opgave 1Fietshelm
Een fietshelm is ontworpen om het hoofd te beschermen tijdens een
botsing of val. Tijdens zo’n botsing, ook wel impact genoemd, kan het
hoofd blootgesteld worden aan enorm grote versnellingen. Deze kunnen
leiden tot ernstig hoofdletsel. Een fietshelm is ontworpen om de grootte
van deze versnellingen tijdens een impact zo klein mogelijk te houden.
De fietshelm is opgebouwd uit verschillende lagen. Zie figuur 1. Onder de
harde schaal aan de buitenkant bevindt zich de zogenaamde
absorptielaag. Deze laag bestaat meestal uit piepschuim. Dit piepschuim
wordt tijdens een impact ingedrukt.
figuur 1
figuur 2
Fietshelmen moeten voldoen aan
een Europese norm, de EN-1078.
Daarin staan tests beschreven
die de fietshelm met goed succes
moet doorlopen. In één van deze
tests valt een dummyhoofd met
helm op een harde grondplaat
met een voorgeschreven
impactsnelheid van 5,42 m s−1 .
Zie figuur 2.
Om de voorgeschreven snelheid te bereiken is een bepaalde valhoogte
nodig.
13pBereken deze valhoogte. Verwaarloos hierbij de invloed van eventuele
wrijvingskrachten.
In het dummyhoofd zit een versnellingsmeter. Tijdens de impact van het
hoofd met de grondplaat mag de verticale versnelling van het hoofd nooit
groter worden dan de normwaarde van 250 g . Hierin is g de
valversnelling. De absorptielaag in een fietshelm kan maximaal 20 mm
indeuken. Deze afstand is groot genoeg om ervoor te zorgen dat de
gemiddelde versnelling niet groter is dan de normwaarde.
24pToon dit aan.
In de praktijk is de beweging van het dummyhoofd tijdens de impact niet
eenparig vertraagd. Er zijn dus momenten waarop de versnelling groter is
dan de gemiddelde waarde. De maximale versnelling op deze momenten
mag niet groter worden dan de normwaarde van 250 g .
In figuur 3 zijn de meetresultaten weergegeven van een impact van een
dummyhoofd met en zonder helm.
figuur 3
De snelheid waarmee het dummyhoofd de plaat raakt is in beide
experimenten gelijk.
32pLeg uit hoe je dit kunt concluderen uit figuur 3.
Een fietshelm is zo ontworpen dat deze de fietser optimaal beschermt bij
een val. Naast de dikte van de absorptielaag moet de ontwerper ook
rekening houden met het indrukgedrag van het gebruikte piepschuim. Dit
indrukgedrag kan onderzocht worden in een proefopstelling, zie figuur 4.
figuur 4
In deze opstelling valt een metalen plaat
met een massa van 1,0 kg op een schijfje
piepschuim, waardoor het piepschuim
ingedrukt wordt. Tijdens deze impact
worden zowel de indrukking van het
piepschuim als de kracht op de grondplaat
gemeten.
Het indrukgedrag van piepschuim is afhankelijk van de dichtheid van het
piepschuim. Van piepschuim met drie verschillende dichtheden is het
indrukgedrag gemeten. In figuur 5 is voor elk van de drie dichtheden het
verband tussen kracht en indrukking weergegeven.
figuur 5
Hoewel de maximale remweg in een fietshelm 20 mm bedraagt is het
belangrijk om te voorkomen dat deze hele afstand gebruikt wordt tijdens
een impact.
42pLeg met behulp van figuur 5 uit waarom de remweg niet te groot mag
worden.
De impact van de vallende plaat op het piepschuim kan gesimuleerd
worden met een numeriek model. Zie figuur 6.
In dit model is x de indrukking van het piepschuim in m .
figuur 6
Modelformules startwaarden 1 Als x0,001 Dan x 0(m) 2 F Cx v 5,42(ms1) p 3 Anders m 1,0(kg) 19,8 4 F g 9,81(ms2) p (0,020x)0,9 5 EindAls t 0(s) 6 F mg dt 105 (s) z 7 F ... C ... (N m−1) res F 8 a res m 9 v vadt 10 x xvdt 11 Als v 0 Dan 12 stop 13 EindAls 14 t t dt
In de regels 2 en 4 van het model staan de formules die de grafieken van
figuur 5 beschrijven. Voor indrukkingen kleiner dan 1 mm geldt dat de
kracht evenredig is met de indrukking (regel 2). Voor grotere waarden van
x geldt een ingewikkeldere formule (regel 4). De formules in het model
van figuur 6 gelden voor piepschuim met een dichtheid van 31 kg m−3 .
52pBereken met behulp van de formules in de modelregels 2 en 4 de waarde
van C voor dit type piepschuim.
Regel 7 van het model is nog niet compleet.
62pGeef aan wat er in regel 7 van het model moet staan.
Het numerieke model wordt gebruikt om te onderzoeken wat het effect is
van de dichtheid van piepschuim op de beweging van de vallende plaat.
De impact is drie keer doorgerekend, waarbij de formules voor het
indrukgedrag zijn aangepast voor de drie verschillende dichtheden. In
figuur 7 is voor elk van deze dichtheden de berekende snelheid uitgezet
tegen de tijd.
figuur 7
72pLeg uit bij welke dichtheid van het piepschuim de maximale versnelling
van de vallende plaat het kleinst is geweest.
opgave 2Deuterium
Een klein deel van alle waterstof in het heelal heeft naast een proton ook
nog een neutron in de kern. Dit isotoop 2/1 H wordt deuterium genoemd,
vaak kortweg aangeduid als D . Sterrenkundigen denken dat al het
deuterium in het heelal vlak na de oerknal is gevormd. Sindsdien is de
hoeveelheid deuterium in het heelal afgenomen door kernfusie in sterren.
Bij deze reactie fuseert een deuteriumkern met een proton tot een nieuw,
zwaarder deeltje.
83pGeef de reactievergelijking van dit proces.
Sterrenkundigen willen graag weten hoe snel de hoeveelheid deuterium in
het heelal afneemt. In gaswolken waar nog nooit een ster is ontstaan is de
verhouding tussen de hoeveelheden D en H sinds de oerknal niet
veranderd. Sterrenkundigen willen daarom de verhouding D/H in zulke
gaswolken vergelijken met de verhouding D/H op andere plaatsen in het
heelal.
Een veelgebruikte manier om de verhouding van het aantal atomen
deuterium en waterstof in een gaswolk te bepalen is door te kijken naar
het emissiespectrum van zo’n wolk. Wanneer een waterstof- of
deuteriumatoom terugvalt van de 2e naar de 1e aangeslagen toestand,
zendt het zichtbaar licht uit. Deze spectraallijn wordt bij waterstof
aangeduid met Hα en bij deuterium met Dα . De verhouding tussen de
intensiteiten van Dα en Hα is dus een maat voor de verhouding D/H in de
wolk.
De energieniveaus van waterstof en deuterium zijn gegeven door:
Hierin is
− En het energieniveau van de toestand n in eV
− k een constante, die voor waterstof gelijk is aan 13,606 eV en voor
deuterium gelijk is aan 13,609 eV
− n de toestand
94pToon aan dat de golflengte van Dα gelijk is aan 655,95 nm .
De Orionnevel is een grote wolk van
gloeiend gas in het sterrenbeeld Orion.
Zie figuur 1. Het emissiespectrum van
deze gaswolk is nauwkeurig onderzocht.
De waargenomen golflengte van Dα in de Orionnevel is 656,14 nm .
105pVoer de volgende opdrachten uit:
− Leg uit of de Orionnevel van ons af beweegt of naar ons toe beweegt.
− Bereken de radiale snelheid van de Orionnevel. Noteer je antwoord in
het juiste aantal significante cijfers.
In figuur 2 staat een deel van het waargenomen spectrum van de
Orionevel afgebeeld. De golflengte van Dα is iets kleiner dan de golflengte
van Hα . De totale intensiteit van Hα is vele malen groter dan de totale
intensiteit van Dα , waardoor Dα niet zichtbaar is in deze figuur. In figuur 3
staat het spectrum nogmaals afgebeeld, maar is op de verticale as alleen
het onderste deel van het diagram weergegeven. Hierop is Dα wel
zichtbaar.
Uit de figuren 2 en 3 kunnen de wetenschappers de totale intensiteit
bepalen voor Hα en Dα . De intensiteit in een bepaald golflengte-interval is
gelijk aan de oppervlakte onder de grafiek tussen de grenzen van dit
interval.
Figuur 3 staat vergroot op de uitwerkbijlage.
111puitwerkbijlageGeef in de figuur op de uitwerkbijlage de oppervlakte aan die bepaald
moet worden om de totale intensiteit van Dα te bepalen.
Uit de figuren 2 en 3 kan de verhouding tussen het aantal atomen
deuterium en het aantal atomen waterstof in de Orionnevel bepaald
worden. Om de hypothese te toetsen dat deuterium verloren gaat bij het
ontstaan van sterren hebben wetenschappers vergelijkbare metingen
uitgevoerd aan grote gaswolken met een lage dichtheid. Door deze lage
dichtheid weten wetenschappers dat hier nog nooit sterren gevormd zijn.
Met behulp van deze metingen hebben de wetenschappers een model
opgesteld waarmee het verloop van de hoeveelheid deuterium in het
heelal beschreven kan worden. Volgens dit model neemt elke 15 miljard
jaar de hoeveelheid deuterium af met een factor tussen 2 en 3. Dit model
gaat dus uit van een exponentiële afname. De tijd waarin de helft van de
hoeveelheid deuterium in het heelal verloren is gegaan noemen we de
halveringstijd.
123pBereken de ondergrens voor de halveringstijd die uit deze gegevens volgt.
opgave 3Treinwielen
Een trein blijft nooit precies in het midden van het spoor rijden. Er is
ruimte tussen de wielen en het spoor waardoor de trein enigszins heen en
weer kan slingeren. Om te voorkomen dat treinen ontsporen zijn de wielen
als volgt ontworpen:
1 Beide wielen zitten vast aan dezelfde as. De wielen en de as vormen
een star geheel.
2 Beide wielen hebben een conische vorm: de diameter van het wiel is
aan de binnenkant groter dan aan de buitenkant. Zie figuur 1.
figuur 1
Een as die zich niet precies in het midden van het spoor bevindt zal door
deze constructie van de wielen tijdens het rijden vanzelf terug naar het
midden bewegen.
In figuur 2 is een schematisch bovenaanzicht van de treinwielen
weergegeven op verschillende tijdstippen ( a t/m e ). Op tijdstip a staat de
as uit het midden. Even later is de as enigszins geroteerd en beweegt
richting het midden van het spoor. Zie tijdstip b . Vervolgens schiet de as
een stukje door, zie tijdstip c , waarna aan de andere kant hetzelfde effect
optreedt. De trein gaat dus een slingerende zijwaartse beweging
uitvoeren. Hij “waggelt” een beetje over het spoor. Men noemt deze
golfbeweging de sinusloop.
figuur 2
133pLeg uit hoe de ontwerpkenmerken 1 en 2 er samen voor zorgen dat een
rijdende trein de sinusloop van figuur 2 zal uitvoeren.
Voor de golflengte λ van de sinusloop geldt de formule van Klingel:
Hierin is:
− d de afstand tussen de twee spoorrails in m
− r0 de gemiddelde straal van het wiel in m , dus gemeten in het midden
van het loopvlak
− γ de wielbandconiciteit
De wielbandconiciteit is een maat voor het verschil tussen binnen- en
buitendiameter van een wiel.
142pToon aan dat de wielbandconiciteit geen eenheid heeft.
In Nederland gelden de volgende gegevens:
Treinen rijden meestal met een snelheid van 140 km/h . De afstand tussen
twee spoorrails is 1435 mm . De waarde van de wielbandconiciteit is
0,050 . De gemiddelde diameter van een treinwiel is 95 cm .
153pToon aan dat de periode van de sinusloop bij deze snelheid 0,42 s is.
figuur 3
Om in de wagon geen last te hebben
van oneffenheden op het spoor zijn
er veren geplaatst tussen de wagon
en de wielen. We kunnen het geheel
benaderen als een massa-
veersysteem. Zie figuur 3.
Bij een bepaalde snelheid gaat het massa-veersysteem resoneren met de
sinusloop. Om comfortabel te rijden bij een snelheid van 140 km/h wordt
de totale veerconstante van de veren zo gekozen dat het
massaveersysteem een eigentrilling heeft die sterk afwijkt van 0,42 s .
Voor het massaveersysteem van de wagon met wielen geldt:
mwagon = 21,5 ⋅ 103 kg
Ctotaal = 1,0 ⋅ 105 Nm−1
163pBereken de snelheid waarbij resonantie optreedt.
171puitwerkbijlageVoor het remmen zijn sommige treinen uitgerust
met wervelstroomremmen. Hierin wordt een
draaiende metalen schijf afgeremd met behulp
van een magneetveld. In figuur 4 is een
wervelstroomrem geschetst. De metalen schijf zit
vast aan de as en draait mee met de wielen.
Met een elektromagneet wordt een magneetveld
loodrecht op de draaiende schijf opgewekt.
De elektromagneet bestaat uit een weekijzeren
kern die gemagnetiseerd wordt door het
magnetisch veld van een spoel die eromheen
gewikkeld is. Zie figuur 4. Deze figuur staat
vergroot op de uitwerkbijlage.
Geef in de figuur op de uitwerkbijlage de
stroomrichting in punt K weer.
Door het draaien van de schijf, beweegt steeds een gedeelte van de schijf
het magneetveld in. De elektronen in de schijf ondervinden dan een
lorentzkracht waardoor de elektronen in de schijf gaan bewegen. Op deze
manier ontstaan zogenaamde wervelstromen in de metalen schijf. Vier
voorbeelden van deze stromen zijn schematisch weergegeven in figuur 4.
De wervelstromen zorgen op hun beurt weer voor een lorentzkracht die de
schijf, en daarmee ook het wiel, afremt.
Figuur 4 staat nogmaals op de uitwerkbijlage met daarnaast een
vooraanzicht van de schijf. Hierin is de lorentzkracht op het schijfdeel M
weergegeven.
181puitwerkbijlageGeef in de figuur op de uitwerkbijlage de richting aan van de
wervelstromen in de punten P en Q.
De snelheid van de trein heeft invloed op de remkracht van de
wervelstroomrem. Om bij elke snelheid toch dezelfde remkracht te krijgen
kan de magneetveldsterkte worden aangepast.
193pLeg uit of de magneetveldsterkte bij lage snelheid groter of kleiner moet
zijn dan bij hoge snelheid.
opgave 4Geleidende klei
Op internet zijn instructies te vinden om geleidende ‘klei’ te maken.
Dit is een deeg waaraan keukenzout is toegevoegd. Ameera en Noa
onderzoeken diverse eigenschappen van deze geleidende klei. Daarvoor
maken ze een kleirol zoals te zien is in figuur 1.
figuur 1
Om de soortelijke weerstand te bepalen bouwen Ameera en Noa een
schakeling met de kleirol, een gelijkspanningsbron van 12,0 V , een
stroommeter en een spanningsmeter. Deze componenten staan
schematisch weergegeven op de uitwerkbijlage.
202puitwerkbijlageTeken in de figuur op de uitwerkbijlage de verbindingssnoeren die voor
deze schakeling nodig zijn.
Ameera en Noa doen de volgende metingen:
lengte van de kleirol: 21 cm
diameter van de kleirol: 4 cm
spanning over de kleirol: 12,0 V
stroomsterkte door de kleirol: 0,186 A
215pBereken de soortelijke weerstand van de klei. Noteer je antwoord in het
juiste aantal significante cijfers.
Ameera en Noa rollen de kleirol uit totdat deze twee keer zo lang is
geworden.
223pBeredeneer hoeveel keer zo groot of klein de weerstand van de kleirol is
geworden.
opgave 5Hawkingstraling
Een zwart gat is een object
waarvan de zwaartekracht zo
groot is dat zelfs licht er niet meer
aan kan ontsnappen: de
ontsnappingssnelheid is groter
dan de lichtsnelheid.
Onlangs is het wetenschappers
gelukt om uit een enorme
hoeveelheid afzonderlijke
opnamen een beeld van een zwart
gat te construeren.
Op 10 april 2019 werd de eerste foto ooit van een zwart gat gepubliceerd.
Zie figuur 1.
De massa van een ster uit de hoofdreeks is af te leiden uit het
stralingsvermogen met behulp van de volgende formule:
3,8
P M
= (1)
Pzon Mzon
hierin is:
− P het stralingsvermogen van de ster
− Pzon het stralingsvermogen van de zon
− M de massa van de ster
− Mzon de massa van de zon
Als de massa van een ster groter is dan 12 keer de massa van de zon, zal
deze uiteindelijk een zwart gat worden. Op de uitwerkbijlage staat een
Hertzsprung-Russell diagram. Hierin is een ster gemarkeerd.
233pBepaal of deze ster zal eindigen als een zwart gat.
Om te kunnen ontsnappen aan de gravitatiekracht van een zwaar
hemellichaam moet de snelheid groter zijn dan de ontsnappingssnelheid
van dat hemellichaam. Deze is te berekenen met de volgende formule:
hierin is:
− v de ontsnappingssnelheid in m s−1
− G de gravitatieconstante in N m2 kg−2
− M de massa van het hemellichaam in kg
− r de afstand tot aan het middelpunt in m
243pLeid formule (2) af met behulp van formules uit het informatieboek.
Bij een zwart gat geldt dat op een bepaalde afstand van het middelpunt
de benodigde ontsnappingssnelheid gelijk is aan de lichtsnelheid. Deze
afstand wordt de schwartzschildstraal rs genoemd. Alles wat dichterbij
komt dan rs zal nooit meer aan het zwarte gat kunnen ontsnappen.
Hoewel er bij snelheden in de buurt van de lichtsnelheid rekening moet
worden gehouden met de relativiteitstheorie blijk je voor de berekening
van de schwartzschildstraal de klassieke formule (2) te kunnen gebruiken.
252pBereken de schwartzschildstraal van een zwart gat met een massa die 20
keer zo groot is als die van de zon.
Onder andere Stephen Hawking voorspelde in 1974 dat zwarte gaten in
staat zijn om straling uit te zenden, ondanks het feit dat niets aan een
zwart gat kan ontsnappen. Deze straling wordt hawkingstraling genoemd.
Als gevolg hiervan verliest een zwart gat energie, wat ten koste gaat van
de massa. Zwarte gaten ‘verdampen’ als het ware.
Hawkingstraling is tot nu toe nog niet experimenteel waargenomen. De
reden daarvoor is dat de straling, als de voorspelling klopt, zeer moeilijk
waarneembaar is.
Om het verdampen van een zwart gat te beschrijven beschouwde
Hawking dit als een zwarte straler met straal rs en temperatuur T . De
hawkingstraling wordt in dit model dus beschreven met een planck-
kromme. Voor de temperatuur geldt dan:
T = (3)
262pLeg uit waarom hawkingstraling moeilijk waarneembaar is.
Voor het verband tussen het uitgestraalde vermogen door een zwart gat
en de massa bestaat het volgende verband:
P M − 2 (4)
hierin betekent het symbool ‘evenredig met’.
273pToon met behulp van formule (2) en formule (3) en een formule uit het
informatieboek aan dat het verband in formule (4) klopt.
Let op: de laatste vraag van dit examen staat op de volgende pagina.
Door de hawkingstraling verliest een zwart gat voortdurend energie en
daarmee ook massa. Hierbij geldt dat het massaverlies evenredig is met
de uitgestraalde energie van het zwarte gat.
In figuur 2 zijn twee ( M , t )-grafieken getekend.
figuur 2
282pLeg uit welke grafiek, A of B , het juiste verband weergeeft tussen de
massa van een zwart gat en de tijd.
Bronvermelding
Een opsomming van de in dit examen gebruikte bronnen, zoals teksten en afbeeldingen, is te vinden in het bij dit examen
behorende correctievoorschrift.
