Eindexamen wiskunde A vwo 2004, tijdvak 1 (wiskunde A1)

→ Onderzoek of het volgens de figuren 1A en 1B mogelijk is dat gedurende de gehele periode van 1950 tot 2025 de bevolkingsgroei in Afrika 3% per jaar is. In figuur 1C zie je de leeftijdsopbouw in de ontwikkelingslanden in 1985 (binnenste deel van de figuur) en de verwachte leeftijdsopbouw in 2025 (gehele figuur). Voor de ontwikkelingslanden geldt dat de verwachte gemiddelde leeftijd in 2025 hoger is dan de gemiddelde leeftijd in 1985.

→ Bereken hoeveel gulden B uiteindelijk meer moet afdragen dan A. In figuur 3 staat de grafiek van het verband tussen het bedrag dat zonder de regeling moet worden afgedragen en het bedrag dat na toepassing van de regeling afgedragen moet worden. figuur 3 0 0 1000 2000 3000 4000 5000 6000 af te dragen zonder regeling (guldens) Voor de volgende vraag stelt x het bedrag voor dat zonder deze regeling moet worden afgedragen. Zie de horizontale as in figuur 3. En y is het bedrag dat mét deze regeling moet worden afgedragen. Zie de verticale as in figuur 3. Beide bedragen zijn in guldens. Voor waarden van x tussen 2964 en 4150 is het verband tussen x en y te beschrijven met een formule van de vorm y = ax + b .

De regeling voor kleine ondernemers bestond al langer. Echter, in de loop der jaren zijn sommige bedragen gewijzigd. Tot en met 1987 luidde de regeling als volgt: tekst Vermindering voor kleine ondernemers in guldens Hoeveel BTW zou u per jaar moeten afdragen aan de Belastingdienst? Hoeveel vermindering kunt u krijgen? Meer dan ƒ 4150 Geen vermindering ƒ 4150 of minder, maar meer dan ƒ 2500 Vermindering van af te dragen BTW: ƒ 4150 – (BTW-bedrag) ƒ 2500 of minder, maar meer dan ƒ 2300 Vermindering van af te dragen BTW: ƒ 2300 ƒ 2300 of minder De vermindering is gelijk aan het BTW-bedrag. U hoeft dus geen BTW af te dragen. Ook bij deze regeling is een grafiek getekend. Zie figuur 4. figuur 4 0 0 1000 2000 3000 4000 5000 6000 af te dragen zonder regeling (guldens) Men vond deze regeling onrechtvaardig voor ondernemers die zonder de regeling iets meer dan 2500 gulden zouden moeten afdragen.

→ Bereken het aantal punten dat Tom kan verwachten. Er is ook wel eens geopperd om bij een onjuist antwoord strafpunten te geven. Een kandidaat heeft dan twee keuzes: niets invullen levert 0 punten op; wel iets invullen levert 1 punt op bij een juist antwoord en –0,5 punt (0,5 strafpunt) bij een onjuist antwoord.

→ Bereken de verwachtingswaarde van de score per vraag bij dit strafpuntensysteem als een kandidaat gokt. Subjectieve kansen We kijken nu naar een andere manier van toetsen met vierkeuzevragen. Hierbij hoeft de kandidaat niet meer één antwoord te kiezen. In plaats daarvan vraagt men de kandidaat achter elk van de vier mogelijke antwoorden A , B , C en D de subjectieve kans op te schrijven. Een kandidaat die bijvoorbeeld noteert p A = 0,2; p B = 0,8; p C = 0; p D = 0 geeft daarmee aan dat hij er vrij zeker van is dat B juist is, maar dat A ook nog zou kunnen, en dat C en D volgens hem zeker fout zijn. De opgeschreven getallen p A , p B , p C en p D mogen natuurlijk niet negatief zijn en moeten bij elkaar opgeteld 1 zijn. Bij iedere vraag wordt een score berekend die aangeeft ‘hoe dicht je bij het juiste antwoord zit’. Als bijvoorbeeld C het juiste antwoord is, dan wordt de score berekend met de volgende formule: score = 1 − ( p A 2 + p B 2 + ( 1 − p C ) 2 + p D 2 ) Voor de gevallen waarbij A , B of D het juiste antwoord is, gelden soortgelijke formules. De maximale score is 1 en de minimale score is –1. Bij een bepaalde vraag is het juiste antwoord B . Een kandidaat die niet helemaal zeker van zijn zaak is, noteert bij deze vraag als subjectieve kansen: p A = 0,2; p B = 0,7; p C = 0; p D = 0,1

Een kandidaat moet een vraag beantwoorden maar heeft geen idee welk antwoord juist is en welke antwoorden onjuist zijn. Er zijn heel veel mogelijkheden voor de kandidaat om die vraag te beantwoorden: • Mogelijkheid I : De kandidaat zou kunnen gokken op een antwoord door daar 1 achter te schrijven (en dus 0 achter de andere antwoorden). Het antwoord waarbij de kandidaat 1 heeft gezet, kan goed zijn. Dan is de score 1. Als het niet goed is, is de score − 1. De verwachte score is dan: ¼ ⋅ 1 + ¾ ⋅− 1 = − 0,50 . • Mogelijkheid II : Hij schrijven. kan ook op twee antwoorden gokken door achter ieder van die twee antwoorden ½ te • Mogelijkheid III : schrijven. Hij kan ook op drie antwoorden gokken door achter ieder van die drie antwoorden ⅓ te • Mogelijkheid IV : En tenslotte kan hij ook op alle vier de antwoorden gokken door achter alle antwoorden ¼ te schrijven. Deze laatste mogelijkheid levert hem een score van 0,25 op. Er zijn nog veel meer mogelijkheden om de vraag te beantwoorden. We kijken echter alleen naar de bovengenoemde vier mogelijkheden. De score bij mogelijkheid IV is hoger dan de verwachte score bij mogelijkheid I. Mogelijkheid IV is daarmee een ‘verstandiger’ strategie dan mogelijkheid I.