bronnen

Eindexamen wiskunde B havo 2006, tijdvak 1 (wiskunde B1,2)

opgave 1Verkeersdichtheid

We gaan uit van de volgende (denkbeeldige) situatie (zie figuur 1).
Op een weg rijden auto’s met een snelheid van 80 kilometer per uur. De auto’s houden een
onderlinge afstand van 45 meter. De lengte van een auto is 4 meter. Per auto is dus 49 meter
snelweg nodig.
45 m 49 m
figuur 1
Langs deze weg staan borden met daarop de tekst: "Houd 2 seconden afstand".
13p
Onderzoek of in de gegeven situatie de auto’s hieraan voldoen.
De volgende vragen gaan over wegen met veel verkeer.
Als het drukker wordt op de weg, gaan de auto’s langzamer rijden en ook dichter op elkaar.
De verkeersdichtheid, dat is het aantal auto's per kilometer weg, neemt dus toe.
Voor het verband tussen de snelheid van het verkeer en de verkeersdichtheid stelde de
Amerikaanse verkeerskundige dr. Bruce Greenshields in 1935 de volgende formule op:
k = kmax ⋅ (1− (v)/(v)_m_a_x)
Hierbij is
v de snelheid van het verkeer in kilometer per uur,
vmax de snelheid van het verkeer in kilometer per uur als men niet door andere
automobilisten in zijn snelheid belemmerd wordt,
k de verkeersdichtheid en
kmax het maximale aantal auto’s per kilometer weg.
Bij een gegeven snelheid is de doorstroming q het aantal auto’s dat per uur een bepaald
punt passeert als ze zo dicht mogelijk op elkaar rijden. Zo dicht mogelijk betekent hier dat
de bestuurders de kleinste onderlinge afstand kiezen die nog voldoende verkeersveiligheid
garandeert.
Voor q geldt: q = v ⋅ k.
We gaan uit van de volgende situatie.
Op een weg is vmax gelijk aan 88. Het verkeer rijdt achter elkaar aan met een snelheid van
72 kilometer per uur. Alle auto’s zijn 4 meter lang. Er passen dus maximaal 250 auto’s op
een kilometer; in dit geval is kmax gelijk aan 250.
23p
Bereken de doorstroming q van deze weg.
De volgende vragen gaan over een snelweg met in beide richtingen twee rijstroken. Op elke
rijstrook is kmax gelijk aan 250 en vmax gelijk aan 160.
Met behulp van de gegeven formules k = kmax ⋅ (1− (v)/(v)_m_a_x) en q = v ⋅ k kan afgeleid worden
dat voor elke rijstrook van deze weg geldt: q = 250v −1,5625v2.
33p
Toon aan dat deze laatste formule uit de twee andere formules afgeleid kan worden.
De doorstroming q van een rijstrook hangt dus af van de snelheid waarmee gereden wordt.
43p
Bereken met behulp van differentiëren bij welke snelheid q het grootst is.

opgave 2Windsnelheid en hoogte

Op een bepaalde dag is in Vlaardingen op verschillende hoogtes de windsnelheid gemeten.
Uit de meetresultaten blijkt dat er bij benadering een lineair verband bestaat tussen de
windsnelheid W in m/s en de hoogte h in meter voor hoogten tussen 10 en 80 meter (zie
tabel 1). De formule W = a⋅h + b geeft dit lineaire verband.
^t^a^b^e^l^1 hW 110,2 120,6 23,01 24,05 530,0 360,4 37,09 48,03
54p
Bereken a en b met behulp van de gegevens in tabel 1.
Rond a af op drie decimalen en b op twee decimalen.
Onderzoek door weerkundigen naar windsnelheden op verschillende hoogtes en onder
verschillende omstandigheden heeft opgeleverd dat het verband tussen windsnelheid en
hoogte in het algemeen niet lineair is. Een betere formule is:
W = 5,76 ⋅ m ⋅ log ⎛⎜⎝(h)/(r)⎞⎟⎠
Hierin is:
• W de windsnelheid (in m/s);
• h de hoogte in meter waarop de windsnelheid wordt gemeten;
• m een constante die afhangt van de wrijving tussen de luchtlagen;
• r een constante die afhangt van de ruwheid van het terrein (hoge bomen beïnvloeden
de windsnelheid anders dan grasland)
De formule is geldig tot hoogtes van ongeveer 100 meter.
In de praktijk wordt de windsnelheid op een hoogte van 10 meter gemeten. De waarde van r
op de meetplek is bekend zodat het getal m met behulp van de formule berekend kan
worden. Vervolgens kan met de gegeven formule de windsnelheid op andere hoogtes
berekend worden.
Boven open bouwland met r = 0,12 wordt de windsnelheid gemeten. Op 10 meter hoogte is
deze windsnelheid 6,0 m/s.
65p
Bereken in deze situatie de windsnelheid op een hoogte van 60 meter.
Boven een bepaald terrein en met m = 0,45 geldt het volgende:
de windsnelheid is op 60 meter hoogte 1,3 keer zo groot als op 20 meter hoogte.
74p
Bereken de waarde van r van dit terrein.
Op grotere hoogte geldt het volgende: bij toenemende hoogte neemt de windsnelheid
vrijwel niet toe. Met behulp van de helling van de grafiek van W is deze eigenschap te
controleren. Neem in de volgende vraag r = 1 en m = 1.
85p
Toon met behulp van differentiëren aan dat op hoogtes groter dan 90 m de helling van de
grafiek van W kleiner is dan 0,028.
In de gegeven formule is de logaritme met grondtal 10 gebruikt. Soms wordt ook wel de
natuurlijke logaritme ln gebruikt.
De formule W = 5,76 ⋅ m ⋅ log ⎛⎜⎝(h)/(r)⎠⎞⎟ kan omgewerkt worden naar een formule van de vorm
W = a ⋅ m ⋅ ln ⎛⎜⎝(h)/(r)⎠⎞⎟.
94p
Bereken de waarde van a in deze formule.

opgave 3Vouwpiramide

Driehoek TAB is een rechthoekige, gelijkbenige driehoek. Driehoek TAB heeft figuur 2 dus de vorm van een geodriehoek. ∠ A = 90 ° en AT = AB = 10 cm. Punt D ligt op AB zo dat lijn TD hoek ATB in twee gelijke hoeken van 22,5 graden verdeelt. DC staat loodrecht op TB. In de figuur hiernaast is AD dus…

Driehoek TAB is een rechthoekige, gelijkbenige driehoek. Driehoek TAB heeft figuur 2 dus de vorm van een geodriehoek. ∠ A = 90 ° en AT = AB = 10 cm. Punt D ligt op AB zo dat lijn TD hoek ATB in twee gelijke hoeken van 22,5 graden verdeelt. DC staat loodrecht op TB. In de figuur hiernaast is AD dus even lang als DC .

→ Toon aan dat BC ook even lang is als DC . Van een stuk karton met de afmetingen van de driehoek uit deze figuur wordt een ruimtelijke figuur gevouwen. De vouwen lopen langs de lijnen TD en CD . Hieronder zie je hoe uiteindelijk een deel van de piramide T.ABCD ontstaat. figuur 3 A D B B In de…

→ Toon aan dat BC ook even lang is als DC . Van een stuk karton met de afmetingen van de driehoek uit deze figuur wordt een ruimtelijke figuur gevouwen. De vouwen lopen langs de lijnen TD en CD . Hieronder zie je hoe uiteindelijk een deel van de piramide T.ABCD ontstaat. figuur 3 A D B B In de laatste figuur zijn de lijnstukken AB en TB erbij getekend. Het grondvlak ABCD is een vierkant. Top T ligt recht boven punt B . Zo ontstaat een piramide T.ABCD . De oppervlakte van driehoek TAB uit de eerste figuur is 50 cm 2 . Iemand beweert dat de oppervlakte van de uitslag van de complete piramide het dubbele daarvan is.

→ Onderzoek of deze bewering juist is.
→ Bereken de hoek tussen de vlakken TCD en ABCD .
→ Bereken de inhoud van de complete piramide T.ABCD. Het punt M is het midden van ribbe AT . Tussen M en B wordt een elastiekje gespannen. Als het stuk karton wordt teruggevouwen tot de driehoek van de eerste figuur, wordt het elastiekje uitgerekt.
→ Bereken met welk percentage het elastiekje in de platte toestand (zie eerste figuur) is uitgerekt ten opzichte van de gevouwen situatie van piramide T.ABCD (zie laatste figuur).

opgave 4Sinus en cosinus

Gegeven is de functie f (x) = −2sin(x + (1)/(3) π).
In figuur 4 zijn de grafiek van f en de grafiek van y = cos(x) getekend op het interval
[0, 2π].
3 y 2 1 0 1π π 3π 2π x 2 2 -1 f -2 -3
figuur 4
De grafiek van f kan ontstaan uit de grafiek van y = cos(x) door hierop een verschuiving en
een vermenigvuldiging toe te passen.
153p
Schrijf op welke deze verschuiving en vermenigvuldiging kunnen zijn.
Verder is gegeven de functie g(x) = sin(x) − cos(x).
165p
Bereken voor welke waarden van x op het interval [0, 2π] geldt dat f (x) < g(x). Rond de
getallen in je antwoord af op twee decimalen.
De grafiek van g is een sinusoïde.
Het functievoorschrift van g is te schrijven in de vorm g(x) = a ⋅sin(x − b).
174p
Zoek met behulp van je grafische rekenmachine een waarde van a en een waarde van b
waarvoor dit geldt. Geef je antwoorden in twee decimalen nauwkeurig. Licht je werkwijze
toe.

opgave 5Kubuswoning

Gegeven is een kubus ABCD.EFGH . In de figuur hiernaast zijn in deze kubus driehoek ACF en lichaamsdiagonaal HB getekend. De lengte van AF is 9,80 cm. Hieruit volgt dat de ribbe van de kubus ongeveer 6,93 cm is.
→ Toon dit met een berekening aan. Van de kubus in figuur 5 zijn de ribben AE , BF , CG en DH verticaal. De kubus wordt vanuit de stand in figuur 5 gekanteld naar de stand in figuur 6. De lichaamsdiagonaal HB komt daardoor verticaal te staan.
→ Bereken de hoek waarover de kubus gekanteld is. Driehoek AFC snijdt lichaamsdiagonaal HB loodrecht en ligt in de stand van de tweede figuur dus horizontaal. De kubus in deze stand is een model voor een
zogeheten kubuswoning. Driehoek AFC stelt een vloer in deze woning voor. De oppervlakte van deze vloer is ongeveer 42 m 2 . → Toon dit met een berekening aan.

opgave 6Lijn en wortelgrafiek

Hieronder zijn een lijn en de grafiek van een wortelfunctie getekend.
De getekende lijn is de grafiek van de functie f (x) = − (1)/(3)x.
De wortelfunctie is g(x) = − √(x + 9).
y f x O g
figuur 7
De grafiek van g wordt 2 eenheden omhoog geschoven. De lijn en de verschoven
wortelgrafiek hebben een snijpunt.
214p
Bereken de coördinaten van dit snijpunt.
De functie h wordt gegeven door het product van f en g: h(x) = f (x) ⋅ g(x).
Deze functie heeft een maximum 0 voor x = −9.
Verder heeft de functie h een minimum.
226p
Bereken met behulp van differentiëren het minimum van h.
√(Einde)