bij dit examen
OVERZICHT FORMULES
Differentiëren
naam van de regel functie afgeleide somregel s ( x ) = f ( x ) + g ( x ) s' ( x ) = f ' ( x ) + g' ( x ) verschilregel s ( x ) = f ( x ) − g ( x ) s' ( x ) = f ' ( x ) − g' ( x ) productregel p ( x ) = f ( x ) ⋅ g ( x ) p' ( x ) = f ' ( x ) ⋅ g ( x ) + f ( x ) ⋅ g' ( x ) f ( x ) q ( x ) = f ' ( x ) ⋅ g ( x ) − f ( x ) ⋅ g' ( x ) q' ( x ) = quotiëntregel q ( x ) = g ( x ) q' ( x ) = ( g ( x )) 2 kettingregel k ( x ) = f ( g ( x )) k' ( x ) = f ' ( g ( x )) ⋅ g' ( x ) of d k d f d g = ⋅ = ⋅ d x d g d x
Logaritmen
regel voorwaarde g log ( a ) + g log ( b ) = g log ( ab ) g >0, g ≠ 1, a >0, b >0 g g g a log ( a ) − log ( b ) = log g >0, g ≠ 1, a >0, b >0 log ( a ) − log ( b ) = log b g >0, g ≠ 1, a >0, b >0 g log ( a p ) = p ⋅ g log ( a ) g >0, g ≠ 1, a >0 p log ( a ) g log ( a ) = g >0, g ≠ 1, a >0, p >0, p ≠ 1 log ( a ) = p log ( g ) ≠ ≠
Ga verder op de volgende pagina.
opgave 1Jongleren
Bij jongleren gaat het om het in de lucht gooien, in de lucht houden en
opvangen van voorwerpen. Deze voorwerpen blijven tijdens het jongleren
van hand naar hand en in de lucht rondgaan. Zie de foto.
Op de foto zie je de Amerikaanse jongleur James Reid jongleren met drie
verschillende, nogal vreemde voorwerpen: een bowlingbal, een mes en
een speelgoedkip. Meestal wordt er echter met ballen, kegels en ringen
gejongleerd. In de figuur zie je een typisch pakket voor jongleurs,
bestaande uit drie identieke ringen, drie identieke ballen en drie identieke
kegels.
Een jongleur kiest uit het pakket drie voorwerpen om mee te jongleren. Hij
zou bijvoorbeeld een bal (B), een kegel (K) en een ring (R) kunnen
kiezen. Dit noteren we met BKR.
13pTelproblemen 3p
Noteer op dezelfde manier alle overige mogelijkheden om drie
voorwerpen uit het pakket te kiezen.
De rest van deze opgave gaat over jongleren met minimaal drie ballen,
door één jongleur, waarbij de jongleur altijd twee handen gebruikt.
Hiervoor bestaat een verband tussen een aantal variabelen, gegeven door
de formule van Shannon:
2 ⋅ (V + H) = B ⋅ (L + H)
Hierin is:
− V de vluchttijd, dat is de tijd die een bal in de lucht is tussen het
gegooid en weer opgevangen worden (in seconden);
− H de handtijd, dat is de tijd die een bal in één van de handen is
tussen het vangen en het gooien van de bal (in seconden);
− L de leegtijd, dat is de tijd dat een hand leeg is tussen het gooien van
een bal en het vangen van de volgende bal (in seconden);
− B het aantal ballen dat je gebruikt.
De formule van Shannon geldt alleen als alle ballen op dezelfde manier
van de ene naar de andere hand worden gegooid, dus even snel en even
hoog.
34pFormules herleiden en omwerken 4p
Geef deze herleiding.
Als je met steeds meer ballen wilt jongleren, waarbij je die ballen telkens
even lang in de lucht wilt houden en je handen steeds even lang leeg wilt
houden, moet je de ballen steeds sneller door je handen laten gaan. De
handtijd moet dan dus steeds korter worden. Dit kun je aantonen met de
afgeleide van H.
De afgeleide is:
opgave 2Plastic
In de periode 1977 – 2002 is de jaarlijkse plasticproductie bij benadering
exponentieel toegenomen. De jaarlijkse productie is in deze periode van
25 jaar vier keer zo groot geworden.
63pExponentiële functies en groei 3p
Bereken de jaarlijkse procentuele toename in de periode 1977 – 2002.
Geef je antwoord in één decimaal.
De toenemende plasticproductie zorgt voor een toenemende hoeveelheid
plastic afval. In 2015 kwam er 250 miljoen ton plastic afval vrij en men
gaat ervan uit dat de hoeveelheid plastic afval die jaarlijks vrijkomt met
4,1% per jaar zal toenemen. Tegelijkertijd wordt er een steeds groter
percentage plastic afval gerecycled. In 1990 werd 2% van de vrijgekomen
hoeveelheid plastic gerecycled. De jaren erna nam dit percentage lineair
toe met 0,7% per jaar tot 11,8% in 2004.
Wanneer deze trend in recycling ook na 2004 doorzet, zal in 2050 een
substantieel deel van het plastic afval dat in dat jaar vrijkomt gerecycled
worden.
73pLineaire functies 1p · Exponentiële functies en groei 1p · Procenten, verhoudingen en eenheden 1p
Bereken hoeveel miljoen ton plastic afval in 2050 in dat geval gerecycled
zal worden. Geef je antwoord in gehele miljoenen tonnen.
Voor de voorspelling voor de jaren na 2015 van de totale hoeveelheid
vrijgekomen plastic afval had men de volgende uitgangspunten:
− Tot en met 2014 was er in totaal 6050 miljoen ton plastic afval
vrijgekomen.
− In 2015 kwam daar 250 miljoen ton bij.
− Na 2015 nam de hoeveelheid jaarlijks vrijgekomen plastic afval met
4,1% per jaar toe.
Op basis hiervan voorspelde men dat er tot en met 2018 in totaal (op
honderden miljoenen ton afgerond) 7100 miljoen ton plastic afval vrij zou
komen.
83pRijen en recursie 3p
Geef uitsluitend met behulp van bovenstaande uitgangspunten deze
voorspelde hoeveelheid in gehele miljoenen tonnen nauwkeurig.
Met behulp van de genoemde uitgangspunten is het mogelijk om een
formule op te stellen voor de totale hoeveelheid vrijgekomen plastic afval
tot en met een bepaald jaar. Bij het opstellen van deze formule wordt
onder andere gebruikgemaakt van de somformule voor meetkundige rijen.
Deze luidt:
Hierin is:
− S(t) de hoeveelheid plastic afval in miljoenen tonnen die sinds 2015
vrijgekomen is;
− t de tijd in jaren met t = 0 in 2015;
− u0 de hoeveelheid vrijgekomen plastic afval in miljoenen tonnen in
2015;
− r de groeifactor waarmee de hoeveelheid vrijgekomen plastic afval
jaarlijks toeneemt.
De totale hoeveelheid plastic afval T in miljoenen tonnen die sinds het
bestaan van plastic is vrijgekomen wordt gegeven door de formule:
Hierin is t de tijd in jaren met t = 0 in 2015. De gehele getallen in de
formule zijn afgeronde waarden.
opgave 34p 9 Laat zien hoe deze formule met behulp van S ( t ) kan worden opgesteld.
In onderstaande figuur wordt voor de periode 1950 – 2050 weergegeven
hoeveel plastic afval er is vrijgekomen sinds plastic bestaat. Verder is
weergegeven hoeveel plastic afval er sindsdien in het milieu terecht is
gekomen. Hierin zijn de delen van de grafieken na 2015 voorspellingen.
figuur
De grafiek voor de hoeveelheid plastic afval in het milieu kan beschreven
worden met de formule:
Hierin is W de hoeveelheid plastic afval in het milieu en t is weer de tijd in
jaren met t = 0 het jaar 2015.
103pVergelijkingen en snijpunten met de GR oplossen 2p · Formules en vergelijkingen opstellen 1p
Bereken in welk jaar de hoeveelheid plastic afval in het milieu voor het
eerst minder zal zijn dan de helft van de hoeveelheid vrijgekomen plastic
afval.
In de figuur valt te zien dat men ervan uitgaat dat de toename van de
hoeveelheid plastic afval in het milieu af zal nemen. Met behulp van de
formule van W kan worden aangetoond dat de hoeveelheid plastic afval
die jaarlijks in het milieu terechtkomt eerst nog zal blijven toenemen, maar
uiteindelijk ook weer gaat afnemen.
opgave 4Rendementen
De waarde van individuele aandelen op de Amsterdamse beurs is aan
fluctuaties onderhevig. Hierdoor kan ook de totale beurswaarde, dat is
de totale waarde van alle aandelen die op de Amsterdamse beurs
genoteerd staan, flinke schommelingen vertonen. Dit zie je bijvoorbeeld
bij de ontwikkeling van de totale beurswaarde in de eerste drie kwartalen
van 2008. In figuur 1 zijn zowel de absolute als de relatieve maandelijkse
toenamen van de totale beurswaarde voor de eerste drie kwartalen van
2008 weergegeven.
figuur 1
In figuur 1 valt bijvoorbeeld af te lezen dat de totale beurswaarde in
januari 2008 maar liefst 73 miljard euro lager was dan in december 2007,
wat overeenkwam met een daling van 14%.
De totale beurswaarde daalde in het eerste kwartaal van 2008 met
90 miljard euro. Ondanks een licht herstel in april en mei was de totale
beurswaarde na het tweede kwartaal nog verder gedaald ten opzichte van
de totale beurswaarde in december 2007.
134pProcenten, verhoudingen en eenheden 3p · Tabellen en grafieken lezen en gebruiken 1p
Bereken deze daling ten opzichte van het eind van het tweede kwartaal
van 2008 met behulp van de procentuele toenames en afnames in
figuur 1. Geef je antwoord in hele procenten.
In het algemeen spreekt men bij het beleggen in aandelen op de beurs
over het werkelijke rendement van de waarde van een aandeel.
Hieronder verstaat men de waardeverandering in een periode in
procenten. In de praktijk worden aandelen continu verhandeld en kunnen
rendementen voortdurend variëren. Daarom gebruikt men in de economie
ook wel het zogeheten continue rendement als benadering voor het
werkelijke rendement. Het continue rendement is gedefinieerd als:
C = 100 ⋅ ln(1+ 0,01R) (met R > −100)
Hierin is R het werkelijke rendement in een periode en C het bijbehorende
continue rendement in dezelfde periode, beide in procenten.
De waarde van een aandeel stijgt in een dag van € 25,- naar € 26,-.
143pRekenen met een gegeven formule 2p · Procenten, verhoudingen en eenheden 1p
Bereken het verschil tussen het werkelijke en het continue rendement op
deze dag. Geef je antwoord in één decimaal.
In de formule C = 100 ⋅ ln(1+ 0,01R) is C uitgedrukt in R. Maar als er met
continue rendementen gerekend wordt, wil men ook terug kunnen rekenen
naar het werkelijke rendement. Daarvoor is een formule waarin R wordt
uitgedrukt in C handiger.
opgave 54p 15 Herleid de formule C = 100 ⋅ ln(1 + 0,01 R ) tot een formule van de vorm
R = u ⋅ ev⋅C + w.
Behalve voor R = 0 valt het continue rendement altijd lager uit dan het
werkelijke rendement. In figuur 2 wordt dit grafisch zichtbaar gemaakt
door de lijn met vergelijking C = R en de grafiek van C = 100 ⋅ ln(1+ 0,01R)
in één figuur weer te geven.
figuur 2
In figuur 2 valt te zien dat C en R voor waarden dicht bij 0 nagenoeg gelijk
zijn, maar voor waarden die steeds verder van 0 liggen steeds meer
verschillen.
Er zijn aandelen waarvan de waarde sterk stijgt of daalt. Dat kan
bijvoorbeeld het geval zijn als een aandeel voor het eerst op de beurs
verhandeld wordt of als een bedrijf failliet dreigt te gaan.
Voor deze aandelen is het mogelijk dat het verschil tussen het werkelijke
en het continue rendement bijvoorbeeld meer dan 1% is. Zo kun je in
figuur 2 aflezen dat R en C voor R = 40 ongeveer 6% verschillen (namelijk
40 − 33,6...).
164pVergelijkingen en snijpunten met de GR oplossen 2p · Formules en vergelijkingen opstellen 1p · Ongelijkheden oplossen 1p
Bereken met behulp van de formule voor C voor welke waarden van R het
verschil tussen R en C meer dan 1% is. Geef je antwoord in gehelen.
Dat C en R voor steeds groter wordende positieve waarden van R steeds
meer verschillen, volgt onder andere uit het feit dat de helling van de lijn
met vergelijking C = R gelijk is aan 1, terwijl de helling van de grafiek van
C voor alle positieve waarden van R kleiner dan 1 is.
opgave 6Temperatuursverwachting
Tegenwoordig kun je op veel plaatsen de verwachte temperatuur vinden.
Zo ook op de website van het KNMI. Het KNMI kan aan de hand van
weerkaarten de temperatuur voor een aantal dagen voorspellen.
Op 21 januari 2018 heeft het KNMI een grafiek gemaakt van de verwachte
temperatuur van 22 januari tot en met 5 februari van dat jaar. In figuur 1
zie je een stukje van deze grafiek. Figuur 1 staat ook op de uitwerkbijlage.
figuur 1
Ook zie je in deze figuur twee stippellijnen. Deze lijnen geven het
gemiddelde van de minimumtemperatuur en het gemiddelde van de
maximumtemperatuur voor de periode 1981 – 2010 weer. Als de
temperatuur tussen deze twee stippellijnen in zit, noemen we de
temperatuur normaal voor de tijd van het jaar.
In figuur 1 is te zien dat het volgens de verwachting in de week van
22 januari 2018 behoorlijk warm zou worden voor de tijd van het jaar.
183puitwerkbijlageTabellen en grafieken lezen en gebruiken 2p · Procenten, verhoudingen en eenheden 1p
Bereken met behulp van de figuur op de uitwerkbijlage hoeveel procent
van de tijd het volgens de verwachting in de week van 22 januari 2018
warmer zou zijn dan normaal. Geef je antwoord in hele procenten.
In figuur 1 is de gemiddelde minimumtemperatuur 0,4 °C en de
gemiddelde maximumtemperatuur 6,0 °C. Als de temperatuur normaal is
voor de tijd van het jaar, dan zal deze dus schommelen tussen die twee
waarden. Je krijgt dan een grafiek zoals in figuur 2.
figuur 2
Deze grafiek geeft het verwachte temperatuurverloop aan in de week van
22 januari als de temperatuur normaal is voor de tijd van het jaar. We
noemen dit de modelgrafiek voor 22 tot 29 januari.
Je kunt deze grafiek modelleren met een sinusoïde van de volgende
vorm:
TJ = d + asin(b(t − c))
In deze formule is TJ de temperatuur in °C in de week van 22 januari en
t de tijd in dagen met t = 0 op 22 januari om 00:00 uur.
In het model nemen we aan dat de laagste temperatuur zich steeds
voordoet om 03:00 uur en de hoogste temperatuur steeds om 15:00 uur.
194pSinusoïden: periode, amplitude en formule 4p
Stel een formule op voor TJ.
De gemiddelde minimum- en maximumtemperaturen zijn echter niet altijd
constant. In het voorjaar bijvoorbeeld, zullen deze temperaturen stijgen.
Zie de tabel.
tabel
Als we aannemen dat de gemiddelde minimum- en maximumtemperatuur
tussen 1 april en 1 mei lineair toenemen, dan is het met behulp van deze
tabel nu ook mogelijk een modelgrafiek te maken voor de gehele maand
april. We gaan er hierbij van uit dat de minimumtemperatuur steeds
bereikt wordt om 03:00 uur en de maximumtemperatuur steeds om 15:00
uur.
De formule van deze modelgrafiek is:
TA = 0,13t + 9,75 + 4,45sin(2π(t − 0,375)) met TA de verwachte temperatuur
in °C in april en t de tijd in dagen met t = 0 op 1 april om 00:00 uur.
203pLineaire functies 2p · Sinusoïden: periode, amplitude en formule 1p
Laat met een berekening zien hoe je de getallen 0,13 en 9,75 kunt
afleiden uit de gegevens.
Volgens het model is de temperatuur om 21:00 ’s avonds precies gelijk
aan de gemiddelde temperatuur op die dag. Dat wordt de theoretische
dagtemperatuur genoemd. Het KNMI meet ook gedurende de dag steeds
de temperatuur en berekent met behulp van deze meetwaarden de
werkelijke (gemiddelde) dagtemperatuur. Het verschil tussen de
werkelijke dagtemperatuur en de theoretische dagtemperatuur wordt de
temperatuuranomalie1) genoemd.
Bijvoorbeeld: Volgens de formule van TA is de theoretische
dagtemperatuur op 5 april 2018 gelijk aan 10,4 °C. Op 5 april 2018 was
de werkelijke dagtemperatuur 5,9 °C. De temperatuuranomalie is dan
5,9 − 10,4 = −4,5 °C.
noot 1 In werkelijkheid is de bepaling van de temperatuuranomalie complexer, maar in
deze opgave gaan we uit van een sterk vereenvoudigd model.
In figuur 3 staat de grafiek van de temperatuuranomalie voor de eerste
28 dagen van april 2018. Deze grafiek staat vergroot op de uitwerkbijlage.
figuur 3
Op 29 april 2018 was de werkelijke dagtemperatuur 9,2 °C. Op 30 april
2018 was dit 9,5 °C.
opgave 7Slagfrequentie
Enkele maanden geleden is Hans gestart met het leren van de zwemslag
borstcrawl. Zie de foto. Na het aanleren van de basis van deze slag wil
Hans zijn zwemtechniek verder verbeteren.
Om zijn zwemtechniek te kunnen verbeteren moet Hans efficiënt leren
zwemmen. De meetbare grootheid slagfrequentie helpt hem hierbij.
De slagfrequentie is het aantal slagen dat een zwemmer per minuut
maakt.
Verder gebruikt Hans de tabel op de uitwerkbijlage en de figuur, die ook
vergroot op de uitwerkbijlage staat. In de figuur staat op de horizontale as
de tijd die hij zwemt per 100 m. Op de verticale as staat de slagfrequentie.
In de tabel kun je deze slagfrequentie aflezen aan de hand van de
zwemtijd over 100 meter en het aantal gemaakte slagen per 25 meter. De
tabel compenseert voor de onafgemaakte slagen in het zwembad waar
Hans traint.
Het is bij de borstcrawl belangrijk dat de timing van je slag goed is en dat
je er gebruik van maakt dat je even uitdrijft als je je arm uitstrekt. Als je te
lang uitdrijft, verlies je snelheid; je slagfrequentie is dan te laag. In de
figuur is dit zone III. Als je te kort uitdrijft, dan is je slagfrequentie te
hoog. In de figuur is dit zone I.
Zone II in de figuur is het gebied waarin je efficiënt zwemt.
Hans heeft een te hoge slagfrequentie. Hij zwemt met een snelheid van
2,9 km/uur en maakt 33 slagen per 25 meter. Hans gaat elke dag trainen
en we nemen aan dat hij hiermee het aantal slagen per 25 meter met 1%
per dag omlaag kan brengen.
aan dat de helling van de grafiek
