opgave 1De valkparkiet
Er wordt veel onderzoek gedaan naar het verband tussen het vermogen
(het energieverbruik per seconde) en de vliegsnelheid bij vogels. Het
vermogen V wordt gemeten per kg borstspier en uitgedrukt in Watt.
Een onderzoek heeft uitgewezen dat de grafiek van het verband tussen
de vliegsnelheid en het vermogen U-vormig is. Dat wil zeggen: vliegen
met lage of hoge snelheid kost veel vermogen, terwijl vliegen met een
snelheid daartussenin minder vermogen kost.
In de figuur is dit verband voor valkparkieten en duiven weergegeven.
figuur
Dit onderzoek toont bij valkparkieten een bij benadering kwadratisch
verband aan tussen de vliegsnelheid en het vermogen.
Voor valkparkieten geldt de volgende formule:
V = 0,19s2 − 8,71s + 169,72
Hierbij is V het vermogen in Watt en s de snelheid in km per uur.
13pBereken met behulp van de formule bij welke snelheden het vermogen V
van een valkparkiet 120 Watt is.
24pBereken met behulp van de afgeleide bij welke snelheid het vermogen V
van een valkparkiet minimaal is.
Ook bij duiven kunnen we een formule opstellen voor het verband tussen
s en V. In de figuur kunnen we aflezen dat duiven bij een snelheid van
8 km per uur en bij een snelheid van 34 km per uur een vermogen van
150 Watt ontwikkelen.
Voor duiven is het verband tussen de vliegsnelheid en het vermogen dan
van de vorm:
V = p ⋅ (s − 8)(s − 34) + 150
Ook hier is V het vermogen in Watt en s de snelheid in km per uur.
Het is bekend dat duiven die stil in de lucht hangen (s = 0) een vermogen
van 185 Watt ontwikkelen.
Met dit gegeven kunnen we nu de constante p berekenen.
35pBereken p en herschrijf de formule in de vorm V = as2 + bs + c.
opgave 2Octopus Paul
In 2010 werd octopus Paul wereldberoemd omdat zijn ‘voorspellingen’
over de afloop van de wedstrijden van Duitsland tijdens het
wereldkampioenschap voetbal in dat jaar allemaal bleken uit te komen.
Bij deze voorspellingen moest Paul telkens kiezen uit twee bakken met
een mossel.
Op de ene bak stond de vlag van Duitsland, op de andere bak de vlag van
de tegenstander. Het land van de bak waaruit Paul de mossel opat, zou
de wedstrijd gaan winnen. We gaan ervan uit dat er geen wedstrijden in
een gelijkspel eindigen.
Later heeft Paul ook een correcte voorspelling gedaan voor de finale,
waarin Spanje Nederland versloeg.
Als je ervan uitgaat dat Paul willekeurig een bak kiest, is de kans dat hij
een uitslag correct voorspelt natuurlijk 0,5.
Bij het Europees Kampioenschap van 2008 heeft Paul ook al de uitslagen
van verschillende wedstrijden voorspeld. In 2008 wist hij vier van de zes
keer een correcte voorspelling te geven. Omdat dit aantal groter is dan
het verwachte aantal juiste voorspellingen, kan het vermoeden ontstaan
dat Paul over voorspellende gaven beschikt.
45pBereken met een significantieniveau van 10% of het aantal juiste
voorspellingen van Paul aanleiding geeft om te zeggen dat hij in 2008 al
over voorspellende gaven beschikte.
Naast Paul waren er in 2010 nog meer dieren die voorspellingen deden,
zoals de parkiet Mani uit Singapore. Als er maar genoeg dieren
voorspellingen doen, dan is de kans dat er één tussen zit die alles goed
voorspelt helemaal niet zo klein.
Stel dat 20 dieren een voorspelling doen voor 8 wedstrijden waarbij ze per
wedstrijd allemaal een kans van 0,5 hebben dat hun voorspelling juist
blijkt te zijn.
56pBereken de kans dat ten minste één dier alle wedstrijden juist voorspelt.
Engelse sportstatistici hebben zich voor het toernooi van 2010 ook aan
voorspellingen gewaagd. Zij keken voor de deelnemende landen naar het
bruto binnenlands product per hoofd van de bevolking (bbp), de
bevolkingsomvang (pop) en de wedstrijdervaring (erv). Dat leverde de
volgende formule op:
GD(A,B) = 0,316 ⋅ 
Hierbij is GD(A,B) het aantal doelpunten dat land A naar verwachting
meer zal scoren dan land B als zij tegen elkaar spelen. Dat aantal hoeft
geen geheel getal te zijn en kan ook negatief zijn. Voor wedstrijdervaring
koos men het aantal deelnames aan wereldkampioenschappen vóór dat
van 2010.
Voor Italië en Engeland zijn bbp en pop nagenoeg even groot, zodat
alleen de wedstrijdervaring het verschil bepaalt. Vóór 2010 deed Italië
16 keer mee aan een wereldkampioenschap, Engeland 12 keer.
64pBereken met behulp van de formule het voorspelde aantal doelpunten dat
Italië méér maakt als het tegen Engeland zou spelen. Rond het antwoord
af op twee decimalen.
Logischerwijs moet de uitkomst van de formule tegengesteld worden als
je de landen verwisselt. Er zou dus voor elk tweetal landen A en B moeten
gelden: GD(A,B) = −GD(B,A).
73pToon de juistheid hiervan aan met behulp van de rekenregels voor
logaritmen.
Volgens de formule wint Nederland niet van Brazilië omdat
GD(Ned,Bra) = −0,67.
De waarde –0,67 valt eigenlijk nog wel mee. Brazilië heeft veel meer
inwoners dan Nederland: 185,7 miljoen tegenover 16,6 miljoen. Ook nam
Brazilië vóór 2010 vaker deel: 18 keer en Nederland maar 8 keer.
Blijkbaar is het bbp van Nederland veel groter dan dat van Brazilië.
85pBereken hoeveel keer zo groot het bbp van Nederland is als het bbp van
Brazilië.
opgave 3Turkse tortels
Een Turkse tortel is een bepaald soort duif. Oorspronkelijk broedde de
Turkse tortel alleen in Turkije, maar in de loop van de vorige eeuw heeft
deze vogel zich over heel Europa verspreid. In 1950 werden ze voor het
eerst in Nederland gezien.
In figuur 1 zie je de groei van het aantal Turkse tortels in Nederland
gedurende de periode 1953 tot en met 1963.
figuur 1
Langs de verticale as is een logaritmische schaalverdeling gebruikt.
De punten liggen bij benadering op een rechte lijn. Dat betekent dat het
aantal Turkse tortels in de periode 1953 tot en met 1963 bij benadering
exponentieel groeide. De jaarlijkse groeifactor was 1,73.
In 1984 waren er ongeveer 250 000 Turkse tortels in Nederland.
94pStel een formule op voor het aantal Turkse tortels gedurende de periode
1953 tot en met 1963 en onderzoek of daarmee het aantal Turkse tortels
in 1984 juist voorspeld kon worden.
Het gebied waar een soort
voorkomt, wordt het
verspreidingsgebied genoemd.
Figuur 2 geeft informatie over de
grootte van het
verspreidingsgebied van de Turkse
tortel. Deze figuur staat ook
vergroot op de uitwerkbijlage.
Langs de verticale as staat de
wortel van de oppervlakte (
)
van het verspreidingsgebied.
In figuur 2 kun je bijvoorbeeld
aflezen dat voor 1957 geldt:
4400 km.
Hiermee kan worden berekend dat
de oppervlakte van het
verspreidingsgebied in 1957 dus
ruim 19 miljoen vierkante kilometer is.
We nemen aan dat het verspreidingsgebied cirkelvormig is, met straal r in
km. Voor de oppervlakte van het gebied geldt dan: opp = π ⋅ r2.
In figuur 2 is te zien dat
uitgezet tegen de tijd bij benadering een
rechte lijn oplevert. Dit betekent dat in de periode 1930 tot en met 1960
de gemiddelde toename per jaar van de straal van het gebied constant is.
104pBereken met behulp van de rechte lijn in figuur 2 de gemiddelde toename
in km per jaar van de straal van het verspreidingsgebied in de periode
1930 tot en met 1960.
Een ander model waarmee de groei van de straal kan worden berekend,
wordt beschreven met de volgende formule:
s is de groei van de straal in km per jaar;
V is het gemiddeld aantal vrouwelijke nakomelingen dat een wijfje
gedurende haar hele leven voortbrengt, V ≥ 1;
m is de gemiddelde leeftijd in jaren waarop een vrouwtje jongen
krijgt, m > 0.
Voor de Turkse tortel heeft men in een bepaalde periode de volgende
waarden gevonden: m = 1,81 en V = 1,33.
Neem aan dat door ongunstige omstandigheden voor de Turkse tortel de
waarde van V met 10% afneemt, maar dat m gelijk blijft.
115pBereken met hoeveel procent de waarde van s zal afnemen als gevolg
van de afname van V.
We bekijken de volgende twee situaties:
1 De gemiddelde leeftijd waarop een vrouwtje jongen krijgt neemt toe,
maar het gemiddeld aantal vrouwelijke nakomelingen verandert niet.
2 Het gemiddeld aantal vrouwelijke nakomelingen wordt groter, maar de
gemiddelde leeftijd waarop een vrouwtje jongen krijgt verandert niet.
124pBeredeneer met behulp van de formule voor elk van deze twee situaties of
de groei van de straal groter of kleiner zal worden.
opgave 4Kaartspel
Kakkerlakkensalade is een kaartspel uit
Duitsland. Een variant van het spel wordt
gespeeld met 112 groentekaarten met
daarop de groenten paprika, bloemkool, sla
en tomaat. Van elk van deze vier soorten
groente zijn er evenveel kaarten.
Aan het begin van het spel worden de
kaarten geschud en krijgen alle spelers evenveel kaarten.
Annet, Beyza, Carin en Dick spelen dit spel.
Dick schudt de kaarten en geeft als eerste Annet vier kaarten uit het
volledige spel kaarten.
133pBereken de kans dat Annet bij deze vier kaarten van elke soort één kaart
krijgt.
Tijdens een vakantie gaan deze vier vrienden het spel 150 keer spelen.
Annet is benieuwd hoe vaak de eerste kaart die uit een volledig spel
gedeeld wordt een tomaatkaart zal zijn.
144pBereken de kans dat dit vaker dan 37 keer gebeurt.
Op de doos waar het spel in is verpakt, staat vermeld dat de gemiddelde
speelduur van een spelletje 20 minuten is. Tijdens de vakantie houden ze
bij hoelang elk spel duurt.
In de tabel staan hun gegevens.
tabel
Ze willen onderzoeken of de speelduur van een spelletje normaal
verdeeld is.
156puitwerkbijlageLaat met behulp van het normaal waarschijnlijkheidspapier op de
uitwerkbijlage zien dat de gegevens in de tabel bij benadering normaal
verdeeld zijn en bepaal het gemiddelde en de standaardafwijking van de
speelduur.
Bij een andere variant van kakkerlakkensalade wordt met meer kaarten
gespeeld. Dit heeft invloed op de speelduur van het spel. De speelduur is
dan bij benadering normaal verdeeld met een gemiddelde van 25 minuten
en een standaardafwijking van 9 minuten.
De vier spelers spelen op deze manier 2 spellen.
165pBereken de kans dat één spel langer dan 20 minuten en één spel korter
dan 20 minuten duurt.
opgave 5Archeologie
In de archeologie gebruikt men de C14-methode bij het vaststellen van de
historische leeftijd (ouderdom) van bepaalde vondsten. Deze methode
werd in 1949 ontwikkeld door de Amerikaanse scheikundige Libby, die
hiervoor de Nobelprijs gekregen heeft. Volgens de theorie neemt de
radioactiviteit van dood organisch materiaal exponentieel af en daarom
kun je door de radioactiviteit te meten bepalen hoe oud een voorwerp is.
De figuur hieronder komt uit een artikel van Libby uit 1949. Libby testte de
C14-methode door deze te gebruiken op zes verschillende voorwerpen
waarvan de historische leeftijd op een andere manier bekend was.
figuur
Langs de verticale as staat de gemeten radioactiviteit in cpm (counts per
minute) per gram materiaal. Dit is een maat voor de hoeveelheid C14.
Langs de horizontale as staat de historische leeftijd van het voorwerp in
jaren.
Volgens de theorie neemt de gemeten radioactiviteit exponentieel af.
De grafiek gaat door de punten (0; 12,5) en (6000; 6). Hiermee kan men
de groeifactor berekenen.
173pBereken met deze punten de groeifactor per jaar in 7 decimalen
nauwkeurig.
Voor het vervolg van de opgave gaan we uit van de formule:
N = 12,5 ⋅ 0,999878t
Hierin is N de gemeten radioactiviteit van het voorwerp in cpm per gram
en t is de historische leeftijd volgens de C14-methode van het voorwerp in
jaren.
De punten in de figuur stellen de metingen aan de voorwerpen voor. Het
punt ‘Ptolemy’ hoort bij een stuk hout van een doodskist van een
Egyptische mummie. Deskundigen schatten dat deze doodskist uit
ongeveer 200 voor Chr. dateert. Voor dit hout werd in 1949 een
radioactiviteit van 9,5 cpm per gram gemeten.
184pBereken het verschil tussen de historische leeftijd volgens de
C14-methode en de schatting van de deskundigen.
Het punt ‘Sesostris’ in de figuur betreft een meting aan een plank van een
begrafenisboot uit het oude Egypte, daterend uit 1843 voor Chr. Toen de
meting werd gedaan was de plank dus 3792 jaar oud.
De metingen van Libby waren niet nauwkeurig, daarom deed hij meerdere
metingen aan de plank. Hierdoor kreeg Libby verschillende bijbehorende
historische leeftijden van de plank.
We nemen aan dat historische leeftijden onafhankelijk zijn en normaal
verdeeld zijn met een gemiddelde van 3792 jaar en een
standaardafwijking van 310 jaar.
Als er meerdere metingen worden gedaan en van de bijbehorende
historische leeftijden het gemiddelde wordt genomen, zal de kans dat het
gemiddelde van deze historische leeftijden minder dan 100 jaar van de
werkelijke historische leeftijd afwijkt, groter worden.
Onderzoekers willen graag dat deze kans groter is dan 0,75.
195pLaat zien dat er dan minstens 13 metingen nodig zijn.
