bronnen

Eindexamen wiskunde B havo 2022, tijdvak 1

bij dit examen

Ga verder op de volgende pagina.

opgave 1Raaklijn aan cirkel

De cirkel c is gegeven door de vergelijking x2 + y2 = 6x + 6y − 13. De lijn l
met vergelijking y = 2x + 2 raakt de cirkel in het punt A. Zie figuur 1.
figuur 1
figuur 1
14p

Lijn en cirkel: snijpunten en raaklijnen 2p · Lineaire en kwadratische vergelijkingen exact oplossen 2pexact

Bereken exact de coördinaten van A.
l snijdt de x-as in het punt S en de y-as in het punt T.
Cirkel d is de cirkel met middellijn ST. Zie figuur 2.
figuur 2
figuur 2

opgave 2Versturen van data

Data kan via verschillende kanalen verstuurd worden, bijvoorbeeld via
een kabel of draadloos.
Bij het versturen van data is het belangrijk dat deze foutloos verstuurd
wordt. Data kan foutloos verstuurd worden als de zogeheten
kanaalcapaciteit groot genoeg is.
De kanaalcapaciteit is de maximale hoeveelheid data die per seconde
over een kanaal overgedragen kan worden.
Een formule waarmee de kanaalcapaciteit bepaald kan worden, is
C = B ⋅2 log (1 + R) (formule 1)
Hierin is
− C de kanaalcapaciteit in bits per seconde (bps);
− B de bandbreedte in hertz (Hz);
− R de signaal-ruisverhouding.
Deze signaal-ruisverhouding is de verhouding tussen de sterkte van het
gewenste signaal en de sterkte van de aanwezige ruis.
Met de formule
S = 10 ⋅10 log (R)
(formule 2)
kan R omgerekend worden naar decibel (dB).
In 2016 had een goed werkende draadloos-internetverbinding vaak een
bandbreedte van 20 ⋅106 Hz en een waarde van S van 40 dB.
35p

Vergelijkingen en snijpunten met de GR oplossen 2p · Rekenen met een gegeven formule 2p · Formules en vergelijkingen opstellen 1pGR mag

Bereken met behulp van de bovenstaande formules de kanaalcapaciteit
van deze verbinding. Geef je eindantwoord in miljoenen bps.
Als de ruis (veel) sterker is dan het signaal, dan is R (erg) klein. Voor
zulke kleine waarden van R werkt men in de praktijk met de volgende
benadering voor C:
C = 1,44 ⋅ B ⋅ R (formule 3)
In figuur 1 zijn voor B = 1000 de grafieken van formules 1 en 3
weergegeven, waarbij de grafiek van formule 3 gestippeld is.
figuur 1
figuur 1
In figuur 1 is te zien dat voor groter wordende R de benadering steeds
slechter wordt. Men vindt deze benadering acceptabel als het verschil
tussen de waarde van C volgens formule 3 en de waarde van C volgens
formule 1 maximaal 1% is van de waarde van C volgens formule 1.
43p

Vergelijkingen en snijpunten met de GR oplossen 2p · Formules en vergelijkingen opstellen 1pGR mag

Bereken in het geval dat B = 1000 tot welke waarde van R dit het geval is.
Rond de door jou gevonden waarde van R af op drie decimalen.
Ook als het signaal veel sterker is dan de ruis, dat wil zeggen voor grote
waarden van R, wordt er in de praktijk vaak met een benadering voor C
gewerkt.
Voor grote waarden van R geldt 1 + R ≈ R. In dat geval kan formule 1
benaderd worden door:
C = B ⋅2 log (R) (formule 4)
In figuur 2 zijn voor een bepaalde waarde van B de grafieken van de
formules 1 en 4 weergegeven, waarbij de grafiek van formule 4 gestippeld
is.
figuur 2
figuur 2
Met behulp van formules 2 en 4 kan voor grote waarden van R de
volgende formule voor C opgesteld worden:
C = 0,332 ⋅ B ⋅ S
Het getal 0,332 in deze formule is een afgerond getal.
54p

Formules herleiden en omwerken 4pexact

Toon de juistheid van deze formule aan.

opgave 3Wortelfunctie en transformatie

De functie f is gegeven door f (x) = − 8 + 2√(3x + 9).
De grafiek van f snijdt de y-as in het punt A. De lijn l raakt de grafiek van
f in A. De lijn l snijdt de x-as in het punt B. Zie figuur 1.
figuur 1
figuur 1
Er geldt OA = OB.
66p

Kettingregel 2p · Raaklijnen aan grafieken 2p · Eigenschappen van functies en grafieken 1p · +1exact

Bewijs dit.
De grafiek van de functie g ontstaat uit de grafiek van f door middel van
een vermenigvuldiging ten opzichte van de x-as met een positieve
factor a.
Het punt M is het randpunt van de grafiek van g en het punt C is het
snijpunt van de grafieken van f en g met de x-as. Zie figuur 2.
De lengte van het lijnstuk MC is 6(2)/(3).
figuur 2
figuur 2

opgave 4Windmolens

Een windmolen kan de bewegingsenergie van de wind omzetten in
elektrische energie. De hoeveelheid elektrische energie die een
windmolen produceert, is afhankelijk van de windsnelheid. Hoe harder het
waait, hoe meer elektrische energie een windmolen kan produceren.
Omdat er energie uit de wind gehaald is en omgezet is in elektrische
energie, is de bewegingsenergie van de wind achter een windmolen
kleiner dan ervoor. Dus is de windsnelheid achter de windmolen ook
kleiner dan de windsnelheid vóór de windmolen.
De energie in joule (J) die een windmolen per seconde produceert, wordt
gegeven door de formule:
E = (1)/(4) ⋅ c ⋅ v^3 ⋅ 1 − (w)/(v)^3 − (w)/(v)^2 + (w)/(v) (formule 1)
Hierin is
− E de energie die de molen per seconde produceert in J;
− c een (positieve) constante die hoort bij de windmolen, deze constante
is onder andere afhankelijk van de grootte en vorm van de wieken;
− v de snelheid van de wind vóór de windmolen in m/s;
− w de snelheid van de wind achter de windmolen in m/s.
Bij een wind met een snelheid van 10 m/s vóór de
foto
83p

Vergelijkingen en snijpunten met de GR oplossen 2p · Formules en vergelijkingen opstellen 1pGR mag

windmolen produceert de windmolen Amstelvogel in
Ouderkerk aan de Amstel, zie de foto, elke seconde
1,21 miljoen J. De waarde van c die hoort bij deze
windmolen is 5116.
Bereken de snelheid van de wind achter de
windmolen in m/s. Geef je eindantwoord in één
decimaal.
foto
We gaan nu weer kijken naar windmolens in het algemeen.
Een windmolen kan niet alle energie uit de wind halen, want dan zou de
lucht achter de windmolen stilstaan. Het blijkt dat de maximale
hoeveelheid energie die een windmolen uit de wind kan halen alleen
afhangt van de verhouding tussen de windsnelheden vóór en achter de
molen, dus de verhouding tussen v en w.
Stel p = (w)/(v), dan kan formule 1 geschreven worden als:
^E^ = (1)/(4)^ ⋅^c^ ⋅^v^3^ ⋅ (^1^ −^p^3^ −^p^2^ +^p) (formule 2)
Bij een constante waarde van v is E maximaal als 1 − p3 − p2 + p
maximaal is.
Voor elke constante c en v wordt de maximale waarde voor E bereikt bij
p = (1)/(3).
94p

Extremen en optimaliseren 3p · De afgeleide bepalen (machts-, som- en verschilregel) 1pexact

Bewijs dat deze maximale waarde voor E inderdaad bereikt wordt bij
p = (1)/(3).
De maximale waarde voor E noemen we Emax.
De energie van wind met een snelheid v die per seconde wordt
opgevangen door een windmolen waarvan c de constante is, wordt
gegeveEn_wd_i_no_do = r:(1)/(2) ⋅ c ⋅ v_3
Het maximale percentage van de energie die een windmolen uit de wind
kan halen is (Emax)/(E)_w_i_n_d ⋅ 100%.
103p

Formules herleiden en omwerken 2p · Extremen en optimaliseren 1pGR mag

Bereken dit percentage. Geef je eindantwoord in hele procenten.

opgave 5Hyperbool

Op het domein (1)/(2),→ is de functie f gegeven door f(x) = (1)/(2x − 1).
De lijn l met richtingscoëfficiënt −2 raakt de grafiek van f. Zie figuur 1.
figuur 1
figuur 1
118p

Raaklijnen aan grafieken 3p · Kettingregel 2p · Vergelijkingen met machten, wortels en breuken exact oplossen 2p · +1exact

Bereken exact het snijpunt van l met de y-as.
Het punt A met x-coördinaat a is een willekeurig punt op de grafiek van f.
Het punt B ligt op de x-as en heeft ook x-coördinaat a. Bij elke waarde van
a hoort een driehoek OAB. Zie figuur 2 en figuur 3 voor twee
mogelijkheden.
figuur 2
figuur 3
figuur 3
124p

Formules en vergelijkingen opstellen 2p · Extremen en optimaliseren 2pGR mag

Bereken de minimale lengte van lijnstuk OA. Geef je eindantwoord in één
decimaal.

opgave 6Parabolen en sinusoïde

Op domein 0,→ is gegeven de functie f(x) = ax^2 − a met a > 0.
In figuur 1 is in één assenstelsel voor een aantal waarden van a de
grafiek van f getekend.
figuur 1
figuur 1
De grafiek van f gaat voor elke waarde van a door het punt (1,0).
132p

Formules en vergelijkingen opstellen 1p · Eigenschappen van functies en grafieken 1pexact

Bewijs dit.
Op hetzelfde domein is de functie g gegeven door g(x) = sin (2πx).
In figuur 2 is de grafiek van g aan figuur 1 toegevoegd.
figuur 2
figuur 2
Het punt T is de eerste top van de grafiek van g met x-coördinaat groter
dan 1. Zie figuur 2.
Er is een waarde van a waarvoor de grafiek van f door T gaat.

opgave 7Fiets

Het comfort en het rijgedrag van een fiets worden in belangrijke mate
bepaald door de framegeometrie. Naast de lengte van de verschillende
buizen waaruit een frame bestaat, gaat het bij de framegeometrie ook om
de hoeken waaronder de verschillende buizen staan.
In figuur 2 is een tekening van het frame van de fiets van figuur 1
gegeven.
figuur 1
figuur 1
figuur 2
figuur 2
De bijbehorende maten zijn:
− de liggende achtervork: AB = 425 mm;
− de staande achtervork: AF = 542 mm;
− de hoek die de liggende en de staande achtervork met elkaar maken:
BAF = 58°;
− de hoek die het verlengde van de stuurbuis DE met het verlengde van
AB maakt: BCE = 71°.
De zitbuis BF en de stuurbuis DE zijn bijna evenwijdig. Als ze evenwijdig
zouden zijn dan zou de hoek die BF met de lijn door AB maakt even groot
moeten zijn als BCE. Deze hoeken verschillen echter.
156p

Sinusregel en cosinusregel 4p · Vergelijkingen en snijpunten met de GR oplossen 2pGR mag

Bereken dit verschil. Geef je eindantwoord in hele graden.
Een crank is het verbindingsstuk tussen
figuur 3
de trap-as van de fiets en het pedaal.
Zie figuur 3.
Cranks bestaan in verschillende lengtes. Een
fietser met lange benen heeft baat bij een
langere crank.
Zo wordt aan iemand met een binnenbeenlengte
van 75 cm een cranklengte van 166 mm
geadviseerd. Aan iemand met een
figuur 3
binnenbeenlengte van 97 cm wordt een cranklengte van 180 mm
geadviseerd.
Er is een verband tussen de binnenbeenlengte B in cm en de
geadviseerde cranklengte L in mm. Dit verband is te benaderen met een
formule van de vorm L = a ⋅ Bn. Met de bovenstaande gegevens bij
binnenbeenlengtes 75 cm en 97 cm zijn de waarden van a en n te
bepalen.
166p

Formules en vergelijkingen opstellen 2p · Formules herleiden en omwerken 1p · Vergelijkingen en snijpunten met de GR oplossen 1p · +2GR mag

Bereken volgens deze formule de geadviseerde cranklengte in mm bij een
binnenbeenlengte van 86 cm. Geef je eindantwoord in hele mm.
Bronvermelding
Een opsomming van de in dit examen gebruikte bronnen, zoals teksten en afbeeldingen, is te vinden in het bij dit examen
behorende correctievoorschrift, dat na afloop van het examen wordt gepubliceerd.