bronnen

Eindexamen wiskunde A vwo 2009, tijdvak 2 (wiskunde A1,2)

opgave 1Zeemonsters

In 1972 werd de mesoplodon densirostris ontdekt in de oceaan. Het is een
dolfijnensoort die 7 meter lang kan worden. Mede naar aanleiding van deze
vondst deed de bioloog C. Paxton onderzoek naar de vraag hoeveel van
dergelijke grote diersoorten er in de toekomst nog meer ontdekt zullen worden.
Paxton beperkte zich tot wat hij zeemonsters noemde: dieren die in zee leven en
meer dan 2 meter lang kunnen worden.
foto
foto
Een mesoplodon densirostris
Op basis van gegevens over het aantal ontdekte zeemonsters in verschillende
jaren stelde Paxton het volgende model op:
P(t) = (264t − 476657)/(t − 1767)
Met dit model kon hij een schatting maken van het aantal ontdekte soorten tot
en met een zeker jaar t. In deze formule is P(t) het aantal soorten dat tot en met
jaar t bekend is. Dus als je een schatting wilt van het aantal soorten dat
bijvoorbeeld op het eind van het jaar 1980 bekend is, dan moet je t = 1980
invullen in de formule. De uitkomst wordt afgerond op gehelen.
Vanaf eind 1895 tot en met eind 1995 zijn er in werkelijkheid 30 soorten ontdekt.
13p
Bereken hoeveel soorten er volgens het model van Paxton zouden zijn ontdekt
in deze periode.
Zo nu en dan wordt er een nieuwe soort ontdekt. Dat betekent dat het aantal
bekende soorten toeneemt. Het model van Paxton moet dus een grafiek
opleveren die altijd stijgt. Dit kunnen we controleren met behulp van de
afgeleide van P(t).
24p
Stel de formule op voor de afgeleide van P(t) en toon met behulp daarvan aan
dat de grafiek van P(t) altijd stijgt.
J. Groot schreef in 2003 een artikel in het wiskundeblad Pythagoras over het
model van Paxton. Daarin schreef hij dat hij met dezelfde gegevens een ander
model had gevonden. Zijn model zag er als volgt uit:
G(t) = 218 ⋅ (1 − 0,9799t−1798)
In deze formule is G(t) het aantal soorten dat tot en met jaar t bekend is. Ook
hier wordt de uitkomst afgerond op gehelen.
De twee formules hierboven zijn verschillend, dus je mag verwachten dat beide
modellen niet altijd dezelfde uitkomsten opleveren. Voor t = 1931 bijvoorbeeld
geeft het model van Paxton 202 soorten en het model van Groot 203. Vanwege
de afronding op gehelen is er een aantal jaren waarvoor de twee modellen wél
dezelfde uitkomst geven. Onder andere is dat het geval bij t = 1938: beide
modellen leveren dan elk 205 bekende soorten. Er zijn nog meer jaren uit de
periode 1930 tot en met 1945 waarvoor beide modellen dezelfde uitkomst
geven.
34p
Onderzoek welke jaren dat zijn.
Paxton en Groot ontwikkelden hun modellen vooral om een schatting te kunnen
maken van het aantal soorten zeemonsters dat men in de toekomst nog zou
kunnen ontdekken. Elk van deze beide modellen voorspelt dan ook dat het
aantal soorten zeemonsters een grenswaarde heeft.
Volgens het model van Paxton zullen er na 2009 nog 42 soorten zeemonsters
ontdekt worden.
44p
Bereken hoeveel soorten zeemonsters er na 2009 nog ontdekt zullen worden
volgens het model van Groot.
Behalve de formules van Paxton en Groot zijn er nog meer formules denkbaar
die de werkelijke aantallen bekende soorten zeemonsters goed benaderen. Een
mogelijkheid is bijvoorbeeld een formule van de vorm F(t) = √(at + b). In deze
formule is F(t) het aantal soorten tot en met jaar t. De waarden voor a en b
worden zo gekozen dat het model precies overeenkomt met de werkelijke
aantallen soorten zoals die eind 1895 en eind 1995 bekend waren. Eind 1895
waren er in werkelijkheid 187 soorten zeemonsters bekend. Eind 1995 waren
dat er 217.
56p
Bereken de waarden van a en b.

opgave 2Melkvee

De afgelopen jaren is het aantal melkveehouderijen afgenomen. Het (gemiddelde) aantal koeien per melkveehouderij is echter toegenomen. Beide ontwikkelingen zijn weergegeven in figuur 1. Figuur 1 is gebaseerd op gegevens van het Centraal Bureau voor de Statistiek (CBS). figuur 1 koeien per…

De afgelopen jaren is het aantal melkveehouderijen afgenomen. Het (gemiddelde) aantal koeien per melkveehouderij is echter toegenomen. Beide ontwikkelingen zijn weergegeven in figuur 1. Figuur 1 is gebaseerd op gegevens van het Centraal Bureau voor de Statistiek (CBS). figuur 1 koeien per melkveehouderij melkveehouderijen melkveehouderij Op basis van de gegevens in figuur 1 kan worden onderzocht of het totale aantal koeien in Nederland in 2003 groter of kleiner was dan in 1975.

Voer dat onderzoek uit aan de hand van een berekening. Koeien worden tegenwoordig gemolken door een zogenaamde melkrobot. De melkrobot melkt de koe zonder dat de boer daarbij aanwezig hoeft te zijn. In 2005 werd door de dierenbescherming het volgende persbericht gepubliceerd: persbericht
Uit het persbericht blijkt dat 90% van het melkvee in 2002 in de wei komt. Ook zien we dat in 2005 nog slechts 83% van het melkvee in de wei komt. In het persbericht is sprake van een ‘trend’, maar het wordt niet duidelijk van welk model men daarbij is uitgegaan en waar “de helft van de…

Uit het persbericht blijkt dat 90% van het melkvee in 2002 in de wei komt. Ook zien we dat in 2005 nog slechts 83% van het melkvee in de wei komt. In het persbericht is sprake van een ‘trend’, maar het wordt niet duidelijk van welk model men daarbij is uitgegaan en waar “de helft van de melkveestapel” vandaan komt. Enkele voor de hand liggende modellen zijn: 1. een trend waarbij het percentage melkvee dat in de wei komt lineair daalt; 2. een trend waarbij het percentage melkvee dat in de wei komt exponentieel afneemt.

Bereken hoeveel procent van het melkvee in 2015 volgens model 1 en hoeveel procent volgens model 2 in de wei komt. Voor het beschrijven van de situatie op de lange duur is model 1 op grond van wiskundige overwegingen niet bruikbaar maar model 2 misschien wel.
Leg uit waarom model 1 op de lange duur zeker niet realistisch kan zijn, maar model 2 misschien wel. Boer Poelen is melkveehouder. In de loop van de tijd is zijn aantal koeien toegenomen. Hij schaft om werk te besparen een melkrobot aan ter waarde van 145 000 euro. Het geld voor de aanschaf van de…

Leg uit waarom model 1 op de lange duur zeker niet realistisch kan zijn, maar model 2 misschien wel. Boer Poelen is melkveehouder. In de loop van de tijd is zijn aantal koeien toegenomen. Hij schaft om werk te besparen een melkrobot aan ter waarde van 145 000 euro. Het geld voor de aanschaf van de melkrobot wordt geleend van een bank tegen 5% rente per jaar. Boer Poelen betaalt aan het eind van elk jaar een vast bedrag van 12 000 euro voor aflossing en rente van de lening samen. Met behulp van deze gegevens kun je een recursievergelijking 1) opstellen voor L ( n ) , de resterende schuld na jaar n .

Stel deze recursievergelijking op en bereken daarmee hoeveel jaar het zal duren voordat de melkrobot helemaal is afbetaald. noot 1 Een recursievergelijking wordt ook wel recursieformule of recurrente betrekking genoemd.

opgave 3Bingo

Bingo is een populair kansspel. Om te spelen moet een speler een Bingokaart
kopen. Deze kaart bevat 5 rijen en 5 kolommen met willekeurige getallen. In het
midden van de kaart is geen getal aanwezig. In figuur 1 zie je een voorbeeld van
een Bingokaart1).
figuur 1
B I N G O 4 18 32 48 71 11 25 45 54 62 13 19   51 67 8 24 39 49 74 1 27 36 59 63
De kolom onder de letter B bevat 5 getallen uit de reeks 1 tot en met 15.
De kolom onder de letter I bevat 5 getallen uit de reeks 16 tot en met 30.
De kolom onder de letter N bevat 4 getallen uit de reeks 31 tot en met 45.
De kolom onder de letter G bevat 5 getallen uit de reeks 46 tot en met 60.
De kolom onder de letter O bevat 5 getallen uit de reeks 61 tot en met 75.
Elk getal komt niet vaker dan één keer per Bingokaart voor. Op elke Bingokaart
staan dus 24 verschillende getallen. In elke kolom staan de getallen niet
noodzakelijk op volgorde van grootte. Dus als je in de Bingokaart van figuur 1
bijvoorbeeld de getallen 4 en 11 verwisselt, krijg je een andere Bingokaart.
104p
Toon aan dat er ongeveer 5,5 ⋅ 1026 verschillende Bingokaarten mogelijk zijn.
Bij Bingo heeft de spelleider een bak met daarin 75 balletjes waarop de getallen
1 tot en met 75 staan. Tijdens een spel Bingo wordt telkens een balletje
getrokken. Het getal op dat balletje wordt aan de spelers hardop voorgelezen.
Als dat getal op een Bingokaart van een speler staat, kan de speler dat getal
doorstrepen. Het getrokken balletje wordt niet teruggedaan in de bak. Zodra een
speler alle 24 getallen op een kaart heeft doorgestreept, mag hij ‘BINGO!’
roepen. De speler die als eerste ‘BINGO!’ roept, wint een prijs. Dan is het spel
afgelopen en kan een nieuw spel beginnen.
Voor het spel maakt het dus niet uit hoe de getallen in de kolommen staan. In
figuur 2 zie je een Bingokaart die is ontstaan door de getallen in elke kolom van
de kaart van figuur 1 in een andere volgorde te zetten.
noot 1 We bekijken in deze opgave alleen Bingokaarten van het type zoals hier beschreven. Er worden
in werkelijkheid ook andere soorten gebruikt maar die zijn hier niet van belang.
figuur 2
B I N G O 11 18 39 49 74 4 25 45 51 67 1 19   54 63 8 27 32 48 71 13 24 36 59 62
De speler met de kaart van figuur 2 kan op precies hetzelfde moment ‘BINGO!’
roepen als de speler met de kaart van figuur 1. We zeggen daarom dat de kaart
in figuur 2 niet wezenlijk verschilt van de kaart van figuur 1.
114p
Bereken hoeveel verschillende Bingokaarten er kunnen bestaan die wezenlijk
van elkaar verschillen.
Als je met één Bingokaart speelt, is de kans vrij klein dat je in 65 of minder
trekkingen ‘BINGO!’ mag roepen. Die kans is 0,0154.
In een verzorgingstehuis wordt iedere maandagavond een bingoavond
georganiseerd. Deze keer kopen 100 bewoners elk één kaart. Uit ervaring is
gebleken dat bij een bingoavond na 65 trekkingen de meeste bewoners echt te
moe zijn om zich te kunnen concentreren. Men besluit dus om maar maximaal
65 balletjes te trekken.
Aangezien er nu veel meer mensen meespelen, is de kans dat er binnen 65
trekkingen iemand ‘BINGO!’ zal roepen veel groter.
123p
Bereken de kans dat er op de bingoavond in het verzorgingstehuis toch geen
prijs kan worden uitgekeerd.
Een spel Bingo wordt meestal met een groot aantal kaarten gespeeld. Dit aantal
Bingokaarten per spel noemen we n. Voor elke n kan de verwachtingswaarde worden
berekend van het aantal balletjes dat getrokken moet worden voordat de eerste
‘BINGO!’ wordt geroepen. Het resultaat van deze berekeningen is weergegeven in
de grafiek van figuur 3.
figuur 3
68 verwachtings- waarde aantal balletjes 67 66 65 64 63 62 61 60 59 0 0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000 aantal Bingokaarten per spel
Op de horizontale as staat het aantal Bingokaarten per spel en op de verticale as de
verwachtingswaarde. In de grafiek kun je aflezen dat er bij een spel met
200 Bingokaarten naar verwachting ongeveer 62 balletjes getrokken moeten worden
voordat de eerste ‘BINGO!’ wordt geroepen.
De grafiek in figuur 3 blijkt zeer goed te kunnen worden benaderd door de volgende
formule:
verwachtingswaarde = 24 + (50)/(n0,0524)
Hierbij is n het aantal kaarten dat aan een spel meedoet.
Met behulp van de formule kun je nauwkeurig berekenen hoeveel kaarten er per spel
ten minste moeten worden gebruikt zodat naar verwachting 59 of minder balletjes
getrokken hoeven te worden voor de eerste ‘BINGO!’.
134p
Voer deze berekening uit.

opgave 4Conditietest

Om de conditie te meten van mensen worden vaak conditietests gebruikt. De
conditietest die in deze opgave vermeld wordt, is een gangbare conditietest
waarbij iedere prestatie een score oplevert. Hoe hoger de score, hoe beter de
conditie.
In Canada is een onderzoek gedaan onder een groot aantal jongens van 12 tot
en met 17 jaar. In tabel 1 staan de resultaten van het onderzoek voor jongens
van 17 jaar.
tabel 1
score 5,44 6,89 7,50 8,36 8,81 9,30 9,84 10,23 11,09 11,87 12,58 cumulatief percentage 5 10 20 30 40 50 60 70 80 90 95
In tabel 1 is bijvoorbeeld af te lezen dat 90% van de jongens een score van
11,87 of minder behaalt. De scores in de tabel zijn gerangschikt op cumulatief
percentage.
De scores van de Canadese jongens van 17 jaar zijn bij benadering normaal
verdeeld. Dat kun je zien als je de scores van tabel 1 uitzet op normaal
waarschijnlijkheidspapier.
143puitwerkbijlage
Zet de scores van tabel 1 uit op het normaal waarschijnlijkheidspapier op de
uitwerkbijlage en leg met behulp van deze tekening uit waarom er bij benadering
sprake is van een normale verdeling.
Ook voor Canadese jongens in andere leeftijdsgroepen zijn de scores (bij
benadering) normaal verdeeld.
Voor Canadese jongens van 13 jaar is het gemiddelde 7,4 en de
standaardafwijking 2,0. Wanneer een jongen van 13 jaar hoger dan 9,94 scoort
is er sprake van een hoge score.
Uit de onderzochte groep worden willekeurig twee jongens van 13 jaar gekozen.
154p
Bereken de kans dat ze allebei een hoge score hebben.
Voor Canadese jongens van 14 jaar is het gemiddelde 8,0 en de
standaardafwijking 2,0.
We kiezen aselect 100 Canadese jongens van 14 jaar.
164p
Bereken de kans dat hun gemiddelde score minder dan 0,1 afwijkt van 8,0.
Een Canadese gymnastiekdocent traint regelmatig jongens van 14 jaar om hun
conditie te verbeteren. De gemiddelde score van deze leeftijdscategorie is 8,0
en de standaardafwijking is 2,0. De docent is van mening dat deze training
daadwerkelijk helpt. Om dat na te gaan laat hij na een aantal trainingen 132
jongens van 14 jaar de conditietest doen. Het resultaat is dat deze jongens een
gemiddelde score van 8,43 hebben gehaald.
176p
Onderzoek of deze gymnastiekdocent op grond van dit resultaat gelijk krijgt.
Neem als significantieniveau 5%.

opgave 5Containers

Nederland verscheept jaarlijks veel goederen naar het buitenland. Dit gebeurt
grotendeels met grote zeeschepen die zijn uitgerust voor containervervoer. Het
vervoer met containers is nog niet zo oud. Pas in de jaren zestig van de vorige
eeuw kwam in Rotterdam het eerste schip vol containers binnen. Daarna is het
containervervoer steeds belangrijker geworden.
foto
Binnenvaartschip met containers
foto Binnenvaartschip met containers
Het aantal containers dat wordt geladen en gelost (ook wel containeroverslag
genoemd) is in de haven van Rotterdam sinds 1983 met 130% toegenomen tot
ongeveer 4 054 000 containers in 2002.
183p
Bereken hoeveel containers in 1983 geladen en gelost werden in de haven van
Rotterdam.
Containers zijn er in verschillende maten. De inhoud van containers wordt
uitgedrukt in TEU (Twenty-feet Equivalent Unit). Een container met een lengte
van 20 feet (ruim 6 meter) heeft een inhoud van 1 TEU.
In 2005 bedroeg de containeroverslag in de haven van Rotterdam 9,3 miljoen
TEU. Omdat producten steeds vaker op die plaatsen in de wereld worden
gemaakt waar dat het goedkoopst is, verwacht men dat de containeroverslag in
de haven van Rotterdam jaarlijks blijft groeien en wel met 7% per jaar.
194p
Bereken in welk jaar de containeroverslag in de haven van Rotterdam naar
verwachting voor het eerst meer dan 17 miljoen TEU zal zijn.
Een vervoerder transporteert vanuit een containerterminal in Duitsland wekelijks
minstens 1000 TEU naar Rotterdam. De vervoerder maakt gebruik van
goederentreinen en binnenvaartschepen. Een goederentrein vervoert 80 TEU en
een binnenvaartschip 50 TEU. De vervoerder heeft de beschikking over
15 binnenvaartschepen. Vanwege de lange reistijd op het traject
Duitsland–Rotterdam–Duitsland kunnen deze elk wekelijks één keer ingezet
worden. De vervoerder kan op maandag maximaal 3 goederentreinen laten
rijden. Op dinsdag tot en met vrijdag heeft hij de beschikking over maximaal
2 goederentreinen per dag. In het weekend maakt hij geen gebruik van het
spoor.
Stel dat hij per week g goederentreinen inzet en b binnenvaartschepen.
Dan gelden voor g en b de volgende vijf beperkende voorwaarden: g ≥ 0; b ≥ 0;
g ≤ 11; b ≤ 15 en 8g + 5b ≥ 100.
203p
Laat zien hoe de voorwaarden g ≤ 11 en 8g + 5b ≥ 100 volgen uit de gegevens.
De vijf beperkende voorwaarden kunnen in het assenstelsel op de uitwerkbijlage
worden getekend en vervolgens kan het toegestane gebied worden aangegeven.
Houd hierbij rekening met het feit dat b en g alleen gehele getallen mogen zijn.
214puitwerkbijlage
Teken het toegestane gebied op de uitwerkbijlage.
Het transport van 80 TEU met een goederentrein kost 7000 euro. Het transport
van 50 TEU met een binnenvaartschip kost 3500 euro. De vervoerder streeft
naar zo laag mogelijke transportkosten.
225p
Toon aan dat er precies twee mogelijke oplossingen zijn waarvoor de
transportkosten zo laag mogelijk zijn.