opgave 1Meer neerslag
De laatste tijd komen er steeds meer aanwijzingen dat het klimaat op aarde verandert. Dit
heeft onder andere gevolgen voor de jaarlijkse hoeveelheid neerslag in Nederland. Om een
indruk te krijgen van die jaarlijkse hoeveelheid neerslag zijn in tabel 1 gegevens van vijf
meetstations in de periode 1905-1998 weergegeven.
Gemiddelde jaarlijkse hoeveelheid neerslag gedurende de periode 1905-1998We nemen aan dat de jaarlijkse hoeveelheid neerslag bij elk van de meetstations normaal
verdeeld is.
We bekijken de kans dat er in een jaar meer dan 950 mm neerslag valt. Weerkundigen
veronderstelden tot voor kort dat dergelijke kansen in de loop van de jaren niet veranderen.
Op grond van het bovenstaande kunnen we nagaan of deze kans in Winterswijk groter is
dan in Hoofddorp zonder deze kans uit te rekenen.
14p
Geef aan in welk van beide plaatsen de kans dat er in een jaar meer dan 950 mm neerslag
valt, het grootst is. Motiveer je antwoord zonder daarbij deze kans uit te rekenen.
23p
Bereken de kans dat in een jaar in Leeuwarden meer dan 950 mm neerslag valt.
Zoals gezegd veronderstelden weerkundigen tot voor kort dat kansen op bepaalde
hoeveelheden neerslag in de loop van de jaren niet veranderen. Inmiddels is men tot het
inzicht gekomen dat er sprake is van een trend: de jaarlijkse hoeveelheid neerslag in
Nederland neemt langzaam toe. In figuur 1 is voor elk jaar de gemiddelde hoeveelheid
neerslag van de vijf meetstations met een blokje aangegeven. Bovendien is daarbij de
zogenaamde trendlijn getekend. De trendlijn volgt zo goed mogelijk de gemiddelde
jaarlijkse hoeveelheid neerslag. De trendlijn kan worden gebruikt om een schatting te
maken van de te verwachten hoeveelheid neerslag in de komende jaren.
figuur 1
We veronderstellen dat de te verwachten jaarlijkse hoeveelheid neerslag N in mm in de
toekomst lineair zal blijven toenemen. N kan dan worden geschreven als een functie van het
aantal jaren t dat is verstreken vanaf 1900.
35p
Stel een formule op voor
N en bereken daarmee in welk jaar de hoeveelheid neerslag
volgens de trendlijn voor het eerst groter zal zijn dan 850 mm.
Er zijn ook andere manieren om te onderzoeken of het gedurende de afgelopen eeuw
‘natter’ is geworden. We kunnen kijken naar de 5 ‘natste’ jaren. Deze zijn in figuur 1 af te
lezen, namelijk 1961, 1965, 1966, 1994 en 1998. Het blijkt dat de 5 ‘natste’ jaren allemaal
na 1951 vielen, dus in de tweede helft van de periode 1905-1998.
Stel dat je 5 jaren willekeurig kiest uit deze periode van 94 jaar. De kans dat je uitsluitend
jaren uit de tweede helft van de periode kiest, is klein.
44p
Bereken deze kans. Geef het antwoord in vier decimalen nauwkeurig.
Een andere maat voor de ‘natheid’ van een jaar is het aantal maanden van dat jaar dat de
neerslag boven een bepaalde waarde, de grenswaarde, komt. Die grenswaarden zijn 30, 40,
50, …, 130 mm. Met de gegevens over de periode 1905-1998 is tabel 2 gemaakt.
Gemiddeld aantal maanden per jaar met grenswaardenoverschrijdingUit tabel 2 lezen we bijvoorbeeld af dat het aantal maanden per jaar waarin meer dan
60 mm neerslag viel, gemiddeld 6,5 bedroeg.
Men spreekt van een extreem nat jaar als meer dan 9 van deze grenswaarden vaker worden
overschreden dan de overeenkomstige waarde in tabel 2.
De gegevens van De Bilt over 2001 zijn weergegeven in tabel 3.
Maandelijkse hoeveelheid neerslag in De Bilt in 2001maand
jan
feb
mrt
apr
mei
juni
juli
aug
sep
okt
nov
dec
neerslag (mm) 
71 
89 
74 
87 
29 
54 
87 
116 
211 
41 
85 
94 
54p
Onderzoek of 2001 voor De Bilt een extreem nat jaar was.
opgave 2Breedte van wegen
In de jaren vijftig deed de Amerikaan D.L. Gerlough onderzoek naar de
voetgangersveiligheid van wegen. Als er veel verkeer over een weg gaat, is er voor
voetgangers weinig gelegenheid om veilig over te steken.
Daarom stelde Gerlough de zogenaamde ‘veilige norm’ op. Een weg voldoet aan deze
veilige norm wanneer er zich gemiddeld elke minuut een gelegenheid voordoet om veilig
over te steken. Dat lukt alleen als het aantal auto’s dat per uur passeert onder een maximum
blijft. Dit maximum geven we hier aan met Nmax en is afhankelijk van de breedte van de
weg.
Gerlough beperkte zich in zijn onderzoek tot wegen met een breedte tussen 2 meter en
9 meter. Hij kwam tot de volgende formule:
N
(1,778
− log
B)
In deze formule is B de breedte van de weg in meters.
Vanzelfsprekend is deze formule een model van de werkelijkheid. Met behulp van dit model
kunnen we enig inzicht krijgen in de veiligheid bij de aanleg van wegen.
Over een weg passeren in de spits 800 auto’s per uur.
63p
Bereken in decimeters nauwkeurig hoe breed deze weg ten hoogste mag zijn zonder dat de
veilige norm wordt overschreden.
Bij een brede weg duurt het oversteken langer dan bij een smalle weg. Voor wegen die
voldoen aan de veilige norm, betekent dit dat er bij een brede weg per uur minder auto’s
mogen passeren dan bij een smalle weg. De grafiek van Nmax moet dus dalend zijn.
De formule voor Nmax moet hiermee in overeenstemming zijn.
74p
Leg uit hoe je uitsluitend aan de hand van de formule voor
Nmax – dus zonder gebruik van
de GR – kunt beredeneren dat hier sprake is van een dalende functie.
Een weg die voldoet aan de veilige norm, wordt 0,50 meter breder gemaakt. Volgens de
formule neemt Nmax daardoor met 126 af.
85p
Onderzoek met behulp van de GR hoe breed de weg oorspronkelijk was. Geef je antwoord
in decimeters nauwkeurig.
opgave 3Leugendetector
In het tijdschrift Nature stond enige tijd geleden een artikel waarin de werking van een
leugendetector werd uitgelegd. Iemand die liegt, krijgt een nauwelijks waarneembaar
‘blosje’ in het gezicht. De leugendetector probeert dit blosje waar te nemen. Volgens het
artikel is de leugendetector een belangrijk hulpmiddel om na te gaan of iemand liegt.
Met de leugendetector zijn veel experimenten uitgevoerd. Daaruit is gebleken dat de
leugendetector niet altijd foutloos werkt. Zo wordt in slechts 75% van de gevallen een
leugenaar daadwerkelijk als leugenaar herkend.
We nemen aan dat voor iedere leugenaar geldt dat de kans dat deze correct als leugenaar
herkend wordt, gelijk is aan 0,75.
94p
Bereken in vier decimalen nauwkeurig de kans dat de leugendetector bij 200 leugenaars 40
of meer fouten maakt.
Ook bij eerlijke mensen (mensen die niet liegen) werkt de leugendetector niet altijd
foutloos. Gemiddeld blijkt de leugendetector 1 van de 12 eerlijke mensen toch als leugenaar
te bestempelen.
We bekijken een groep van 100 personen, bestaande uit 40 leugenaars en 60 eerlijke
mensen. Je kunt narekenen dat de leugendetector naar verwachting bij 85 personen uit deze
groep de juiste conclusie zal trekken. Men spreekt in dit geval van een betrouwbaarheid
van 85% voor deze groep.
De betrouwbaarheid hangt af van de samenstelling van de groep. Wanneer we een groep van
100 personen nemen met daarin 16 leugenaars, krijgen we een andere waarde voor de
betrouwbaarheid.
103p
Bereken hoe groot de betrouwbaarheid dan is.
Naarmate er in verhouding minder leugenaars in een groep zitten, zal de betrouwbaarheid
van de leugendetector toenemen.
In een groep van 100 personen is de betrouwbaarheid van de leugendetector 87%.
114p
Bereken het aantal leugenaars in deze groep.
De leugendetector kan ook worden ingezet bij grootscheepse controles, zoals op
vliegvelden. Daar moeten alle passagiers antwoord geven op de vraag of ze iets hebben aan
te geven. Niet iedereen antwoordt naar waarheid.
Van alle passagiers in een bepaalde regio antwoordt 0,4% niet naar waarheid, zodat de
betrouwbaarheid van deze leugendetector in die regio 91,6% is. De autoriteiten van een
vliegveld in de regio overwegen deze leugendetector te gaan gebruiken, maar vinden de
betrouwbaarheid van 91,6% nog te laag. Iemand beweert een nieuwe versie te kunnen
leveren, die beter werkt. Daarmee bedoelt hij dat de kans op een juiste beslissing bij zijn
leugendetector hoger is dan 0,916. Men besluit dit apparaat in deze regio te gaan testen. Bij
de test geeft het apparaat in 834 van de 900 gevallen een juiste beslissing.
126p
Ga na of dit resultaat bij een significantieniveau van 5% voldoende aanleiding geeft om de
conclusie te trekken dat deze nieuwe versie van de leugendetector beter werkt.
opgave 4Pareto-krommen
In een fabriek worden printplaatjes voor mobiele telefoons geproduceerd. Alle printplaatjes
worden gecontroleerd voordat ze de fabriek verlaten. Afgekeurde printplaatjes worden
vernietigd. Bij de controle is een maand lang genoteerd wat de oorzaak is van het afkeuren,
zie tabel 4. We gaan ervan uit dat andere maanden hetzelfde beeld vertonen.
In principe zijn al deze oorzaken te verhelpen door verbeteringen in het productieproces.
Dat brengt wel de nodige kosten met zich mee. In tabel 4 is bij elke oorzaak aangegeven
wat de maandelijkse kosten zijn om deze oorzaak te verhelpen.
Onderzoek van afgekeurde printplaatjes gedurende de maand mei
oorzaak aantal afgekeurde printplaatjes kosten in euro per maand om oorzaak te verhelpen losse soldeerverbinding 852 2200 kortsluiting 511 3600 barst in plaat 295 300 verbogen aansluitpunten 141 1500 gaten te wijd 117 900 plaat krom 61 500 printpatroon verschoven 38 4400 condensator verkeerd om 25 60 plaat te breed 13 500 corrosie 3 1800 totaal 2056 15 760
Door 15 760 euro per maand te investeren zou men alle 2056 afkeuringen kunnen
voorkomen. Wanneer men slechts een deel van dit bedrag wil investeren, is het verstandig
te beginnen met de oorzaak waarbij de vermindering van het aantal afkeuringen per
geïnvesteerde euro het grootst is, vervolgens de oorzaak waarbij de vermindering van het
aantal afkeuringen per geïnvesteerde euro het op één na grootst is, enzovoorts. In figuur 2
zijn de oorzaken op deze wijze geordend. Langs de horizontale as staan de cumulatieve
kosten per maand om de oorzaken te verhelpen, langs de verticale as staat de cumulatieve
vermindering van het aantal afkeuringen. Een dergelijke kromme heet een Pareto-kromme.
2500 aantal verbogen aan- plaat te breed corrosie printplaatjes sluitpunten 2000 gaten te wijd printpatroon plaat krom verschoven 1500 kortsluiting losse soldeer- 1000 verbinding 500 condensator verkeerd om barst in plaat 0 0 5000 10000 15000 20000 kosten per maand
figuur 2
135p
Toon aan dat de volgorde van de oorzaken ‘kortsluiting’ en ‘gaten te wijd’ in figuur 2 in
overeenstemming is met de gegevens in tabel 4.
Om Pareto-krommen bij verschillende productieprocessen te kunnen vergelijken, noteren
we de kosten op de horizontale as als percentage van de totale kosten om álle
afkeuringsoorzaken te verhelpen. En de aantallen afkeuringen op de verticale as noteren we
als percentage van het totale aantal afkeuringen. In figuur 3 zijn enkele van zulke krommen
getekend. Deze figuur staat ook, vergroot, op de uitwerkbijlage.
figuur 3
Kromme I gaat door het punt (20, 80). Dat betekent dat met 20% van de totale benodigde
kosten 80% van de afkeuringen te voorkomen is. Deze kromme heet een (20, 80)-kromme.
Kromme II is een (10, 90)-kromme.
Elke Pareto-kromme is op deze wijze aan te duiden als (a, b)-kromme met a + b = 100.
144puitwerkbijlage
Schets in de figuur op de uitwerkbijlage een (40, 60)-kromme.
In figuur 2 zijn geen percentages gebruikt. Toch kunnen we ook de grafiek in figuur 2 als
(a, b)-kromme aanduiden, met a + b = 100. Figuur 2 staat ook op de uitwerkbijlage.
154p
Welke aanduiding hoort bij de Pareto-kromme in figuur 2? Licht je antwoord toe.
Bij de volgende vraag kijken we niet meer naar percentages, maar naar kosten in euro.
Bij een bepaald productieproces heeft men voor de bijbehorende Pareto-kromme het
volgende wiskundige model gemaakt:
B = 2500 · K0,2
Hierbij stelt K de cumulatieve kosten in euro voor om de verschillende afkeuringsoorzaken
te verhelpen, en B de cumulatieve besparing in euro door de bijbehorende vermindering van
het aantal afkeuringen.
Met dit model is te berekenen dat een investering van bijvoorbeeld 600 euro in het
verhelpen van mankementen een besparing oplevert van bijna 9000 euro. Maar als er
800 euro wordt geïnvesteerd, is de besparing ruim 9500 euro. De keuze K = 800 is dus voor
het bedrijf gunstiger dan de keuze K = 600. De extra besparing van 500 euro is namelijk
groter dan de extra investering van 200 euro. Het is dus heel verstandig om die extra
investering te doen.
Een verhoging van de investering van bijvoorbeeld 3000 naar 3300 euro levert echter een
extra besparing op van minder dan 300 euro. Het is dan dus niet meer verstandig die extra
investering te doen.
De beste keuze van K in dit verband is daar waar het verschil tussen de besparing en de
investering het grootst is. Deze waarde van K kan worden gevonden met behulp van het
opstellen van de afgeleide van B – K.
165p
Stel deze afgeleide op en bereken daarmee welke keuze van
K de beste is.
Let op: de laatste vragen van dit examen staan op de volgende pagina.
opgave 5Veel zalm
De bioloog W. Ricker heeft veel onderzoek gedaan naar zalm in Canadese rivieren.
Jaarlijkse tellingen hebben uitgewezen dat de omvang van de zalmpopulatie sterk fluctueert.
Zo komt het voor dat de omvang van de populatie na een jaar meer dan verdubbeld is. Weer
een jaar later is de omvang dan weer meer dan gehalveerd.
Ricker ontwikkelde rond 1955 een model dat goed bruikbaar is om dit verschijnsel te
beschrijven. In deze opgave bestuderen we het model:
In deze recursievergelijking is t het aantal jaren na 1984 (het tijdstip t = 0 komt dus overeen
betreffende jaar.
174p
Bereken met hoeveel procent de omvang van de zalmpopulatie volgens dit model is gedaald
tussen begin 1986 en begin 1987.
Ook is de grafiek van y = x getekend. Deze figuur is eveneens, vergroot, op de
uitwerkbijlage afgebeeld.
183pIn de grafiek kun je zien dat het model twee
evenwichtswaarden heeft. Eén ervan is
Bereken de tweede evenwichtswaarde.
Als we voor de beginwaarde de
Een evenwichtswaarde noemen we stabiel als bij keuzes van de beginwaarde in de buurt
195puitwerkbijlage
Onderzoek met een webgrafiek in de figuur op de uitwerkbijlage of de tweede
evenwichtswaarde van het model stabiel is.
is mogelijk deze beginwaarde zo te kiezen dat de populatie al direct het volgende jaar zijn
maximale omvang bereikt.
203p
Bereken bij welke beginwaarde dit het geval is.
begin van het jaar 150 duizend zalmen vangt, zal zich telkens dezelfde situatie voordoen:
het model geeft 25 duizend zalmen aan het begin van het jaar en 175 duizend zalmen aan
Er is nog een beginwaarde die ruimte biedt om elk jaar 150 duizend zalmen te vangen.
