Eindexamen wiskunde B vwo 2001 tijdvak 1 (wiskunde B1,2)

bij dit examen

Boottocht In een cirkelvormig meer liggen twee eilandjes, M en F .We beschouwen de eilandjes als punten. M ligt precies in het midden van het meer. Zie figuur 1. figuur 1 S is een punt aan de rand van het meer. Een bootje start in S en vaart in een rechte lijn naar M .

Teken in de figuur op de bijlage bij vraag 1 het punt P op de route van het bootje waar het bootje even ver van punt S verwijderd is als van F . Licht je werkwijze toe. Een ander bootje start in een punt aan de rand van het meer en vaart ook in een rechte lijn naar M . Halverwege is de afstand van het bootje tot het land even groot als de afstand van het bootje tot beide eilandjes.

Teken in de figuur op de bijlage bij vraag 2 de punten aan de rand van het meer van waaruit het bootje vertrokken kan zijn. Licht je werkwijze toe. Oppervlaktebenadering Deze opgave gaat over een voorbeeld uit de farmacokinetiek, de wetenschap die onder andere het verloop bestudeert van de concentratie van een geneesmiddel in het bloed. In een praktijktest wordt op geregelde tijden met tussenpozen ∆ t de concentratie van een geneesmiddel bij een persoon gemeten. Op de tijdstippen t 0 , t 1 , t 2 , …, t n is de gemeten concentratie c 0 , c 1 , c 2 , …, c n . In figuur 2 zijn de punten C k ( t k , c k ) weergegeven. Deze punten liggen op de kromme die het verloop weergeeft van de concentratie van dit geneesmiddel. Een maat voor de werkzaamheid van een geneesmiddel is de oppervlakte onder deze kromme. In de farmacokinetiek noemt men dit de AUC (Area Under Curve) .

figuur 2 In figuur 3 is aangegeven hoe de oppervlakte onder de kromme benaderd kan worden.Twee opeenvolgende meetpunten bepalen een trapezium. Het trapezium tussen t k en t k + 1 is grijs aangegeven. De som van de oppervlakten van alle trapezia is een benadering van de AUC. figuur 3 De vraag rijst natuurlijk „Hoe nauwkeurig is deze methode?”. Dit gaan we in deze opgave voor een speciaal geval onderzoeken.

1/– ( c k + c k + 1) ⋅∆ t 2 Bewijs dat de AUC tussen t 0 en t n benaderd wordt door / – 1 ( c 0 + c n ) + Σ c p / ⋅∆ t 2 Om de nauwkeurigheid van deze manier van benaderen aan de hand van een voorbeeld te testen, nemen we aan dat het dalende gedeelte van de kromme gegeven wordt door c = 32 ⋅ e – –/2 1 t + –/2 1 met c in mg/liter en t in uren, 1 ≤ t ≤ 5.

Bewijs met behulp van integraalrekening dat de AUC voor 1 ≤ t ≤ 5 gelijk is aan 64 – 64/—. e 2 Neem aan dat de concentratie om het half uur gemeten wordt en dat de meetpunten

inderdaad op de grafiek van c liggen. Bereken hoeveel procent de benadering van de AUC voor 1 ≤ t ≤ 5, bepaald met behulp van de formule van vraag 4, afwijkt van de werkelijke oppervlakte. Geef het antwoord in twee decimalen nauwkeurig.

Machten van sinus en cosinus Gegeven is de functie f ( x ) = (1 – x ) 2 figuur 4 met 0 ≤ x ≤ 1. Verder is gegeven het lijnstuk AB met A (1, 0) en B (0, 1). Zie figuur 4. Tussen de grafiek van f en het lijnstuk AB worden verticale verbindingslijnstukken getekend. In figuur 4 zijn enkele verbindingslijnstukken getekend.

de formule L = –2 x + 2 x . Bereken exact de maximale lengte van zo’n verbindingslijnstuk. Voor elk positief geheel getal n bekijken figuur 5 we de baan K n van een punt dat beweegt volgens { x ( t ) = cos n t met 0 ≤ t ≤ – 1 π . y ( t ) = sin n t 2 In figuur 5 zijn vier banen getekend.

Gegeven een punt P van K 6 . Toon aan dat de richtingscoëfficiënt van de raaklijn aan K 6 in punt P gelijk is aan –tan 4 t .

In een punt P van K 6 heeft de raaklijn aan K 6 richtingscoëfficiënt –9. Bereken de coördinaten van P . Voor een bepaalde waarde van n liggen de punten van K n op de grafiek van f en voor

een bepaalde waarde van n liggen de punten van K n op het lijnstuk AB . Onderzoek welke twee waarden van n dit zijn en toon met behulp van formules de juistheid van je bewering aan.

Water met koolzuur Hieronder staat een samenvatting van een krantenartikel afkomstig uit NRC-Handelsblad van 23 oktober 1997.

naslagartikel D^EN H^AAG , 23 OKT . Water met horecagelegenheden hetzelfde

De Consumentenbond ver-

opgave 2richtte een smaaktest met een koolzuur

panel van 23 geoefende proe- vers. De proevers dronken het kraanwater van negen waterlei- cafés gehouden. Wie in een koolzuur voorzien. dingbedrijven en negen ge- café een glas mineraalwater In een reactie op de conclu- bottelde koolzuurvrije waters. bestelt, krijgt vaak een glas sies zegt directeur J.H. Peters Opmerkelijk was dat het lek- leidingwater vermengd met van het Bedrijfschap Horeca kerste flessenwater werd ver- koolzuur. Dat concludeert de dat de gesuggereerde omvang slagen door zes kraanwaters. Consumentenbond in zijn gids van het verschijnsel ”schrome- Tegelijkertijd met dit onder- van november. Onderzoekers lijk overdreven” is. zoek werd een onderzoek onder kregen bij 11 van de 31 bezochte In het artikel wordt het opmerkelijk genoemd dat het lekkerste flessenwater werd verslagen door zes kraanwaters. Stel dat de 18 geproefde waters in een willekeurige volgorde worden geplaatst. Je kunt je nu afvragen hoe groot de kans is dat op de zevende plaats voor het eerst een flessenwater voorkomt.

Bereken in vier decimalen nauwkeurig de kans dat op de zevende plaats voor het eerst een flessenwater voorkomt. In een reactie op het onderzoek beweert de heer Peters dat de omvang van het verschijnsel schromelijk overdreven is. Een café dat kraanwater-met-koolzuur serveert als mineraalwater noemen we een ’knoeier’. Misschien heeft Peters wel gelijk en schetst het artikel een te somber beeld. Veronderstel dat in werkelijkheid 20% van de cafés tot de ’knoeiers’ behoort.

Een functie en een rij Gegeven is de functie f ( x ) = 3 – x + 3 1 . Zie figuur 6. figuur 6 In figuur 6 is rechthoek OPQR getekend met R (0, 3) en P ( b , 0) met b > 0. De grafiek van f verdeelt de rechthoek in twee delen met gelijke oppervlakte.

Bereken b in twee decimalen nauwkeurig. Voor de rij v 0 , v 1 , v 2 , … geldt v n = f ( v n – 1 ) met v 0 ≥ 0 en n ≥ 1. Op de bijlage bij vraag 15 is een gedeelte van de grafiek van f getekend.

Onderzoek voor welke waarden van v 0 de rij convergeert. Licht je antwoord toe, bijvoorbeeld met behulp van een webgrafiek. Voor bepaalde startwaarden v 0 < 0 breekt de rij v 0 , v 1 , v 2 , … met v n = f ( v n – 1 ) en n ≥ 1 af, omdat de termen niet meer gedefinieerd zijn.

Bewegende, gelijkbenige, rechthoekige driehoek Een gelijkbenige rechthoekige driehoek wordt in de linkeronderhoek van een vel papier gelegd. De eindpunten van de schuine zijde van de driehoek zijn A en B en het derde hoekpunt is C . Punt A ligt op de linkerzijde van het papier en punt B op de onderzijde van het papier. De hoekpunten van het papier noemen we D , E , F en G . Zie figuur 7. Figuur 7 is op de bijlage afgedrukt. figuur 7 G D B We laten de driehoek over het papier bewegen waarbij A op de linkerzijde en B op de onderzijde van het papier blijft. In de beginsituatie valt B samen met D . B beweegt over de onderzijde van het papier tot A samenvalt met D .Tijdens de beweging beschrijft C een baan over het papier.