , dan zeggen we “het verschil is gering” Maximaal verschil in cumulatief percentage ( max V cp ) (met voor beide groepen een steekproefomvang n > 100 ) − als max V cp > 40 , dan zeggen we “het verschil is groot”, − als 20 < max V cp ≤ 40 , dan zeggen we “het verschil is middelmatig”, − als max V cp ≤ 20 , dan zeggen we “het verschil is gering”. X 1 − X 2 Effectgrootte E = , met X 1 en X 2 de steekproefgemiddelden ½ ( S 1 + S 2 ) ( X 1 ≥ X 2 ), S 1 en S 2 de steekproefstandaardafwijkingen − als E > 0,8 , dan zeggen we “het verschil is groot”, − als 0,4 < E ≤ 0,8 , dan zeggen we “het verschil is middelmatig”, − als E ≤ 0,4 , dan zeggen we “het verschil is gering”. Twee boxplots vergelijken − als de boxen 1) elkaar niet overlappen, dan zeggen we “het verschil is groot”, − als de boxen elkaar wel overlappen en een mediaan van een boxplot buiten de box van de andere boxplot ligt, dan zeggen we “het verschil is middelmatig”, − in alle andere gevallen zeggen we “het verschil is gering”. noot 1 De ‘box’ is het interval vanaf het eerste kwartiel tot en met het derde kwartiel.
opgave 1‘Ff me telefoon opladen’
Op de foto zie je een telefoon waarvan
het batterijpercentage 73% is. Daarmee
wordt bedoeld dat de batterij van de
telefoon voor 73% is opgeladen. Wanneer
het batterijpercentage van een telefoon
lager is dan 100%, kan de telefoon worden
opgeladen met behulp van een oplader.
Zo’n oplader levert een bepaald vermogen
in watt (W). Welk vermogen op een
bepaald moment door de oplader wordt
geleverd, hangt af van het type telefoon en
het batterijpercentage dat de telefoon op dat moment heeft.
In de figuren 1 en 2 zie je de grafieken die horen bij twee types telefoons
(PRO 5 en PRO 6). Op de horizontale as staat de tijd vanaf het moment
dat de lege telefoon aan de oplader gelegd wordt.
Op de uitwerkbijlage is figuur 1 vergroot afgebeeld, waarbij de
doorgetrokken grafiek en de bijbehorende linkeras zijn weggelaten.
Het batterijpercentage van de PRO 5 neemt in de eerste 30 minuten
lineair toe. Als het batterijpercentage op dezelfde manier zou blijven
toenemen, dan is de totale oplaadtijd (van 0 tot 100%) korter dan nu af te
lezen is uit figuur 1.
13puitwerkbijlageTabellen en grafieken lezen en gebruiken 2p · Lineaire functies 1p
Bepaal door te tekenen in de figuur op de uitwerkbijlage hoeveel minuten
de totale oplaadtijd in dat geval zou zijn. Geef je antwoord in hele
minuten.
Djimon heeft een PRO 5 en Sasha heeft een PRO 6. Ze leggen hun
telefoons op hetzelfde moment aan de oplader. Sasha’s telefoon had op
dat moment een batterijpercentage van 10%. Beide telefoons bereiken na
verloop van tijd op precies hetzelfde moment een batterijpercentage van
90%.
24puitwerkbijlageTabellen en grafieken lezen en gebruiken 4p
Bepaal voor hoeveel procent de batterij van Djimon opgeladen was op het
moment dat zijn telefoon aan de oplader gelegd werd. Je kunt hierbij
gebruikmaken van de figuren op de uitwerkbijlage. Geef je antwoord in
hele procenten.
Het eerste stuk van de gestippelde grafieken in figuur 1 en figuur 2 is voor
zowel de PRO 5 als de PRO 6 te beschrijven door een formule van de
vorm B = c ⋅ t, waarbij B het batterijpercentage in procenten is, t de tijd in
minuten en c een getal.
32puitwerkbijlageTabellen en grafieken lezen en gebruiken 1p · Lineaire functies 1p
Onderzoek of het getal c bij de PRO 5 groter is dan bij de PRO 6. Je kunt
hierbij gebruikmaken van de figuren op de uitwerkbijlage.
In de laatste twee onderdelen van deze opgave kijken we naar het
vermogen dat de oplader levert.
In figuur 1 is te zien dat de oplader van de PRO 5 de eerste 15 minuten
zijn maximale vermogen van 17 W levert. Na deze eerste 15 minuten
daalt het geleverde vermogen bij benadering exponentieel. Op de
uitwerkbijlage is figuur 1 vergroot afgebeeld, waarbij de gestippelde
grafiek en de bijbehorende rechteras zijn weggelaten.
45puitwerkbijlageExponentiële functies en groei 4p · Tabellen en grafieken lezen en gebruiken 1p
Bereken met de gegevens bij 20 en bij 85 minuten met hoeveel procent
per minuut het geleverde vermogen van de oplader van de PRO 5
afneemt. Je kunt hierbij gebruikmaken van de figuur op de uitwerkbijlage.
Geef je antwoord in hele procenten.
Als de telefoons van Sasha en Djimon beide vanaf een batterijpercentage
van 0% 90 minuten aan de oplader worden gelegd, dan hoeft de oplader
van Sasha minder vermogen te leveren dan die van Djimon.
opgave 2Leerkrachten basisonderwijs
In 2017 werd er gestaakt door leerkrachten in het basisonderwijs. Er was
sprake van aanhoudende onvrede over onder meer het salaris en de
werkdruk. In deze opgave wordt met ‘leerkrachten’ telkens ‘leerkrachten in
het basisonderwijs’ bedoeld.
Leerkrachten verdienden in 2015 gemiddeld een bruto-uurloon van
26 euro. Daarmee verdienden zij 14 procent minder dan werknemers
buiten het onderwijs met hetzelfde opleidingsniveau.
63pProcenten, verhoudingen en eenheden 3p
Bereken het gemiddelde bruto-uurloon in 2015 van werknemers buiten het
onderwijs met hetzelfde opleidingsniveau. Geef je antwoord in een geheel
aantal euro’s.
In een enquête in 2017 kregen leerkrachten onder meer de volgende drie
vragen voorgelegd:
1 Moet u erg snel werken?
2 Moet u heel veel werk doen?
3 Moet u extra hard werken?
Zij konden steeds antwoorden met: ‘nooit’, ‘soms’, ‘vaak’ of ‘altijd’.
Bij deze vragen horen drie variabelen die elk kwalitatief en ordinaal zijn.
72pData presenteren en beoordelen 2p
Leg uit waarom de drie variabelen kwalitatief zijn. Leg ook uit waarom de
drie variabelen ordinaal zijn.
In het basisonderwijs werken veel parttimers. In de rest van deze opgave
kijken we naar de arbeidsduur per week van leerkrachten. Zowel in 2003
als in 2017 is hier onderzoek naar gedaan. We nemen aan dat er in 2003
en in 2017 een aselecte steekproef is getrokken uit alle leerkrachten die
toen werkzaam waren. In de steekproeven is van elke leerkracht zijn of
haar arbeidsduur in uur per week bekend. De steekproefresultaten zijn
verwerkt in de figuur op de volgende pagina.
figuur Arbeidsduur per week
Uit de figuur kun je bijvoorbeeld afleiden dat in 2017 bij de mannen de
steekproefproportie die voltijds werkt 0,6 is.
Veronderstel dat het 95%-betrouwbaarheidsinterval voor de bijbehorende
populatieproportie precies [0,58; 0,62] is.
94pProcenten, verhoudingen en eenheden 3p · Tabellen en grafieken lezen en gebruiken 1p
Geef een getallenvoorbeeld waaruit blijkt dat dit niet noodzakelijk waar
hoeft te zijn. Licht je antwoord toe.
We kijken in het laatste onderdeel van deze opgave naar het verschil in
arbeidsduur voor mannen en vrouwen die als leerkracht werken.
In een steekproef onder leerkrachten in 2021 was de gemiddelde
arbeidsduur voor de mannen 31,2 uur per week met een
standaardafwijking van 8,3. De vrouwen werkten gemiddeld 27,2 uur per
week met een standaardafwijking van 7,6. Vaak wordt beweerd dat er een
groot verschil bestaat in de arbeidsduur per week voor mannen en
vrouwen die als leerkracht werken. Bovenstaande gegevens over
gemiddelden en standaardafwijkingen in combinatie met de vuistregels op
het formuleblad leiden echter tot een andere conclusie, namelijk dat het
verschil middelmatig is.
opgave 3Hart-lopen
Tijdens het hardlopen gaat je hartslag omhoog. Maar als die heel hoog
oploopt, werkt je hart niet meer optimaal. Daarom is het van belang om
rekening te houden met je maximale hartslag. De maximale hartslag is
onder andere afhankelijk van je leeftijd en je geslacht.
In deze opgave kijken we naar de hartslag van volwassen mannen.
Er zijn verschillende formules om de maximale hartslag te berekenen,
bijvoorbeeld voor ongetrainde en getrainde mannen:
Mgetraind = 205,8 − 0,685 ⋅ L
Hierin is M de maximale hartslag in aantal slagen per minuut en L de
leeftijd in hele jaren.
De hartslag geeft je belangrijke informatie
tijdens een training. Met behulp van een
sporthorloge kun je je hartslag tijdens de
training in de gaten houden.
De tabel geeft voor diverse soorten
trainingen advies over de hartslag die je
tijdens die training zou moeten aanhouden.
tabel
Hans is een getrainde man van 48 jaar, houdt een rustige duurtraining en
volgt daarbij het advies uit de tabel op.
113pProcenten, verhoudingen en eenheden 2p · Rekenen met een gegeven formule 1p
Bereken welke waarden van de hartslag er voor Hans mogelijk zijn
waarbij hij zich houdt aan het advies. Geef de waarden in een geheel
aantal slagen per minuut.
De formules voor de maximale hartslag voor ongetrainde en getrainde
mannen verschillen. Je kunt je afvragen bij welke leeftijden ze meer dan
5 slagen per minuut verschillen.
125pFormules en vergelijkingen opstellen 2p · Vergelijkingen en snijpunten met de GR oplossen 2p · Ongelijkheden oplossen 1p
Onderzoek bij welke leeftijden dit het geval is.
De Engelse fysioloog Hill stelde dat de hardloopprestatie wordt bepaald
door de maximale zuurstofopname Z van het lichaam, uitgedrukt in het
aantal milliliters per minuut per kilogram lichaamsgewicht (ml/min per kg).
Een formule waarmee Z bij benadering kan worden bepaald is:
Hierin is M de maximale hartslag en R de hartslag in rust, beide in aantal
slagen per minuut.
Een marathon is een hardloopwedstrijd over 42,195 km. De gemiddelde
snelheid v waarmee een hardloper een marathon kan lopen, is afhankelijk
van Z. Deze gemiddelde snelheid v (in km/uur) kan berekend worden met
de volgende formule:
Als twee mannen dezelfde hartslag in rust hebben, dan kun je met behulp
van de formules 3 en 4 beredeneren dat de persoon met een hogere
maximale hartslag een snellere tijd kan lopen op de marathon dan de
persoon met een lagere maximale hartslag.
133pRedeneren en uitleggen in de context 3p
Geef deze redenering zonder gebruik te maken van getallenvoorbeelden.
Jan, die een marathon gaat lopen, heeft een maximale hartslag van
190 slagen per minuut en een hartslag in rust van 60 slagen per minuut.
144pRekenen met een gegeven formule 2p · Procenten, verhoudingen en eenheden 2p
Bereken met behulp van de formules 3 en 4 de tijd die hij op de marathon
gaat lopen. Geef je antwoord in gehele minuten.
Met behulp van de formules 3 en 4 is de volgende formule af te leiden
voor de gemiddelde snelheid die een hardloper kan lopen op een
marathon:
Vervolgens is er met behulp van de formules 2 en 5 een formule af te
leiden die voor een getrainde man v uitdrukt in L en R. Deze formule is te
schrijven in de vorm:
Hierin zijn a en b getallen.
opgave 4Heel Holland Bakt
Zonnebrandcrème, in deze opgave
kortweg crème, beschermt de huid
tegen verbranding door de zon. De
mate van bescherming die een crème
biedt, wordt aangegeven met de
zogenoemde beschermingsfactor, in
deze opgave kortweg factor. Hoe hoger
de factor van de crème, hoe beter de
bescherming tegen de zon.
In een onderzoek werd de volgende stelling voorgelegd aan een aselecte
steekproef uit de populatie ouders van jonge kinderen:
Als je je insmeert met een crème met factor 50,
dan kun je niet meer verbranden.
De steekproef bevatte 410 mannen en 611 vrouwen. De onderzoeker was
benieuwd in hoeverre er verschil zou zijn tussen de reacties van mannen
en vrouwen. In de steekproef waren 74 mannen en 79 vrouwen het eens
met de stelling.
164pStatistische uitspraken en groepen vergelijken 4p
Onderzoek of de 95%-betrouwbaarheidsintervallen voor de
populatieproportie mannen en vrouwen die het eens zijn met de stelling
elkaar overlappen.
Met behulp van het formuleblad kunnen we onderzoeken of het verschil
tussen mannen en vrouwen wat betreft het wel of niet eens zijn met de
stelling gering, middelmatig of groot is.
174pStatistische uitspraken en groepen vergelijken 3p · Procenten, verhoudingen en eenheden 1p
Voer dit onderzoek uit.
Zonlicht bevat uv A-straling die diep in de huid kan doordringen en daar
schade kan aanrichten. Door crème te gebruiken wordt een deel van die
straling geblokkeerd. Voor het percentage P van de uv A-straling dat
geblokkeerd wordt, geldt:
, waarbij
F de factor van de crème is.
In de figuur op de volgende pagina is de grafiek afgebeeld die bij de
formule hoort.
figuur
In de figuur is te zien dat de bescherming tegen uv A-straling toeneemt
als de waarde van F toeneemt.
183pRedeneren en uitleggen in de context 3p
Beredeneer aan de hand van de formule dat de bescherming tegen
uv A-straling toeneemt als de waarde van F toeneemt, zonder gebruik te
maken van getallenvoorbeelden.
203pFormules herleiden en omwerken 3p
Herleid de formule voor P tot een vorm waarin F wordt uitgedrukt in P.
Het is zo dat een crème met factor 30 twee keer zo lang tegen
zonnebrand beschermt als een crème met factor 15.
opgave 5Over koetjes en kalfjes
Op melkveebedrijven wordt onderscheid gemaakt tussen jongvee en
volwassen melkkoeien. Binnen het jongvee wordt nog onderscheid
gemaakt tussen kalveren en pinken.
De grootte van een melkveebedrijf wordt uitgedrukt in het aantal
grootvee-eenheden (GVE). In de tabel staat voor hoeveel GVE een dier
van een bedrijf meetelt.
tabel
In de periode 2005-2016 zijn melkveebedrijven gemiddeld genomen
steeds groter geworden. Vanaf 2005 is het gemiddeld aantal volwassen
melkkoeien per melkveebedrijf in Nederland jaarlijks met 3,75% gestegen
tot 99 in 2016. Tegelijkertijd steeg het gemiddeld aantal GVE per bedrijf
van 84 in 2005 tot 126 in 2016.
Neem aan dat er op elk bedrijf altijd evenveel kalveren als pinken waren.
