bronnen

Eindexamen wiskunde B vwo 2006, tijdvak 1 (wiskunde B1,2)

opgave 1Sauna

Om 15.00 uur wordt het verwarmingselement van een sauna aangezet. Vanaf dat moment
wordt de sauna opgewarmd. Dan geldt: S(t) 200 180 e .
Hierin is S de temperatuur in de sauna in graden Celsius en t de tijd in uren vanaf 15.00 uur.
De thermostaat van de sauna is ingesteld op 100 °C. Zodra die temperatuur bereikt is, wordt
het opwarmen gestopt. Vanaf dat moment wordt de temperatuur constant gehouden.
In figuur 1 staat de grafiek van S.
figuur 1
100 S 80 60 40 20 0 0 0,5 1,0 1,5 2,0 2,5 t
14p
Bereken hoe laat het opwarmen wordt gestopt. Geef het tijdstip in minuten nauwkeurig.
24p
Bereken met behulp van differentiëren de snelheid waarmee de temperatuur in de sauna
toeneemt om 16.00 uur. Geef je antwoord in tienden van graden Celsius per minuut.
Om bij een ingestelde temperatuur van de thermostaat uit te rekenen hoe lang de sauna
nodig heeft om deze temperatuur te bereiken, kun je een formule gebruiken die t uitdrukt
in S.
34p
Druk t uit in S.

opgave 2Een tak van een hyperbool

Gegeven is de cirkel c1 met middelpunt M. Buiten de cirkel c1 ligt het punt F.
De conflictlijn h van c1 en F is een tak van een hyperbool. Zie figuur 2.
Deze figuur staat vergroot op de uitwerkbijlage.
Bij elk punt A van h hoort een zogeheten voetpunt. Dat is het punt van c1 dat het dichtst bij
A ligt.
figuur 2
c 1 V M
h F
In figuur 2 is van een punt A van h het voetpunt V getekend.
43puitwerkbijlage
Teken dat punt A in de figuur op de uitwerkbijlage. Licht je werkwijze toe.
De cirkel c2 met middellijn MF snijdt c1 in P en Q.
Het midden van PF is R. Punt T is de top van de hyperbooltak.
Bovendien is gegeven dat het middelpunt S van cirkel c2 op cirkel c1 ligt, zodat de cirkels
even groot zijn. Zie figuur 3.
Figuur 3 is ook vergroot afgedrukt op de uitwerkbijlage.
figuur 3
P c 2 c h 1 R M S T F Q
57p
Bewijs dat driehoek RST gelijkzijdig is.

opgave 3Knock-out-systeem

Een spelprogramma op televisie telt bij aanvang 16 deelnemers. Het spel wordt gespeeld in
vier rondes. In elke ronde nemen de spelers het in een spelletje van één-tegen-één tegen
elkaar op. Van elk tweetal gaat de winnaar door naar de volgende ronde; de verliezer doet
niet meer mee. In elke ronde wordt het aantal deelnemers dus gehalveerd; men spreekt van
een knock-out-systeem.
De spelletjes zijn van zodanige aard dat de uitslag volledig bepaald wordt door het toeval.
Bij elk spelletje hebben beide spelers dus kans (1)/(2) om te winnen.
Vooraf wordt een speelschema opgesteld; zie figuur 4.
figuur 4 speler nr 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
ronde 1 ronde 2 ronde 3 ronde 4 (finale)
Elke deelnemer krijgt door loting een nummer. Dit nummer is zijn plaats in het schema.
Boven in het schema zie je wie tegen wie speelt in de eerste ronde. Na de eerste ronde zijn
er nog acht spelers over. De winnaar van de spelers 1 en 2 speelt in de tweede ronde tegen
de winnaar van de spelers 3 en 4, enzovoort. In de vierde ronde wordt de finale gespeeld
door de twee overgebleven deelnemers.
64p
Bereken de kans dat speler 1 de finale speelt tegen speler 16 en speler 1 deze finale wint.
Een deelnemer speelt 1, 2, 3 of 4 rondes.
74p
Bereken de verwachtingswaarde van het aantal rondes dat een deelnemer speelt.
In een jaar is het spelprogramma 52 keer op de televisie geweest. Elke keer hebben er
evenveel mannen als vrouwen meegedaan. Er is enige twijfel of elke deelnemer wel
evenveel kans heeft om het spelprogramma te winnen. Misschien hebben vrouwen meer
kans.
Daarom wordt het aantal keren geteld dat een vrouw het spelprogramma won. Daarna
berekent men de kans op dat aantal of een hoger aantal, aangenomen dat alle deelnemers
evenveel kans hebben om het spelprogramma te winnen. Het aantal wordt abnormaal hoog
gevonden als deze kans kleiner dan 5% is.
85p
Bereken welke aantallen vrouwelijke winnaars abnormaal hoog worden gevonden.

opgave 4Isolijnen, dichtbij en veraf

Een gebied G wordt begrensd door de lijnstukken AB en BC, de halve lijn l met beginpunt A
en de halve lijn m met beginpunt C. Zie figuur 5. Deze figuur staat vergroot op de
uitwerkbijlage.
figuur 5
l A 6 B G 4 C m
Verder is gegeven: AB = 6; BC = 4; de hoek tussen l en AB is 60°; ∠ABC en de hoek tussen
BC en m zijn 120°.
Uit deze gegevens volgt dat l evenwijdig is met m.
95puitwerkbijlage
Bewijs dit. Je kunt hierbij gebruik maken van de figuur op de uitwerkbijlage.
De iso-a-lijn van G wordt gevormd door de
punten die op afstand a van gebied G liggen. figuur6
Elke iso-a-lijn van G bevat twee halve lijnen
en een cirkelboog.
Voor kleine waarden van a bevat de iso-a-lijn
daarnaast ook nog één of twee lijnstukken.
Voor een aantal waarden van a is in figuur 6
een begin gemaakt met het tekenen van de
106puitwerkbijlage
115puitwerkbijlage
iso-a-lijn. Deze figuur staat vergroot op de
uitwerkbijlage.
Teken in de figuur op de uitwerkbijlage de
ontbrekende delen van deze drie iso-a-lijnen.
Voor waarden van a die groter zijn dan een
zekere waarde bestaat de iso-a-lijn uitsluitend
uit twee halve lijnen en een cirkelboog QP.
De eindpunten Q van deze cirkelbogen liggen
op een halve lijn die loodrecht op l staat.
Teken in de figuur op de uitwerkbijlage de
verzameling van de eindpunten P. Beschrijf
deze verzameling.
l A 6 B G 4 C m

opgave 5Oppervlakte van een trapezium

In figuur 7 staat een kwart van de eenheidscirkel, met O(0, 0), A(1, 0) en B(0, 1).
Op tijdstip t = 0 start een punt P in A en beweegt langs cirkelboog AB; op tijdstip t heeft P
de coördinaten (cos t, sin t). Q is de loodrechte projectie van P op de y-as.
We bekijken de oppervlakte V van het trapezium OAPQ op tijdstip t, waarbij t in het
2 y B Q P (cos t, sin t) x O A
figuur 7
De oppervlakte V van het trapezium is sint sin 2t .
124p
Toon dit aan.
135p
Bereken met behulp van differentiëren voor welke waarde van t de oppervlakte V maximaal
is.
De oppervlakte van het trapezium OAPQ figuur 8
verandert op het tijdsinterval 〈0, (1)/(2) π 〉
voortdurend. In figuur 8 is de grafiek
getekend van V als functie van t op dit
tijdsinterval.
De gemiddelde oppervlakte van het trapezium
OAPQ over het tijdsinterval 〈0, (1)/(2) π 〉 noemen
we k. In figuur 8 is de lijn y = k getekend.
Er geldt: de oppervlakte van het gebied dat
wordt ingesloten door de grafiek van V, de
y 1 V k 0 0 1π 2 t
t-as en de lijn t π is gelijk aan de
oppervlakte van het gebied dat wordt ingesloten door de horizontale lijn y = k, de t-as, de
y-as en de lijn t π .
146p
Bereken met behulp van integreren de exacte waarde van k.

opgave 6Een halve cirkel

In een assenstelsel is de bovenste helft getekend van de cirkel met middelpunt (2, 0) en
straal 2. Deze halve cirkel is de grafiek van de functie f (x) = √(4x − x2), op het domein
[0, 4]. Zie figuur 9. Daarin is ook de lijn y = x getekend. Deze lijn snijdt de grafiek van f in
O en in het punt (2, 2).
figuur 9
y 3 2 f 1 O x 1 2 3 4 5 6
In één punt van de grafiek van f is de raaklijn aan de grafiek van f evenwijdig aan de lijn
y = x.
155p
Bereken met behulp van differentiëren de x-coördinaat van dat punt. Geef je antwoord in
één decimaal nauwkeurig.
Het vlakdeel dat wordt ingesloten door de grafiek van f en de lijn y = x wordt gewenteld
om de x-as.
166p
Bereken exact de inhoud van het omwentelingslichaam dat zo ontstaat.
Voor startwaarden u0 tussen 0 en 8 is de rij u0, u1, u2,... gedefinieerd door un+1 = f ((1)/(2) un).
172p
Bereken u4 voor het geval dat u_3 = (4)/(5).
In figuur 10 zijn getekend: de grafiek van f, de lijn y = x en de lijn y = (1)/(2) x.
Op de x-as is een zekere startwaarde u aangegeven. Figuur 10 is vergroot afgedrukt op de
uitwerkbijlage.
y f O x 4 u 0
figuur 10
184puitwerkbijlage
Teken in de figuur op de uitwerkbijlage met behulp van de drie grafieken de plaats van u2
op de x-as.
Voor elke startwaarde u0 tussen 0 en 8 convergeert de rij u0, u1, u2,... naar dezelfde
positieve limiet.
195p
Bereken deze limiet op algebraïsche wijze.
√(Einde)
Lees verder