bij dit examen
OVERZICHT FORMULES
Differentiëren
naam van de regel functie afgeleide somregel s ( x ) = f ( x ) + g ( x ) s' ( x ) = f ' ( x ) + g' ( x ) verschilregel v ( x ) = f ( x ) − g ( x ) v' ( x ) = f ' ( x ) − g' ( x ) productregel p ( x ) = f ( x ) ⋅ g ( x ) p' ( x ) = f ' ( x ) ⋅ g ( x ) + f ( x ) ⋅ g' ( x ) f ( x ) q ( x ) = f ' ( x ) ⋅ g ( x ) − f ( x ) ⋅ g' ( x ) q' ( x ) = quotiëntregel q ( x ) = g ( x ) q' ( x ) = ( g ( x )) 2 kettingregel k ( x ) = f ( g ( x )) k' ( x ) = f ' ( g ( x )) ⋅ g' ( x ) of d k d f d g = ⋅ = ⋅ d x d g d x
Logaritmen
regel voorwaarde g log ( a ) + g log ( b ) = g log ( ab ) g >0, g ≠ 1, a >0, b >0 g g g a log ( a ) − log ( b ) = log g >0, g ≠ 1, a >0, b >0 log ( a ) − log ( b ) = log b g >0, g ≠ 1, a >0, b >0 g log ( a p ) = p ⋅ g log ( a ) g >0, g ≠ 1, a >0 p log ( a ) g log ( a ) = g >0, g ≠ 1, a >0, p >0, p ≠ 1 log ( a ) = p log ( g ) g >0, g ≠ 1, a >0, p >0, p ≠ 1
Ga verder op de volgende pagina.
opgave 1Te veel stukjes
Het aantal stukjes dat op de doos van een legpuzzel staat, is een rond
getal zoals 500, 1000 of 1500. Vaak bestaat een puzzel echter uit méér
stukjes dan er op de doos vermeld staat.
In een video onderzoekt komiek en wiskundige Matt Parker hoe dit zit. Hij
kijkt naar puzzels waarvan de stukjes een rechthoekig rooster vormen met
k kolommen en r rijen.
We nemen in deze opgave aan dat k groter is dan r.
De
roosterverhouding 
is dan altijd groter dan 1.
We bekijken eerst een puzzel met 200 stukjes. Zo’n puzzel kan bestaan
uit 100 kolommen en 2 rijen. De roosterverhouding is in dit geval
.
12pProcenten, verhoudingen en eenheden 2p
Geef alle andere theoretisch mogelijke roosterverhoudingen voor een
puzzel met precies 200 stukjes.
Een andere puzzel bestaat uit 204 stukjes. De mogelijke
afmetingen (k x r) voor deze puzzel zijn: 204 x 1, 102 x 2, 68 x 3, 51 x 4,
34 x 6 en 17 x 12.
De hoogte van ieder stukje in deze puzzel is 1,04 keer zo groot als de
breedte b van dat stukje. De inkepingen en uitsteeksels van een
puzzelstukje worden (in deze opgave) buiten beschouwing gelaten. Zie de
figuur.
figuur
De puzzel van 204 stukjes is 49 cm breed en 36 cm hoog.
23pProcenten, verhoudingen en eenheden 3p
Bereken met behulp van bovenstaande gegevens het aantal rijen en
kolommen van deze puzzel.
Perfecte puzzels zijn puzzels die voldoen aan de volgende voorwaarden:
− Het aantal stukjes waaruit de puzzel bestaat is precies gelijk aan het
aantal stukjes vermeld op de doos.
− De hoogte van de stukjes is gelijk aan de breedte van de stukjes.
Matt Parker bedacht een maat om te beoordelen in hoeverre een puzzel
afwijkt van een perfecte puzzel. Hij noemde dit de badness rating.
De volgende formule beschrijft deze badness rating:
B = s ⋅1,005n
− B is de badness rating.
− s is de berekende verhouding tussen de hoogte en breedte van een
puzzelstukje, met s ≥ 1.
− n is het verschil tussen het werkelijke aantal stukjes en het aantal
stukjes op de doos, met n ≥ 0.
32pRekenen met een gegeven formule 2p
Bereken de badness rating van een perfecte puzzel.
We bekijken nu een puzzel van 39 kolommen en 27 rijen met s = 1,002.
Deze puzzel heeft een badness rating van 1,3052.
44pVergelijkingen en snijpunten met de GR oplossen 2p · Formules en vergelijkingen opstellen 1p · Rekenen met een gegeven formule 1p
Bereken het aantal stukjes dat op de doos staat, door gebruik te maken
van de badness rating.
Matt vermoedt dat fabrikanten alleen puzzels maken met de laagst
mogelijke badness rating. Hij onderzoekt dit vermoeden met een puzzel
van 80 bij 60 cm met op de doos ‘1500 stukjes’. Voor alle mogelijke
roosterverhoudingen berekent hij voor deze puzzel de badness rating. De
laagste badness rating die hij vindt is B = 1,1127. Vervolgens gaat hij de
puzzelstukjes tellen. De puzzel blijkt uit 45 kolommen x 34 rijen te
bestaan.
opgave 2Het lengen en korten van de dagen
In de zomer zijn de periodes met daglicht langer dan in de winter. De
kortste periode met daglicht is rond 21 december. Na deze zogenoemde
kortste dag worden de periodes met daglicht weer langer; dit verschijnsel
noemt men het lengen van de dagen. Vooral in de maanden februari en
maart is dit verschijnsel goed merkbaar. Een soortgelijk effect geldt voor
het korten van de dagen. Dit is het korter worden van de periode met
daglicht na de langste dag rond 21 juni. In het najaar is het korten van de
dagen duidelijk merkbaar. In de figuur zie je hoe het lengen en korten van
de dagen over een jaar varieert in de stad Amsterdam.
De periode tussen zonsopgang en zonsondergang noemt men daglengte.
figuur
Voor de grafiek in de figuur geldt de volgende formule:
Hierin is ΔL het aantal minuten waarmee de daglengte is veranderd ten
opzichte van de dag ervoor en t de tijd in dagen met t = 0 op 1 januari.
Begin januari is het lengen van de dagen in Amsterdam nauwelijks
merkbaar.
75pVergelijkingen en snijpunten met de GR oplossen 4p · Ongelijkheden oplossen 1p
Bereken hoeveel dagen per jaar dit het geval is.
In Amsterdam is de minimale daglengte 7 uur en 39 minuten en de
maximale daglengte 16 uur en 45 minuten. De daglengte L kan dan
worden benaderd met een formule van de vorm:
L = a + bsin
Hierin is L de daglengte in minuten en t de tijd in dagen met t = 0
op 1 januari.
De waarden van a en b kunnen worden berekend met behulp van de
minimale en maximale daglengte, terwijl voor de waarden van c en d de
formule en de grafiek van ΔL nodig zijn.
opgave 3Krediet
Als je een nieuwe auto koopt, is het mogelijk om een lening af te sluiten
bij de autoverkoper. Op de website van een autoverkoper staat het
volgende te lezen:
Hoe werkt het? U leent het aankoopbedrag of een deel daarvan. Dat betaalt u vervolgens, vermeerderd met rente, in vaste maandbedragen terug in een vooraf overeengekomen looptijd. De vaste maandbedragen kunt u zelf gemakkelijk afstemmen op uw budget door voor een kortere of langere looptijd te kiezen. U heeft de keuze uit een looptijd van zes tot zestig maanden. De rente per maand blijft gedurende de hele looptijd gelijk.
De autoverkoper rekent een rente van 0,7% per maand. Deze rente wordt
berekend over het bedrag van de lening dat nog niet is terugbetaald (de
schuld).
Een rente van 0,7% per maand lijkt niet zo hoog. Om een betere indruk
van de hoogte van deze rente te krijgen, kun je dit rentepercentage
omrekenen naar een rentepercentage per jaar.
93pExponentiële functies en groei 3p
Bereken het rentepercentage per jaar bij een maandelijkse rente van
0,7%. Geef je antwoord in 1 decimaal.
De volgende formule geeft het verband tussen de schuld en de betalingen
per maand.
(formule 1)
Hierin is Xt het bedrag van schuld in maand t, b het bedrag dat de klant
per maand moet betalen, X0 het bedrag van de schuld op t = 0 en t de
tijd in maanden.
De heer Kliphuis koopt bij de autoverkoper een auto en overweegt het
volledige bedrag van € 16 000 te lenen. Als hij kiest voor een looptijd van
36 maanden, betaalt hij maandelijks € 500. Na 36 maanden zou dan bijna
het geleende bedrag terugbetaald zijn. Er zou dan echter nog een bedrag
overblijven dat kleiner is dan de € 500 die hij maandelijks zou betalen. Dit
bedrag noemen we de restschuld. De restschuld van Kliphuis zou
afgerond € 177 zijn.
102pRekenen met een gegeven formule 2p
Bereken deze restschuld in centen nauwkeurig.
Kliphuis overweegt ook om bij de aankoop van deze auto meteen € 6000
te betalen. Hij zou dan maar € 10 000 lenen. Hij zou dan weer voor een
looptijd van 36 maanden kiezen, waarin hij het geleende bedrag van
€ 10 000 volledig zou aflossen.
Als Kliphuis vooraf € 6000 betaalt en de rest leent, zou hij in totaal minder
betalen dan wanneer hij het hele aankoopbedrag leent.
115pRekenen met een gegeven formule 3p · Formules en vergelijkingen opstellen 1p · Vergelijkingen en snijpunten met de GR oplossen 1p
Bereken hoeveel Kliphuis nu minder betaalt. Geef je antwoord in hele
euro’s.
Mevrouw Wielink koopt ook een auto bij de autoverkoper. Zij leent het
volledige bedrag namelijk € 25 000. Ze wil bij een bepaalde looptijd,
bijvoorbeeld 24 of 36 maanden, snel het bedrag kunnen berekenen dat ze
per maand moet betalen. De rente bedraagt ook nu 0,7% per maand en er
is geen restschuld.
Bovenstaande gegevens invullen in formule 1 geeft de vergelijking:
Hierin is b het bedrag dat Wielink per maand moet betalen en T de
looptijd in maanden.
Deze vergelijking is te herleiden tot
124pFormules herleiden en omwerken 4p
Geef deze herleiding.
Mevrouw Vogelaar koopt een auto bij dezelfde verkoper, er wordt dus ook
nu een rente van 0,7% per maand gerekend.
Zij leent een bedrag van € 20 000. Elke maand betaalt zij € 490.
Bovenstaande gegevens invullen in formule 1 geeft de volgende formule:
Xt = 70000 − 50000 ⋅1,007t
Hierin is Xt het bedrag van de schuld in maand t en is t de tijd in
maanden.
Natuurlijk wordt de schuld elke maand kleiner. Dit kun je ook aantonen
met behulp van de afgeleide van formule 2.
opgave 4Steeds meer foto’s
In het Amerikaanse tijdschrift Wired stond een artikel over de fotograaf
Young Sam Kim. Deze kunstenaar vindt dat grote steden over de hele
wereld er hetzelfde uit beginnen te zien en onderzoekt met behulp van
collages van zijn foto’s het beeld van steden.
foto
Bovenstaande fotocollage is gemaakt met verschillende foto’s. Deze
collage bestaat uit twee stadsgezichten over de hele breedte, één aan de
bovenkant (ondersteboven) en één aan de onderkant. Daaroverheen zijn
vier straatbeelden met mensen geplakt, en ten slotte zijn er vier
boomtoppen boven de straatbeelden in de collage opgenomen.
Het wisselen en combineren van de foto’s is voor de fotograaf een
belangrijk onderdeel van zijn werk. Je kan een collage zoals
bovenstaande op vele manieren maken.
We gaan uit van de volgende aannames:
− Voor de stadsgezichten kiest de fotograaf uit een serie van tien
geschikte foto’s twee verschillende foto’s uit.
− De vier straatbeelden kunnen onderling verwisseld worden.
− De breedste boomtop kan alleen boven het straatbeeld met de
breedste boom.
− De overige drie boomtoppen kunnen onderling verwisseld worden
maar moeten wel boven een boom in het straatbeeld komen.
144pTelproblemen 4p
Bereken hoeveel verschillende collages er mogelijk zijn.
Een journalist van Wired heeft uitgezocht hoeveel foto’s hij zelf gemaakt
heeft in zijn carrière. De journalist heeft daarbij het totale aantal foto’s
uitgezet tegen de tijd. Hierbij is t = 0 op 1 januari 2000.
Zie de figuur.
figuur
Het totale aantal foto’s is te benaderen met de volgende formule:
N = 261 + 67,3 ⋅ e0,373t
Hierin is de (op gehelen) afgeronde waarde van N het totaal aantal foto's,
en t de tijd in jaren, met t = 0 op 1 januari 2000.
162pKettingregel 2p
Bereken c in drie decimalen.
Met de afgeleide van de formule van N kun je het aantal foto's in een jaar
benaderen. Je krijgt een goede benadering voor dit aantal als je in de
afgeleide rekent met 1 juli van het betreffende jaar.
opgave 5Energieverbruik bij mensen en dieren
Mensen en dieren gebruiken energie om zich te verplaatsen.
In figuur 1 is de minimale hoeveelheid energie die mensen en dieren
verbruiken om zich te verplaatsen, weergegeven in relatie tot het
lichaamsgewicht.
Langs de verticale as staat het minimale energieverbruik in Joules per
meter per kilogram (J /(m ⋅ kg)). Langs de horizontale as staat het
gewicht in kilogrammen. Bij beide assen wordt gebruikgemaakt van een
logaritmische schaalverdeling.
figuur 1
In figuur 1 is voor een zwemmer en voor een ijsschaatser met een stip het
minimale energieverbruik weergegeven terwijl ze zich verplaatsen.
182pTabellen en grafieken lezen en gebruiken 2p
Leg uit met behulp van figuur 1, zonder verdere berekeningen, wie van de
twee het hoogste minimale energieverbruik heeft bij een verplaatsing over
dezelfde afstand.
In figuur 1 staan ook de gegevens van de duif en het jachtluipaard met
een stip aangegeven. Volgens de figuur is het minimale energieverbruik in
joules per meter per kilogram voor de duif en het jachtluipaard even groot.
Het jachtluipaard is echter zwaarder.
193puitwerkbijlageTabellen en grafieken lezen en gebruiken 2p · Procenten, verhoudingen en eenheden 1p
Bereken met behulp van de figuur op de uitwerkbijlage hoeveel keer zo
zwaar het jachtluipaard is dan de duif. Geef je antwoord in gehelen.
Ook zijn er in figuur 1 drie lijnen getekend: één voor de vogels, één voor
de vissen en één voor de loopdieren.
Voor de lijn van de vogels geldt:
log(Ev) = −0,254 ⋅ log(mv) + 0,74 (formule 1)
Hierin is mv het lichaamsgewicht in kilogrammen en Ev het minimale
energieverbruik in joules per meter per kilogram dat nodig is om zich te
kunnen verplaatsen.
De slechtvalk is een vogel die veel op prooidieren in de buurt van het nest
jaagt en gemiddeld 980 gram weegt.
214pFormules herleiden en omwerken 4p
Geef de herleiding van formule 1 naar formule 2 en geef hierbij a in drie
decimalen.
Voor het totale minimale energieverbruik Tv in joules voor vogels geldt de
formule:
Hierin is Tv het totale minimale energieverbruik in joules, mv het
lichaamsgewicht in kilogrammen en d de afgelegde afstand in meters. Bij
een gelijkblijvende afstand d en een toenemende mv ziet de schets van de
grafiek van Tv eruit als een van de schetsen in figuur 2.
figuur 2
222pEvenredigheden en machtsverbanden 2p
Licht toe welke van de drie schetsen (A, B of C) in figuur 2 hoort bij de
grafiek van Tv.
Let op: de laatste vraag van dit examen staat op de volgende pagina.
opgave 6Cilinderpuzzel
De cilinderpuzzel (zie foto 1) is een puzzel
waarbij schuifjes in verschillende kleuren
verplaatst kunnen worden.
De cilinderpuzzel bestaat uit zes ringen met
daarop elk acht vakjes. Er zijn 48 vakjes,
waarvan er 47 bezet zijn door een schuifje. Er
is dus één leeg vakje.
Er zijn 7 verschillende kleuren schuifjes:
12 rode, 6 blauwe, 6 gele, 6 groene, 6 oranje,
6 witte en 5 zwarte.
Schuifjes kunnen als volgt verplaatst worden:
− Een schuifje direct onder of boven het lege
vakje kan in het lege vakje geschoven
worden (zie foto 2). Het schuifje en het lege vakje wisselen dan van
plek.
− Een hele ring kan gedraaid worden. Dan schuiven de 8 schuifjes (of 7
schuifjes en het lege vakje) allemaal één plek op, zonder dat de
onderlinge volgorde wijzigt (zie foto 3).
Het is niet mogelijk om een schuifje in horizontale richting in het lege
vakje te schuiven.
Door een aantal verplaatsingen te combineren, kan elk schuifje in elk
vakje terechtkomen.
De puzzel is opgelost als aan twee voorwaarden voldaan is (zie foto 1):
1 De zwarte schuifjes zitten boven elkaar met daarboven het lege vakje.
2 De andere kleuren hebben 6 schuifjes van dezelfde kleur boven
elkaar.
De cilinderpuzzel kent verschillende oplossingen. Het aantal mogelijke
manieren waarop de schuifjes verdeeld kunnen worden over de vakjes, is
veel groter dan het aantal oplossingen van de cilinderpuzzel.
237pTelproblemen 7p
Onderzoek hoeveel keer zo groot het aantal mogelijke manieren is ten
opzichte van het aantal oplossingen.
Bronvermelding
Een opsomming van de in dit examen gebruikte bronnen, zoals teksten en afbeeldingen, is te vinden in het bij dit examen
behorende correctievoorschrift.
met afgerond op één decimaal 
