bronnen

Eindexamen wiskunde B havo 2011, tijdvak 1

opgave 1Overlevingstijd

Als iemand in koud water terecht komt, daalt zijn lichaamstemperatuur. Als de lichaamstemperatuur is gedaald tot 30 ºC ontstaat een levensbedreigende situatie. De tijd die verstrijkt tussen het te water raken en het bereiken van een lichaamstemperatuur van 30 ºC wordt de overlevingstijd genoemd.…

Als iemand in koud water terecht komt, daalt zijn lichaamstemperatuur. Als de lichaamstemperatuur is gedaald tot 30 ºC ontstaat een levensbedreigende situatie. De tijd die verstrijkt tussen het te water raken en het bereiken van een lichaamstemperatuur van 30 ºC wordt de overlevingstijd genoemd. Bij de eerste drie vragen wordt uitgegaan van een persoon die te water is geraakt in gewone kleding en met een reddingsvest. Voor deze persoon geldt de R = 15 + met R > 0 en T ≥ 5,0 Hierin is R de overlevingstijd in minuten en T de watertemperatuur in ºC. Bij een watertemperatuur van 20 ºC is de overlevingstijd groter dan bij een watertemperatuur van 10 ºC.

Bereken hoeveel keer zo groot.
Bereken op algebraïsche wijze de watertemperatuur waarbij de overlevingstijd 5,0 uur is. Rond daarna je antwoord af op een geheel aantal graden. figuur In de figuur is de grafiek van R als functie van T geschetst. De grafiek heeft een verticale asymptoot. R
Bereken de waarde van T die bij de verticale asymptoot hoort en leg uit wat de betekenis van de verticale asymptoot is voor de situatie van de te water geraakte persoon. De overlevingstijd van personen die te water raken, is niet alleen afhankelijk van de watertemperatuur. De kleding die een…

Bereken de waarde van T die bij de verticale asymptoot hoort en leg uit wat de betekenis van de verticale asymptoot is voor de situatie van de te water geraakte persoon. De overlevingstijd van personen die te water raken, is niet alleen afhankelijk van de watertemperatuur. De kleding die een persoon draagt, is ook van invloed op de overlevingstijd. In de tabel staan watertemperaturen met bijbehorende overlevingstijden voor personen in zwemkleding. tabel watertemperatuur T in ºC 5,0 10 15 20 overlevingstijd Z in uren 0,5 1,0 2,0 4,0 We gaan voor 5,0 ≤ T ≤ 20 uit van een exponentieel verband tussen T en Z . Iemand ligt in zwemkleding in water van 17 ºC.

Bereken op algebraïsche wijze zijn overlevingstijd. Geef je antwoord in uren. Rond hierbij af op één decimaal.

opgave 2Polynoom

De functie f is gegeven door f(x) = (x + 1)(x2 − 16). Van een van de twee toppen
van de grafiek van f is de x-coördinaat positief. Zie figuur 1.
figuur 1
y f O x
55p
Bereken op algebraïsche wijze de coördinaten van deze top.
Punt P is het snijpunt van de grafiek van f met de y-as. Punt Q is het snijpunt
van de grafiek van f met de positieve x-as.
Lijn k gaat door de punten P en Q. Zie figuur 2.
figuur 2
y f k O Q x P
65p
Stel op algebraïsche wijze een vergelijking op van k.

opgave 3Lichaam in kubus

Gegeven is de kubus ABCD.EFGH met ribbe 6,0 cm. Binnen deze kubus
bevindt zich het lichaam ABCD.MGH. Het punt M ligt in het bovenvlak van de
kubus. De afstand van M tot GH is 4,0 cm en HM = GM. Zie figuur 1.
figuur 1
H G M E F D C A B
73p
Teken op ware grootte het bovenaanzicht van het lichaam ABCD.MGH. Zet de
letters bij de hoekpunten.
Op de uitwerkbijlage is een begin gemaakt met een uitslag van het lichaam
ABCD.MGH op schaal 1:2.
87p
Maak de uitslag af. Zet de letters bij de hoekpunten en licht je werkwijze toe.
Het lichaam ABCD.MGH kan worden
figuur 2
96p
M 4,0 G F Q 6,0 B 6,0 C
gesplitst in twee delen: de piramide
ABGH.M en het prisma ADH.BCG.
De rechthoek ABGH is het grondvlak
van de piramide ABGH.M. De hoogte
van deze piramide is gelijk aan de lengte
van het lijnstuk MQ in het zijaanzicht
van het lichaam en de kubus in figuur 2.
Bereken op algebraïsche wijze de
inhoud van het lichaam ABCD.MGH.

opgave 4Bushalte

Langs een rechte weg staan twee flatgebouwen. De ingang van flat 1 (punt E ) ligt 40 meter van de weg af en de ingang van flat 2 (punt D ) ligt 60 meter van de weg af. Men wil een bushalte plaatsen (punt B ) en daarna van de bushalte naar de ingang van elk van de twee flats een recht voetpad…

Langs een rechte weg staan twee flatgebouwen. De ingang van flat 1 (punt E ) ligt 40 meter van de weg af en de ingang van flat 2 (punt D ) ligt 60 meter van de weg af. Men wil een bushalte plaatsen (punt B ) en daarna van de bushalte naar de ingang van elk van de twee flats een recht voetpad aanleggen. Punt A is het punt aan de weg dat het dichtst bij de ingang van flat 1 ligt en punt C is het punt aan de weg dat het dichtst bij de ingang van flat 2 ligt. De afstand tussen punt A en punt C is 80 meter. In de figuur is van deze situatie een schematisch bovenaanzicht getekend. figuur De lengte van het voetpad tussen de bushalte en de ingang van flat 1 in meters wordt gegeven door de formule in meters wordt gegeven door de formule Hierin is x de afstand tussen punt A en de bushalte B in meters. Het is mogelijk de bushalte zo te plaatsen dat de twee voetpaden even lang zijn.

Bereken op algebraïsche wijze de waarde van x in deze situatie. De totale lengte van de twee voetpaden L in meters wordt gegeven door de formule: Als de twee voetpaden even lang zijn, is de totale lengte van deze voetpaden (ongeveer) 132 meter. Men wil de bushalte zo plaatsen dat de totale lengte…

Bereken op algebraïsche wijze de waarde van x in deze situatie. De totale lengte van de twee voetpaden L in meters wordt gegeven door de formule: Als de twee voetpaden even lang zijn, is de totale lengte van deze voetpaden (ongeveer) 132 meter. Men wil de bushalte zo plaatsen dat de totale lengte van de twee voetpaden minimaal is. Hierdoor hoeft er minder dan 132 meter voetpad aangelegd te worden.

Bereken met behulp van differentiëren hoeveel meter minder.

opgave 5Sinusoïde

Van een sinusoïde zijn de punten (0, 0) en ((1)/(2)π, 1) twee opeenvolgende toppen.
Zie de figuur.
figuur
y 1 - x
Deze sinusoïde kan worden beschreven door een formule van de vorm
y = a + b ⋅ sin(c(x − d)).
124p
Bepaal mogelijke waarden van a, b, c en d.
Een andere formule die deze sinusoïde beschrijft, is y = (sinx)2.
134p
Bereken met behulp van deze formule op algebraïsche wijze de helling van de
raaklijn aan de sinusoïde in het punt met x-coördinaat (1)/(4)π.

opgave 6Toiletpapier

Toiletpapier zit vaak op een rol. In deze opgave wordt een wiskundig model van
een rol toiletpapier bekeken. In dit model is een rol toiletpapier een cilinder
waaruit in het midden een cilinder is weggelaten. In figuur 1 is het model van
een volle rol toiletpapier te zien. Deze rol heeft een buitendiameter van 12,0 cm,
een binnendiameter van 4,0 cm en een hoogte van 10,0 cm.
foto 1
figuur 1
foto 1
4,0 10,0 12,0
Het volume van het toiletpapier op de rol in figuur 1 is 320π cm3.
143p
Toon dit aan.
Iemand beweert dat de helft van het toiletpapier gebruikt is, wanneer de
buitendiameter 8,0 cm is (midden tussen 4,0 cm en 12,0 cm). Dit is onjuist.
154p
Bereken de werkelijke buitendiameter van de toiletrol als de helft van het
toiletpapier gebruikt is.
De rol toiletpapier bestaat uit een aantal velletjes. De buitendiameter van de rol
toiletpapier hangt af van het aantal velletjes dat nog op de rol zit. Voor de rol
waarvan het model in figuur 1 te zien is, geldt de formule:
d = 2 ⋅ √(0,16v + 4,0)
Hierin is d de buitendiameter in cm en v het aantal velletjes toiletpapier dat nog
op de rol zit.
Een volle rol heeft een buitendiameter van 12,0 cm. Een velletje toiletpapier is
13,6 cm lang.
164p
Bereken hoeveel meter papier er op een volle rol zit.
foto 2
figuur 2
figuur bij de opgave
figuur bij de opgave
Toiletpapier wordt vaak per vier rollen verpakt in plastic zoals te zien is op
foto 2. Ga ervan uit dat het plastic nergens overlapt. In figuur 2 is een
schematisch bovenaanzicht te zien met de plastic verpakking van vier rollen die
elk de afmetingen van het model in figuur 1 hebben.
174p
Bereken de oppervlakte van het plastic dat nodig is om de vier rollen op deze
manier te verpakken. Geef je antwoord in cm2 nauwkeurig.
Let op: de laatste vragen van dit examen staan op de volgende pagina.

opgave 7Logaritmentafel

Wanneer de uitkomst van een logaritme geen geheel getal is, wordt de waarde
vaak berekend met behulp van de rekenmachine. 50 jaar geleden waren er
nauwelijks rekenmachines. De middelbare scholieren van toen gebruikten
tabellenboekjes om de waarde van een logaritme te bepalen. Zie de foto. In de
tabel staat een stukje uit zo’n tabellenboekje.
foto
tabel
foto
n log n 1 0 2 0,3010 3 0,4771 4 0,6021 5 0,6990 6 0,7782 7 0,8451 8 0,9031 9 0,9542 10 1 100 2 1000 3
Met behulp van de tabel en de rekenregels voor logaritmen is het mogelijk om
logaritmische of exponentiële vergelijkingen op te lossen. Hierbij kan, zonder de
log-toets van de (grafische) rekenmachine te gebruiken, een benadering van het
antwoord gevonden worden.
Voorbeeld: log1(1)/(2) = log (3)/(2) = log3 − log2≈0,4771 − 0,3010≈0,176.
183p
Bereken log24 op algebraïsche wijze met behulp van de tabel, dus zonder
gebruik te maken van de log-toets op je rekenmachine.
Gegeven is de vergelijking 7x = 25.
194p
Los deze vergelijking op algebraïsche wijze op met behulp van de tabel, dus
zonder gebruik te maken van de log-toets op je rekenmachine. Rond je
antwoord af op drie decimalen.