bronnen

Eindexamen wiskunde B havo 2004, tijdvak 1 (wiskunde B1,2)

opgave 1Kogelstoten

Kogelstoten is een onderdeel van de atletiek foto waarbij het doel is een zware kogel volgens een speciale techniek zover mogelijk weg te werpen; zie foto. Omdat dit veel kracht vereist, hebben kogelstoters een stevig postuur. Voor jonge ongetrainde mensen is vooral het lichaamsgewicht van invloed…

Kogelstoten is een onderdeel van de atletiek foto waarbij het doel is een zware kogel volgens een speciale techniek zover mogelijk weg te werpen; zie foto. Omdat dit veel kracht vereist, hebben kogelstoters een stevig postuur. Voor jonge ongetrainde mensen is vooral het lichaamsgewicht van invloed op de prestatie. Hoe zwaarder de persoon is, hoe verder er gegooid kan worden. Neem bijvoorbeeld de volgende resultaten van twee deelnemers aan een sportdag (zie tabel 1). Deelnemer André Bernard Gewicht (kg) 52,2 74,1 Afstand (m) 12,62 16,37 tabel 1 Bernard heeft verder gegooid dan André, maar hij is ook zwaarder. Om hun prestaties beter te kunnen vergelijken, rekent men de gegooide afstand om in een score. Daarvoor gebruikt men de volgende formule: S = A – k ⋅ ( G – 50) met A = de gegooide afstand in meters G = het lichaamsgewicht van de kogelstoter in kilogrammen k = een correctiefactor, te bepalen door de wedstrijdjury S = de score De resultaten van de omzetting van afstanden in scores met k = 0,1 voor André en Bernard staan in tabel 2. tabel 2 Deelnemer André Bernard Score bij k = 0,1 12,40 13,96

→ Onderzoek of Bernard ook bij k = 0,2 de hoogste score heeft. Er is een waarde van k waarbij André en Bernard een gelijke score hebben.
→ Bereken die waarde van k . Rond je antwoord af op drie decimalen. Bij een tweede manier om aan een afstand A een score T toe te kennen gebruikt men de ( 50 ) ⅔ formule: T = A ⋅ Deelnemer Cor haalde een afstand van 14,32 meter. Hij kreeg bij de eerste formule met k = 0,1 een score van 14,21.
→ Bereken de score van Cor volgens de tweede formule. Een kogelstoter met een gewicht van 101 kg heeft de kogel 15,71 meter ver gegooid. Bij de formule S = A − k ⋅ ( G − 50) hangt de waardering hiervoor af van de waarde van k .
→ Onderzoek bij welke waarden van k de formule voor S een lagere waardering geeft dan de formule voor T. Rond de grenswaarde af op drie decimalen.

opgave 2Trein

Jules heeft voor zijn verjaardag een elektrische trein gekregen. Op een houten plaat
bevestigt hij een treinbaan. Met behulp van zijn computer tekent Jules het model van de
treinbaan in een assenstelsel; zie figuur 1. Het model van de treinbaan bestaat uit
cirkelvormige delen met stralen van 30 cm en 50 cm.
y C 40 A P(x ,y ) P P 20 Start Wissel x 0 20 40 666000 80 100 120 140 111666000 -20 D -40 B
figuur 1
Een trein, die met een constante snelheid rijdt, legt in 24 seconden de volledige baan af
volgens de route: Start → A → Wissel → B → C → Wissel → D → Start.
54p
Bereken de snelheid van de trein.
De voorkant van de trein wordt in het computermodel voorgesteld door een punt P met
coördinaten (xP, yP). De waarden van xP en yP hangen af van de tijd t. Hierbij is t de tijd in
seconden vanaf het moment dat het punt P het startpunt O(0, 0) in figuur 1 passeert.
In de grafiek in figuur 2 is yP uitgezet tegen de tijd t waarbij t tussen 0 en 4,5 ligt. Deze
grafiek staat ook op de uitwerkbijlage.
figuur 2
60 y P 40 20 0 2 4 6 8 10 12 t (sec) -20 -40 -60
63p
Geef bij deze grafiek een bijbehorende formule. Licht je antwoord toe.
73puitwerkbijlage
Teken op de uitwerkbijlage voor de eerste 12 seconden na de start de grafiek van yP als
functie van de tijd t. Licht je werkwijze toe.

opgave 3Koffiefilter en koffiefilterhouder

In platgedrukte toestand (in de verpakking) heeft een filterzakje een vorm die ontstaat door uit een cirkelsector DMC de gelijkbenige driehoek AMB weg te laten (zie figuur 3 en 4). We gaan uit van de volgende afmetingen: AB = 6 cm, MB = 4,8 cm en BC = 10,5 cm. Plakrandjes laten we buiten…

In platgedrukte toestand (in de verpakking) heeft een filterzakje een vorm die ontstaat door uit een cirkelsector DMC de gelijkbenige driehoek AMB weg te laten (zie figuur 3 en 4). We gaan uit van de volgende afmetingen: AB = 6 cm, MB = 4,8 cm en BC = 10,5 cm. Plakrandjes laten we buiten beschouwing. figuur 3 figuur 4 ∠ CMD is, afgerond op een geheel aantal graden, gelijk aan 77°.

→ Toon dat aan. Een koffiefilter (zie figuur 4) wordt opengeknipt langs de zijden CB en BA en daarna opengevouwen om de zijde AD . Zo ontstaat er een uitslag van het koffiefilter. Op de uitwerkbijlage is een begin getekend van de uitslag van het koffiefilter, schaal 1 : 3.
→ Maak deze uitslag af. Laat in je tekening of door middel van een beschrijving duidelijk zien hoe je het aangepakt hebt. In figuur 5 is een model van een koffiefilter- figuur 5 houder getekend. De hoogte AF is 9,9 cm. De onderkant is het lijnstuk AB met een lengte van 6 cm. De bovenrand van de…

→ Maak deze uitslag af. Laat in je tekening of door middel van een beschrijving duidelijk zien hoe je het aangepakt hebt. In figuur 5 is een model van een koffiefilter- figuur 5 houder getekend. De hoogte AF is 9,9 cm. De onderkant is het lijnstuk AB met een lengte van 6 cm. De bovenrand van de houder heeft de vorm van een cirkel. Een filter wordt opengevouwen in de koffiefilterhouder geplaatst. We nemen aan dat daarbij de bovenste rand van het filter precies samenvalt met de bovenste rand van de filterhouder. De afstand tussen de punten C en D van het filter wordt bij het openvouwen natuurlijk kleiner.

→ Bereken de middellijn CD van de filterhouder. Geef je antwoord in centimeters, afgerond op één decimaal.
In figuur 6 is op een bepaalde hoogte de figuur 6 dwarsdoorsnede van de koffiefilterhouder getekend. Deze dwarsdoorsnede is een figuur die bestaat uit een rechthoek PQRS en twee halve cirkels met middellijnen PQ en RS . We nemen aan dat CD exact gelijk is aan 13 cm. In figuur 7 zijn (op schaal)…

In figuur 6 is op een bepaalde hoogte de figuur 6 dwarsdoorsnede van de koffiefilterhouder getekend. Deze dwarsdoorsnede is een figuur die bestaat uit een rechthoek PQRS en twee halve cirkels met middellijnen PQ en RS . We nemen aan dat CD exact gelijk is aan 13 cm. In figuur 7 zijn (op schaal) parallelle doorsneden getekend van de houder op 0%, 25%, 50%, 75% en 100% van de hoogte. figuur 7 0% 25% 50%

→ Bereken de oppervlakte van de dwarsdoorsnede op eenderde deel van de hoogte. Geef je antwoord in cm 2 .

opgave 4Zeehonden

In een artikel van 19 mei 2001 in de Volkskrant wordt de ontwikkeling van de
zeehondenpopulatie in de Nederlandse Waddenzee beschreven.
De grafiek in figuur 8 komt uit dit artikel.
figuur 8 Getelde zeehonden in de Nederlandse Waddenzee
Geschatte ontwikkeling op basis van de groei in de afgelopen twee jaren: Aantal gewone 17% per jaar zeehonden 3500 3000 2500 Duitse zeehonden doen Nederlandse populatie toenemen 1961: 2000 Einde jacht Vervuiling met…

Geschatte ontwikkeling op basis van de groei in de afgelopen twee jaren: Aantal gewone 17% per jaar zeehonden 3500 3000 2500 Duitse zeehonden doen Nederlandse populatie toenemen 1961: 2000 Einde jacht Vervuiling met op zeehonden PCB's en DDT 1500 verslechteren 1988 - 1989: conditie zeehond Virusepidemie 1000 500 0 1960 1965 1970 1975 1980 1985 1990 1995 2000 2005 2010 jaar

In het krantenartikel wordt gemeld dat er in 2000 en 2001 sprake is van een populatiegroei
van 17 procent per jaar. Neem bij de volgende twee vragen aan dat dit juist is.
Aan het eind van 2001 waren er ongeveer 3900 zeehonden.
123p
Bereken het aantal zeehonden aan het eind van 1999.
In hetzelfde krantenartikel wordt de volgende conclusie getrokken:
Bij voortzetting van de huidige exponentiële groei zal de maximale capaciteit van de
Waddenzee snel bereikt zijn. De maximale capaciteit van de Waddenzee is 16 000.
133p
Bereken in welk jaar deze maximale capaciteit bereikt wordt.
Het wiskundig model waarin de zeehondenpopulatie met een vast percentage per jaar zal
blijven groeien, is onwaarschijnlijk.
Daarom wordt een ander wiskundig model voor het aantal zeehonden voorgesteld.
Dit andere model wordt gegeven door de formule: A = (16000)/(1 + 3,84 ⋅ e − a t)
Hierin is A het aantal zeehonden, t de tijd in jaren vanaf eind 2000 en a een positieve
constante.
Dit laatste model stemt voor een bepaalde waarde van a overeen met het aantal van 3900
zeehonden dat eind 2001 geteld werd.
143p
Bereken deze waarde van a in drie decimalen nauwkeurig.

opgave 5Logaritmische functies

Gegeven is de functie f ( x ) = ln(4 – x ). figuur 9 De grafiek van f snijdt de lijn met vergelijking y = 2 in het punt A . Zie figuur 9.
→ Bereken algebraïsch de exacte waarde van de x -coördinaat van punt A . Gegeven is verder de functie figuur 10 g ( x ) = 2 ⋅ ln( x + 2) . In figuur 10 zijn de grafieken van de functies f en g getekend. De grafiek van g kun je krijgen uit de grafiek van y = ln( x ) door op deze laatste eerst een…

→ Bereken algebraïsch de exacte waarde van de x -coördinaat van punt A . Gegeven is verder de functie figuur 10 g ( x ) = 2 ⋅ ln( x + 2) . In figuur 10 zijn de grafieken van de functies f en g getekend. De grafiek van g kun je krijgen uit de grafiek van y = ln( x ) door op deze laatste eerst een verschuiving en daarna een vermenigvuldiging toe te passen.

→ Welke verschuiving en vermenigvuldiging zijn dat? Met domein –2 < x < 4 is de functie h gegeven door h ( x ) = f ( x ) + g ( x ). Het functievoorschrift van h kan geschreven worden als h ( x ) = ln(16 + 12 x − x 3 ) .
→ Toon dit algebraïsch aan. Op de grafiek van h ligt een punt B . figuur 11 In dit punt B is de richtingscoëfficiënt van de raaklijn aan de grafiek van h gelijk aan 2.
Zie figuur 11. → Bereken met behulp van differentiëren van h de x -coördinaat van B . Rond je antwoord af op twee decimalen.

opgave 6Vaas

In een reclamefolder van een warenhuis staat figuur 12
een afbeelding van een vaas (zie figuur 12).
De vaas bestaat uit twee delen. Elk deel heeft
de vorm van een afgeknotte kegel. De
onderste afgeknotte kegel is van doorzichtig
glas gemaakt. Het bovenste deel is van
matglas gemaakt (grijs gekleurd). Zowel het
doorzichtige als het matglazen deel rusten op
de grond.
De afmetingen van de twee delen zijn
dusdanig, dat het bovenste deel het onderste
helemaal afsluit.
figuur bij de opgave
In deze opgave verwaarlozen we bij de berekeningen de dikte van het glas.
In de onderstaande figuur zijn de afzonderlijke vooraanzichten van de twee onderdelen van
de vaas en een vooraanzicht van de vaas in zijn geheel weergegeven.
figuur 13
24 cm E 21 cm F G 4 cm
16 cm D C 21 cm B 24 cm
24 cm 16 cm D C 4 cm F G 24 cm
De diameters van de cirkels van grondvlak en bovenvlak zijn bij het onderste deel 24 cm en
16 cm.
Van het bovenste deel zijn deze diameters 4 cm en 24 cm.
De hoogte van het onderste deel is 21 cm.
Hieruit kan worden afgeleid dat de hoogte van de vaas 35 cm is.
194p
Toon dit aan.
206p
Bereken de hoek die AD en EF in het vooraanzicht met elkaar maken.
Geef je antwoord in graden en rond af op één decimaal.
De formule geeft het
πh
verband weer tussen r en R (de stralen van
het grond- en bovenvlak), h (de afstand
tussen grond- en bovenvlak) en V (het
volume) van de afgeknotte kegel; hierbij zijn
de afstanden in cm en het volume in cm3. Zie
figuur 14.
De ontwerpafdeling wil een vaas ontwerpen
waarbij voor de matglazen afgeknotte kegel
het volgende geldt:
• het volume is 5000 cm3
• de hoogte is 30 cm
figuur 14
R h r
• de straal van het bovenvlak is twee maal
zo groot als die van het grondvlak
214p
Bereken hoe groot r en R in deze situatie zijn.
Geef je antwoord in centimeters en rond af op één decimaal.
√(Einde)
Lees verder