opgave 1Diersoorten
Uit onderzoek is gebleken dat er foto
een verband bestaat tussen de
lengte van diersoorten en het
aantal diersoorten met die lengte.
Met de lengte van een diersoort
wordt bedoeld de gemiddelde
lengte van volwassen dieren van
die soort. Het blijkt dat er weinig
lange diersoorten zijn en veel korte
diersoorten. Uit gegevens die de
onderzoeker Dobson verzamelde,
blijkt dat bij benadering de
volgende formule geldt:
Hierin is L de lengte in meter en S het aantal diersoorten met die lengte. Deze
formule geldt voor 0,01 ≤ L ≤ 10.
Het aantal diersoorten van 10 cm lang is veel groter dan het aantal diersoorten
van 50 cm lang.
13pBereken met behulp van de bovenstaande formule hoeveel maal zo groot.
De grafiek van S als functie van L is
op het scherm van een grafische
rekenmachine lastig in beeld te brengen log S
vanwege de enorme verschillen in
S-waarden.
Het is wél mogelijk om de grafiek van log S
als functie van log
L goed in beeld te krijgen.
Als een assenstelsel wordt gebruikt waarin
log
S is uitgezet tegen log
L, wordt de grafiek
een rechte lijn. In figuur 1 is een dergelijk
assenstelsel getekend. Deze figuur staat
vergroot op de uitwerkbijlage.
Met behulp van de bovenstaande formule
kan voor een aantal waarden van L de
bijbehorende waarde van S worden berekend. Daarna kunnen log L en log S
worden berekend en kan het bijbehorende punt in het assenstelsel worden
getekend.
25puitwerkbijlageTeken in de figuur op de uitwerkbijlage de grafiek van log S als functie van log L.
Geef een toelichting.
De formule
is met behulp van algebra om te werken tot de vorm
log S = p + q ⋅ log L
34pBereken op deze manier de waarden van p en q.
Voor diersoorten met een lengte tussen 10 en 50 cm blijkt er ook een verband te
bestaan tussen het gemiddelde gewicht van de volwassen dieren van een
diersoort en het aantal diersoorten met dit gemiddelde gewicht. Bij benadering
geldt:
Hierin is G het gemiddelde gewicht in kilogram en D is het aantal diersoorten
met dit gemiddelde gewicht.
Volwassen huiscavia’s zijn gemiddeld 28 cm lang en hebben een gemiddeld
gewicht van 1,1 kg. Iemand beweert dat er uit de gegeven formules volgt dat er
7000 diersoorten zouden kunnen zijn met dezelfde gemiddelde lengte en met
hetzelfde gemiddelde gewicht als de huiscavia.
43pHeeft deze persoon gelijk? Licht je antwoord met berekeningen toe.
opgave 2Tetraëder van Bottrop
Een regelmatige tetraëder is een viervlak waarvan de vier grensvlakken de vorm
van een gelijkzijdige driehoek hebben. In figuur 1 is een bovenaanzicht van de
regelmatige tetraëder ABC.T te zien. Hierin is ABC het grondvlak en T de top.
Er geldt AB = 60.
figuur 1
De lengte van CT in het bovenaanzicht van figuur 1 is ongeveer 35.
54pBereken exact de lengte van CT in het bovenaanzicht van figuur 1.
Bij de Duitse stad Bottrop staat een stalen uitkijktoren die is ontworpen door de
architect Wolfgang Christ. Zie de foto.
foto
De hoofdconstructie bestaat uit zes even lange buizen van 60 meter en heeft de
vorm van een regelmatige tetraëder. Het bovenaanzicht van de tetraëder van
Bottrop waarin alleen de hoofdconstructie wordt getekend, heeft dezelfde vorm
als het bovenaanzicht in figuur 1.
De vier betonnen pijlers waar de tetraëder van Bottrop op staat, hebben een
hoogte van 9 meter.
64pBereken de totale hoogte van de uitkijktoren. Rond je antwoord af op een geheel
aantal meters.
Bij de bouw van de uitkijktoren werden in elk van de vier grensvlakken van de
grote tetraëder de middens van de zijden met elkaar verbonden. Hiervoor zijn in
totaal 12 buizen van 30 meter gebruikt. Zie figuur 2.
figuur 2
In figuur 3 is van dit gedeelte van de tetraëder een bovenaanzicht getekend. Op
de uitwerkbijlage is deze figuur vergroot weergegeven.
figuur 3
De hoofdconstructie van de uitkijktoren is tetraëder ABC.T. In figuur 2 zijn nog
vier kleinere tetraëders te onderscheiden: UVW.T, CED.U, BDF.W en AFE.V.
Op de foto is te zien dat bij drie van deze kleinere tetraëders de middens van de
zijden in de grensvlakken met elkaar verbonden zijn. Daarvoor zijn in elk van
deze drie tetraëders 12 buizen van 15 meter gebruikt.
74puitwerkbijlageTeken in het bovenaanzicht op de uitwerkbijlage de 12 buizen van 15 meter in
tetraëder CED.U.
opgave 3Raken
Op het domein [-1, 4] zijn de functies f en g gegeven door
f(x) = (x3 − 2x) ⋅ sin(x − 2) + 5 en
.
In figuur 1 zijn de grafieken van f en g getekend.
figuur 1
Verder zijn gegeven punt P op de grafiek van f en punt Q op de grafiek van g.
De x-coördinaat van P is gelijk aan de x-coördinaat van Q. Bovendien is
gegeven dat de hellingen in punt P en punt Q gelijk zijn.
De grafiek van f wordt over een afstand a omhoog geschoven, waarbij de
waarde van a zo gekozen wordt dat het verschoven punt P samenvalt met
punt Q. Hierdoor zullen de verschoven grafiek van f en de grafiek van g elkaar
raken in Q.
87pBereken de waarde van a met behulp van differentiëren.
opgave 4Archimedes Wave Swing
De Archimedes Wave Swing (afgekort AWS) is ontwikkeld om de golfbeweging
van de zee te gebruiken om energie op te wekken.
Elke AWS bestaat uit twee halfopen delen. Het onderste deel is verankerd aan
de zeebodem. Het bovenste deel, ook wel drijver genoemd, valt over het
onderste heen. In figuur 1 zie je twee AWS’en onder een vlakke zeespiegel. In
figuur 2 zie je dat de golven er voor zorgen dat de drijvers op en neer bewegen.
Deze beweging van de drijver wordt gebruikt om energie op te wekken.
De minimale hoogte van de bovenkant van de drijver ten opzichte van de
zeebodem is 30,0 meter. De maximale hoogte is 37,0 meter. De drijver maakt
onder invloed van de golven een periodieke beweging met dezelfde periode als
de periode van de golfbeweging.
We gaan voor de volgende vraag uit van een situatie waarbij de periode van de
golfbeweging 12 seconden is en de hoogte van de bovenkant van de drijver van
de AWS varieert van 30,0 meter tot en met 37,0 meter. De hoogte van de
bovenkant van de drijver kan dan worden beschreven door een formule van de
vorm h = a + bsin(c ⋅ t). Hierin is h de hoogte ten opzichte van de zeebodem in
meter en t de tijd in seconde.
93pBereken de waarden van a, b en c in deze formule. Licht je antwoord toe.
Van een bepaalde AWS bevindt de bovenkant van de drijver zich gemiddeld
4,0 meter onder de zeespiegel. De zeespiegel is de gemiddelde waterhoogte.
Zie figuur 3. De hoogte d van de bovenkant van deze drijver ten opzichte van de
zeespiegel wordt nu beschreven door: d = −4,0 + 3,5sin(0,5t), met d de hoogte
in meter en t de tijd in seconde.
De waterhoogte ten opzichte van de zeespiegel hangt af van de amplitude van
de golven. Hiervoor geldt de formule w = − A ⋅ cos(0,5t). Hierin is w de
waterhoogte in meter, A de amplitude van de golven (A ≥ 0,5) in meter en t de
tijd in seconde. In figuur 3 zijn grafieken van d en w getekend voor een bepaalde
waarde van A.
figuur 3
In de situatie van figuur 3 blijft de bovenkant van de drijver altijd onder water.
Maar als de amplitude van de golfbeweging verder toeneemt, kan de drijver
soms boven het water uitsteken.
105pOnderzoek met de grafische rekenmachine vanaf welke amplitude van de
golfbeweging de drijver af en toe boven water verschijnt. Rond je antwoord in
meter af op één decimaal.
De AWS zet de energie van de golfbeweging om in elektrische energie. De
hoeveelheid energie die per seconde wordt omgezet, heet het opgewekt
vermogen. Bij vier verschillende perioden T (in seconde) zijn het opgewekte
vermogen P (in kiloWatt) en de amplitude van de golven A (in meter) gemeten.
De resultaten zijn te zien in figuur 4. Deze figuur is vergroot op de uitwerkbijlage
opgenomen.
figuur 4
Iemand wil onderzoeken of er bij een periode van 16 seconden een kwadratisch
verband bestaat tussen de amplitude en het vermogen. Hij stelt daarom de
volgende formule op: P = k ⋅ A2. Vervolgens leest hij het punt (5, 3850) af.
Hiermee kan hij de waarde van k berekenen. Ten slotte kan met de formule het
vermogen bij A = 6 worden berekend.
115puitwerkbijlageBereken het vermogen bij A = 6 op de hierboven beschreven manier, teken het
bijbehorende punt in de grafiek op de uitwerkbijlage en beargumenteer of het
zinvol is dat de persoon op basis van dit punt zijn onderzoek voortzet of dat hij
moet concluderen dat er geen kwadratisch verband bestaat tussen de amplitude
en het vermogen.
Iemand vermoedt dat bij een amplitude van 6 meter er een eenvoudig verband
bestaat tussen de periode T en het vermogen P. Om dit verband zichtbaar te
maken leest hij uit de vergroting van figuur 4 op de uitwerkbijlage bij A = 6 vier
paren waarden van T en P af. Met behulp hiervan tekent hij vier punten in een
assenstelsel waarin de periode is uitgezet tegen het vermogen. Dit assenstelsel
staat op de uitwerkbijlage.
125puitwerkbijlageTeken op de hierboven beschreven manier vier punten in het assenstelsel op de
uitwerkbijlage en bepaal daarmee of er waarschijnlijk sprake is van een
exponentieel, een kwadratisch, een lineair, een omgekeerd evenredig of een
rechtevenredig verband. Verbind de punten. Welke van de vijf genoemde
verbanden maak je hiermee zichtbaar?
