opgave 1Startende ondernemingen
In Nederland starten elk jaar ongeveer 50 000 bedrijven. Sommige van deze startende
bedrijven verdwijnen weer snel, andere overleven langere tijd. De Kamers van Koophandel
houden de gegevens hierover nauwkeurig bij. Op basis hiervan is in figuur 1 weergegeven
hoeveel procent van deze bedrijven na een aantal jaren verdwenen is.
Startende ondernemingen Ieder jaar worden er in ons land zo'n 50000 nieuwe bedrijven opgericht. Na 9 jaar is 60% van de bedrijven alweer opgeheven. percentage60 opgeheven 50 bedrijven 40 30 20 10 0 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 aantal jaren na de start
figuur 1
We maken een wiskundig model. In dit model gaan we ervan uit dat elk bedrijf elk jaar
dezelfde vaste overlevingskans heeft. Uit figuur 1 kun je afleiden dat een startend bedrijf
40% kans heeft om de eerste 9 jaar te overleven. Op grond hiervan kan de jaarlijkse vaste
overlevingskans van startende bedrijven worden berekend.
14p
Bereken deze jaarlijkse overlevingskans in vier decimalen nauwkeurig.
In de volgende twee vragen gaan we uit van een jaarlijkse overlevingskans van 0,9.
24p
Bereken de kans dat een startend bedrijf na 4 jaar nog bestaat en onderzoek of deze
uitkomst in overeenstemming is met de gegevens van figuur 1.
Bij een steekproef worden uit de landelijke gegevens van de Kamers van Koophandel
willekeurig 50 startende bedrijven geselecteerd.
34p
Bereken in twee decimalen nauwkeurig de kans dat van de 50 startende bedrijven na 1 jaar
minstens 45 bedrijven nog bestaan.
Gemeente A heeft door goede begeleiding van startende bedrijven weten te bereiken dat de
jaarlijkse overlevingskans voor die bedrijven in deze gemeente op 0,95 uitkomt. Het beleid
is erop gericht dat in deze gemeente jaarlijks 144 bedrijven starten. Een ambtenaar heeft
namelijk berekend dat er dan ‘een heel grote kans’ is dat na 5 jaar ten minste 100 van deze
bedrijven nog bestaan.
45p
Bereken in twee decimalen nauwkeurig hoe groot die kans is.
opgave 2Afstand
Om ongelukken te voorkomen moet een automobilist voldoende afstand bewaren tot de auto
die voor hem rijdt.
Een formule voor de veilige afstand A ziet er als volgt uit:
A = 0,005v2 + 0,28v
Hierbij is v de snelheid in km/uur en A de afstand in meters.
55p
Teken het toenamediagram en toon daarmee aan dat hier sprake is van toenemende stijging.
Gebruik in het toenamediagram de intervallen [0, 20], [20, 40], …, [100, 120].
Veel automobilisten vinden 50 meter afstand tot hun voorligger al overdreven veel.
64p
Bereken bij welke snelheid de veilige afstand volgens bovenstaande formule gelijk is aan
50 meter.
Instanties die zich met verkeersveiligheid bezighouden, beseffen dat geen enkele
automobilist in de praktijk deze formule zal toepassen. Daarom is men een paar jaar
geleden een actie gestart om een eenvoudige vuistregel onder de aandacht van de
automobilisten te brengen. Deze vuistregel staat bekend onder de naam twee-seconden-
regel. In een folder staat daarover het volgende:
Om te bepalen of je op voldoende grote afstand achter je voorligger rijdt, kies je tijdens het rijden een
herkenbaar punt langs de weg. Op het moment dat je voorligger dit punt passeert, tel je 2 seconden af.
Als je vervolgens binnen deze 2 seconden zelf voorbij dit punt rijdt, zit je te dicht op je voorligger en zul
je vaart moeten minderen.
Volgens deze vuistregel zou je bij een snelheid van 90 km/uur, dat is 25 m/s, minder
afstand hoeven te bewaren tot je voorligger dan volgens de formule voor A.
73p
Bereken hoeveel meter dit verschil bedraagt.
Klaarblijkelijk is het tellen van slechts 2 seconden te weinig om er zeker van te zijn dat er
sprake is van een veilige afstand. Op snelwegen, waar snelheden tot 120 km/uur toegestaan
zijn, moet je meer dan 2 seconden tellen om in ieder geval de veilige afstand A te bereiken.
84p
Onderzoek bij welk aantal seconden de veilige afstand wèl wordt bereikt bij 120 km/uur.
opgave 3Sojabonen
In de Verenigde Staten worden op grote schaal sojabonen geteeld. Vanaf begin september
worden de sojabonen geoogst. Voor de jaren 1985 tot en met 1998 heeft men berekend
hoeveel procent van de jaaroogst aan het eind van elke week was geoogst. Het gemiddelde
van deze 14 jaren is weergegeven in figuur 2. Deze figuur staat ook op de bijlage.
figuur 2
Tijdens een aantal weken werd gemiddeld per dag meer dan 1% van de jaaroogst geoogst.
94p
Onderzoek aan de hand van de grafiek in figuur 2 welke weken dat zijn.
Voor het jaar 1999 heeft men per week het in die week binnengehaalde percentage van de
jaaroogst berekend. De gegevens staan in figuur 3.
15
10
Van het staafdiagram in figuur 3 kan ook een grafiek gemaakt worden zoals in figuur 2.
104p
Teken in de figuur op de bijlage de grafiek die hoort bij de gegevens in figuur 3 en ga aan
de hand daarvan na of er in 1999 sprake was van een vroege oogst of een late oogst.
Beargumenteer je keuze.
Het percentage sojabonen dat op een bepaalde datum is geoogst, verschilt van jaar tot jaar.
Deze percentages zijn voor elke datum normaal verdeeld. De grafiek in figuur 2 geeft dan
ook een gemiddelde weer over 14 jaar. Op 10 oktober is gemiddeld 45% van de sojabonen
geoogst, met een standaardafwijking van 15%.
113p
Bereken in vier decimalen nauwkeurig de kans dat op 10 oktober minder dan 20% zal zijn
geoogst.
opgave 4Vliegtuiglawaai
Vliegtuigen veroorzaken in de buurt van vliegvelden veel geluidsoverlast. In milieuwetten
is vastgelegd welke geluidsbelasting (hoeveel geluid) nog toegestaan is. Door deze wetten
worden de groeimogelijkheden van het vliegverkeer beperkt.
In deze opgave nemen we aan dat alle vliegtuigen hetzelfde geluidsniveau hebben.
Dit geluidsniveau geven we aan met L. De waarde van L bepaalt hoeveel vliegtuigen
jaarlijks maximaal mogen passeren. Dit maximale aantal noemen we N. Voor een gebied in
de buurt van vliegveld Zuidwijk gold aan het eind van de vorige eeuw de voorwaarde:
(1) 20
⋅ log
N = 202
LDoor het gebruik van nieuwe technieken neemt het geluidsniveau L van vliegtuigen af.
In zekere periode nam L af van 75 tot 70.
125p
Toon door berekening aan dat
N in die periode meer dan verdubbelde
. 133p
Bereken de maximale waarde van
L waarbij er een half miljoen (500 000) vliegtuigen
mogen passeren.
In 2001 werd een nieuwe milieuwet van kracht. Voor het gebied in de buurt van vliegveld
Zuidwijk geldt sindsdien:
De oude en de nieuwe formule leverden in 2001 dezelfde waarde van N op.
144p
Bereken welke waarde
L in 2001 had.
In de nieuwe situatie geldt N = 1012,4−0,1L.
153p
Laat zien hoe dit volgt uit formule (2).
Hoewel de formules (1) en (2) dezelfde aantallen passerende vliegtuigen opleverden in
2001, gaf de introductie van formule (2) aanleiding tot veel discussie. We gaan beide
formules met elkaar vergelijken. In figuur 4 is voor formule (1) het verband tussen L en N
getekend. Let op de bijzondere schaalverdeling op de horizontale as: de waarden van L
nemen naar rechts af. Deze figuur staat ook op de bijlage.
figuur 4
165p
Schets op de bijlage ook voor de nieuwe formule (2) het verband tussen
L en
N en geef een
argument waarom milieugroepen, met betrekking tot het lawaai, kritiek hebben op de
nieuwe formule. Gebruik je figuur om je argument te onderbouwen.
Let op: de laatste vragen van dit examen staan op de volgende pagina.
opgave 5NoppesNet
Een internetprovider biedt zijn klanten volledig gratis toegang tot internet aan. Dat klinkt
aantrekkelijk, maar in de praktijk valt het tegen, zoals blijkt uit onderstaand artikel uit een
computertijdschrift.
De nieuwe provider NoppesNet biedt sinds enige
Telkens als ze verbinding probeerden te maken
tijd volledig gratis toegang tot internet aan. Een
met NoppesNet noteerden de deelnemers aan het
gratis telefoonnummer, geen inbelkosten, geen
onderzoek of ze wel of niet een internetverbinding
abonnementskosten, noppes. Wij wilden wel eens
kregen. De conclusie: slechts 1 op de 20 pogingen
weten hoe dat bevalt, en hebben een aantal lezers
gevraagd enige tijd hun ervaringen bij te houden.
NoppesNet heeft zijn zaakjes duidelijk niet goed
Daar word je niet vrolijk van. Verbindingen komen,
voor elkaar. Voorlopig stellen we daarom vast dat
zo lijkt het, slechts bij toeval tot stand.
je voor noppes ook noppes krijgt.
We gaan er in de rest van deze opgave van uit dat bij iedere poging de kans op succes
precies gelijk is aan 0,05.
Inge is klant van NoppesNet. Het computerprogramma dat zij gebruikt om
internetverbindingen te maken, probeert na een mislukte poging automatisch opnieuw
verbinding te maken.
In theorie kan Inge het computerprogramma net zo vaak laten proberen totdat er een
verbinding tot stand gekomen is. Het benodigde aantal pogingen noemen we n. De kans dat
er precies n pogingen nodig zijn noemen we pn.
Er geldt bijvoorbeeld: p3 = 0,045125.
173p
Toon dit aan.
Voor pn kan zowel een recursieve als een directe formule opgesteld worden.
184p
Geef zowel een recursieve formule als een directe formule voor
pn.
In de praktijk kan het programma niet meer dan 12 pogingen doen.
194p
Bereken in vier decimalen nauwkeurig de kans dat het computerprogramma een verbinding
tot stand brengt.
204p
Bereken in één decimaal nauwkeurig hoeveel pogingen het computerprogramma naar
verwachting doet.
We nemen nu aan dat Inge het maximale aantal pogingen van de computer zelf kan
instellen. We noemen dit maximale aantal M. Inge wil M zó kiezen, dat de kans dat er geen
verbinding tot stand komt ten hoogste 30% is.
215p
Bereken de kleinste waarde van
M waarvoor dit het geval is.
