Eindexamen wiskunde B havo 2003 tijdvak 2 (wiskunde B1,2)

opgave 1Lichaam met zeven vlakken

In figuur 1 is een balk ABCD.EFGH getekend. Het grondvlak ABCD is een vierkant met een zijde van 3 cm. De ribbe CG is 4 cm lang. Door uit de balk de twee piramides B.EFG en D.EHG weg te halen, ontstaat het in figuur 2 getekende lichaam ABCD.EG . figuur 1 figuur 2 Op de bijlage is een begin van de uitslag van dit lichaam ABCD.EG getekend.

→ Maak de tekening van de uitslag af. De hoek die het vlak BEG met het grondvlak ABCD maakt is α .

→ Bereken α in gehele graden nauwkeurig. Het lichaam wordt op halve hoogte figuur 3 evenwijdig aan het grondvlak doorsneden. In figuur 3 is deze horizontale doorsnede KLMNOP getekend. Op de bijlage is het bovenaanzicht van het lichaam getekend.

→ Teken in dit bovenaanzicht deze doorsnede. Zet de letters K , L , M , N , O en P erbij. Door het lichaam op steeds grotere hoogten evenwijdig aan het grondvlak te doorsnijden, ontstaan horizontale doorsneden waarvan de oppervlaktes steeds meer van de oppervlakte van het vierkant ABCD afwijken.

opgave 2Vierkant

Op het interval [0, 1] is gegeven de functie f ( x ) = 1 − x 2 . De grafiek van f snijdt de lijn y = x in een punt T .

→ Bereken de coördinaten van T . Rond deze coördinaten af op drie decimalen. Op het interval [0, 1] is ook gegeven de figuur 4 functie g ( x ) = 1 − x 3 . Een verticale lijn met vergelijking x = p snijdt de grafieken van f en g in twee punten Q en R . Zie figuur 4.

→ Bereken met behulp van differentiëren voor welke waarde van p , met 0 < p < 1, de lengte van QR maximaal is. Op het interval [0, 1] is de functie h gegeven figuur 5 door h ( x ) = 1 – x 10 . De grafiek van h snijdt de x -as in A (1, 0) en de y -as in C (0, 1). De raaklijn aan de grafiek van h in het punt A snijdt de lijn y = 1 in het punt S . Zie figuur 5.

→ Bereken de coördinaten van S . Op het interval [0, 1] is de familie van functies k ( x ) = 1 − x n gegeven. Hierin is n een positief geheel getal. De functies f , g en h figuur 6 behoren tot deze familie. Hoe groter de waarde van n is, hoe meer de grafiek van k , aangevuld met de lijnstukken OA en OC , lijkt op een vierkant OABC . In figuur 6 zijn voor enkele waarden van n de grafieken van k met het vierkant OABC getekend. Voor elke waarde van n snijdt de raaklijn in het punt A aan de grafiek van k de lijn y = 1 in een punt S . Hoe groter n is, hoe kleiner de afstand SB is.

→ Bereken voor welke waarden van n de afstand SB kleiner is dan 0,001. Voor elke waarde van n snijdt de grafiek van k het lijnstuk OB in een punt T . Hoe groter n is, hoe dichter T bij punt B ligt.

opgave 3Hartfrequentie

Een schaatser doet een hardlooptest op een loopband. Na elke 300 meter die de schaatser

heeft afgelegd op de loopband wordt er overgeschakeld op een hogere snelheid. De eerste

300 meter loopt hij met een constante snelheid van 10,2 km per uur. Na elke 300 meter

wordt deze snelheid met 0,4 km per uur verhoogd. Een hartslagmeter registreert na elke 300

meter de hartfrequentie van de schaatser. De hartfrequentie van een mens is het aantal

slagen dat het hart per minuut maakt.

In figuur 7 zijn de resultaten van de hardlooptest weergegeven. Hierin is te zien dat de

eerste meetgegevens vrijwel op een rechte lijn liggen.

200 H 190 180 170 160 150 140 130 120 110 0 0 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 V

figuur 7

H is de hartfrequentie in slagen per minuut en V is de snelheid in km per uur.

Voor snelheden tussen 10 en 15 km per uur is het verband tussen V en H bijna lineair.

104p

Geef een formule van dit lineaire verband. Licht je werkwijze toe.

Een hardloper doet dezelfde test op de loopband. In figuur 8 zijn de resultaten

weergegeven.

200 H 190 180 170 160 150 140 130 0 0 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 V

figuur 8

De hartfrequentie waarbij het lineaire verband verloren gaat, heet het omslagpunt. Voor de

hardloper van figuur 8 ligt het omslagpunt bij een hartfrequentie van ongeveer 190 slagen

per minuut. Bij een grotere inspanning is het hart minder goed in staat om voldoende slagen

te maken.

Het verband tussen V en H wordt voor de hardloper bij benadering gegeven door de

volgende twee formules:

H = 76,8 + 6,6 V

voor 11 ≤ V ≤ 17

H = 200 − (0,0545 V − 0,836)⁻¹ voor V ≥ 17

De grafiek van het verband tussen V en H bestaat voor de hardloper uit twee delen die in het

omslagpunt op elkaar aansluiten: beide formules geven bij V = 17 bij benadering dezelfde

waarde voor H.

115p

Onderzoek met behulp van differentiëren of de beide formules bij V = 17 ook ongeveer

dezelfde helling geven.

Ieder mens heeft zijn eigen maximale hartfrequentie.

Voor volwassenen geldt de volgende vuistregel: H_max = 220 − 0,9 L.

Hierin is H_max de maximale hartfrequentie en L de leeftijd in jaren met L ≥ 20.

De maximale snelheid die de hardloper op de loopband nog net 300 meter lang kan

volhouden, is 20 km per uur. Bij deze maximale snelheid bereikt hij ook de maximale

hartfrequentie.

124p

Onderzoek wat de leeftijd van deze hardloper is volgens de gegeven formules en de

vuistregel.

opgave 4Een logaritmische functie

133p

Bereken het domein van f.

De grafiek van f heeft een top.

144p

Bereken met behulp van differentiëren de exacte waarde van de x-coördinaat van deze top.

opgave 5Compactheid

figuur 9 gebouw A figuur 10 In de figuren 9 en 10 zijn schematische voorstellingen van twee gebouwen A en B getekend. Gebouw A heeft de vorm van een balk van 3 bij 3 bij 6 ½ ; de oppervlakte van gebouw A (zijvlakken, grondvlak en bovenvlak) is 96 en de inhoud 58,5. Gebouw B heeft de vorm van een piramide met de top midden boven het grondvlak; het grondvlak is 6 bij 6 en de hoogte is 4.

→ Laat met een berekening zien dat gebouw B dezelfde oppervlakte (inclusief grondvlak) heeft als gebouw A, maar dat de inhoud van beide gebouwen verschilt. Gebouw A is compacter gebouwd dan gebouw B: de verhouding tussen de inhoud en de oppervlakte van de buitenkant is bij gebouw A groter dan bij gebouw B. Bij gebouw A is deze verhouding = ≈ 0,609 ; bij gebouw B is de uitkomst kleiner. Voor de compactheid van een gebouw vergelijkt men de oppervlakte (inclusief grondvlak) van de buitenkant van het gebouw met de oppervlakte van een bol met dezelfde inhoud. In de bouw wordt de compactheid van een gebouw via de volgende vier stappen berekend: I Van het gebouw worden de oppervlakte en de inhoud berekend. II Van de bol die dezelfde inhoud heeft als het gebouw, wordt de straal berekend. III Van deze bol wordt de oppervlakte berekend. IV De compactheid C wordt tenslotte berekend met de formule C = oppervlakte oppervlakte gebouw bol Een bol met straal r heeft inhoud 4/3 π r 3 en oppervlakte 4 π r 2 .

→ Laat met een berekening via deze vier stappen zien dat voor gebouw A geldt C ≈ 0,759. De compactheid C kan ook direct uitgedrukt worden in de inhoud I en de oppervlakte O van het gebouw. Bij benadering geldt de formule Hierin is I de inhoud en O de oppervlakte van het gebouw.

→ Toon met behulp van de formule C = aan dat de compactheid van een kubus met ribbe k bij benadering gelijk is aan 0,81 voor elke positieve waarde van k .

In figuur 11 is een huis getekend. Het heeft figuur 11 de vorm van een recht prisma. Het huis is 6 meter breed en 10 meter lang. De hoogte van de zolderverdieping is 4 meter. De nok ligt midden boven het grondvlak. De hoogte van de beneden- verdieping is gelijk aan x meter. De compactheid van dit huis hangt af van de waarde van x . De oppervlakte (in m 2 ) van dit huis is 184 + 32 x . Ook de inhoud (in m 3 ) van dit huis kan uitgedrukt worden in x .