bronnen

Eindexamen wiskunde B vwo 2007, tijdvak 1 (wiskunde B1,2)

opgave 1Podiumverlichting

Een podium is 6 meter diep. Midden boven het podium hangt een balk met
tl-buizen. De verlichtingssterkte op het podium is het kleinst aan de rand,
bijvoorbeeld in punt P. De afstand van P tot de balk is r meter, de hoogte van de
balk boven het podium is x meter en de hoek die het kortste verbindingslijnstuk
van de balk en punt P met het podium maakt is α radialen. Zie figuur 1.
figuur 1
balk met tl-buizen x r podium 3 3 P
De verlichtingssterkte op het podium in punt P noemen we V (in lux). V is
omgekeerd evenredig met r en evenredig met sin α. Dus V = c ⋅ (1)/(r) ⋅sin α, waarbij
de evenredigheidsconstante c afhangt van het lichtvermogen van de tl-buizen.
Voor deze balk met tl-buizen geldt: c = 650 (lux⋅m).
Er geldt: V = (650x)/(9 + x2).
13p
Toon aan dat deze formule juist is.
De balk met tl-buizen kan omhoog gehesen worden: de hoogte kan variëren van
2,0 tot 5,0 meter.
De verlichtingssterkte op het podium in punt P moet minimaal 100 lux zijn.
25p
Bereken langs algebraïsche weg op welke hoogtes de balk mag hangen.
Er is een hoogte van de balk waarbij V maximaal is.
36p
Bereken deze hoogte langs algebraïsche weg.

opgave 2Krasbal

In 2001 werd het spel “krasbal”
figuur 2
geïntroduceerd. Het spel werd op
één speelkaart door twee spelers
gespeeld. In deze opgave is de
speelkaart ("krasbalkaart") sterk
vereenvoudigd.
In figuur 2 zie je de krasbalkaart,
bestaande uit het "speelveld" en
het "scoringsveld". In het speelveld
zijn acht vakjes die kunnen worden
open gekrast: vier met de letter V
(van balVerlies) en vier met de
letter P (van doelPoging). In het
scoringsveld zijn vier vakjes die
kunnen worden open gekrast: twee
krasbalkaart speelveld scoringsveld
met de letter D (van Doelpunt) en
twee met de letter M (van Misser).
44p
Hoeveel verschillende krasbalkaarten zijn er mogelijk?
Het spel wordt als volgt gespeeld:
− als een speler aan de beurt is, krast hij eerst een vakje in het speelveld
open;
− als hij in het speelveld
• een V open krast, gaat de beurt naar zijn tegenstander,
• een P open krast, gaat hij verder naar het scoringsveld;
− als hij in het scoringsveld
• een D open krast, heeft hij de wedstrijd gewonnen en stopt het spel,
• een M open krast, gaat de beurt naar zijn tegenstander.
Het aantal hokjes dat in een wedstrijd wordt open gekrast, is de lengte van de
wedstrijd.
54p
Bereken de kans dat een wedstrijd lengte 4 heeft.
Ruud en Patrick spelen het krasbalspel vaak. Het valt Patrick op dat, als Ruud
mag beginnen, hij bijna altijd een P open krast. Het lijkt wel alsof Ruud kan zien
wat er in een vakje staat! Patrick gaat in de komende tien spellen die Ruud mag
beginnen, bijhouden hoe vaak het eerste vakje dat Ruud open krast een P is.
Als dit er acht of meer zijn, zal hij Ruud van vals spel beschuldigen.
64p
Bereken de kans dat hij Ruud ten onrechte van vals spel zal beschuldigen.

opgave 3Cirkelinham

Een gebied G heeft aan een van zijn rechte zijden, EF, een inham, waarvan de
rand bestaat uit drie cirkelbogen:
− boog AB is een kwartcirkel met straal 3 en middelpunt E,
− boog CD is een kwartcirkel met straal 3 en middelpunt F,
− boog BC is een halve cirkel met straal 6 en middelpunt M,
− E, A, D en F liggen op een rechte lijn.
Zie figuur 3. Deze figuur staat vergroot op de uitwerkbijlage.
figuur 3
G M B C E A D F
In figuur 4 zijn in de inham de iso-afstandslijnen getekend op de afstanden 1, 2,
3 en 4 van het land.
figuur 4
G 1 2 3 4 L L R R L R B M C E A D F
74puitwerkbijlage
Teken in de figuur op de uitwerkbijlage de iso-afstandslijn waarop het punt M
ligt. Licht je werkwijze toe.
Elke iso-afstandslijn bestaat uit drie cirkelbogen. Deze drie bogen sluiten op
elkaar aan in de punten L (links) en R (rechts). Zie figuur 5.
figuur 5
G 1 2 3 4 LL LL RR RR LL RR L R B M C E A D F
Voor alle punten L geldt: LM + LE = 9.
84p
Toon dit aan.
Uit LM + LE = 9 volgt dat de punten L op een ellips met brandpunten E en M
liggen. Evenzo liggen de punten R op een ellips met brandpunten F en M. De
twee ellipsen snijden elkaar in twee punten, die vanwege de symmetrie van de
figuur op de middelloodlijn van EF liggen. Een van deze snijpunten is het
midden T van EF. Het andere snijpunt is S. Zie figuur 6.
figuur 6
G S M B C E A T D F
94p
Bereken de afstand MS.

opgave 4De functie f ( x ) = ex

Op de grafiek van de functie
figuur 7
104p
114p
f(x) = ex liggen de punten A en B
met x-coördinaten a en a + 1.
Zie figuur 7.
Het gebied dat wordt ingesloten
door de grafiek van f, de
horizontale lijn door B en de
verticale lijn door A is in figuur 7
grijs aangegeven.
Bereken exact de waarde van a
waarvoor de oppervlakte van dit
gebied gelijk is aan 3.
Als a toeneemt, neemt de
richtingscoëfficiënt van de lijn AB
ook toe.
Bereken voor welke waarden van a
de richtingscoëfficiënt van AB
kleiner dan 1 is. Rond in je
antwoord de grenswaarde af op
twee decimalen.
y f B A O a a+1 x
In de volgende vragen is a = 1, dus
124p
136p
A is het punt (1, e ) en B is het
punt (2, e2 ).
Bereken de lengte van de grafiek
van f tussen A en B.
P en Q zijn de loodrechte
projecties van A op de x-as en de
y-as. De rechthoek OPAQ wordt
door de grafiek van f verdeeld in
twee stukken. Zie figuur 8.
Beide stukken wentelen we om de
x-as.
Bereken exact het verschil tussen
de inhouden van de twee
omwentelingslichamen.
figuur 8
y f Q A (1, e) O P x

opgave 5Driehoeken plakken

We maken een figuur die uit oneindig veel gelijkzijdige driehoeken bestaat. We beginnen met een gelijkzijdige driehoek met zijde 3 cm. Rechtsboven plakken we er een gelijkzijdige driehoek aan met zijde 2,7 cm. Zo plakken we er steeds rechtsboven een gelijkzijdige driehoek aan, de ene keer met de…

We maken een figuur die uit oneindig veel gelijkzijdige driehoeken bestaat. We beginnen met een gelijkzijdige driehoek met zijde 3 cm. Rechtsboven plakken we er een gelijkzijdige driehoek aan met zijde 2,7 cm. Zo plakken we er steeds rechtsboven een gelijkzijdige driehoek aan, de ene keer met de top naar beneden, de andere keer met de top naar boven. De zijden van de nieuw te plakken driehoek zijn 0,9 keer zo groot als de zijden van de vorige driehoek die werd geplakt. In figuur 9 zie je de figuur in opbouw: na zeven keer plakken. Na elke keer plakken komt de figuur dichter bij de finishlijn. We plakken oneindig vaak. figuur 9 n j il h/s i/i n

Onderzoek met behulp van een berekening of de figuur op den duur de finishlijn overschrijdt.

opgave 6Brievenweger

Hieronder zie je een foto van een brievenweger. Op het schaaltje staat een
voorwerp met een gewicht van 64 gram.
foto
foto
In figuur 10 is schematisch een soortgelijke brievenweger weergegeven met een
voorwerp dat y gram weegt. Deze figuur staat vergroot op de uitwerkbijlage.
De pijl waarbij je het gewicht afleest, ligt loodrecht onder het draaipunt D. De
ballast zorgt ervoor dat het verbindingsstuk DE verticaal staat als er niets op het
schaaltje ligt. De verbinding tussen de stukken ED en DC is vast.
figuur 10
voorwerp met gewicht y gram schaaltje C D ballast B A g n E deli 0 y schaalver pijl
Als een voorwerp van y gram op het schaaltje geplaatst wordt, draait het
verbindingsstuk CDE om punt D over een hoek van α radialen. De
cirkelvormige schaalverdeling en de ballast draaien ook en de pijl wijst op de
schaalverdeling het getal y aan. Het schaaltje blijft horizontaal door de
scharnieren in de punten A, B en C. Zie figuur 10.
Bij deze brievenweger kan met behulp van statica de formule y = 70(sinα)/(sin(α + 1 π))_4
afgeleid worden (α in radialen).
153puitwerkbijlage
Bepaal door meten en berekenen de waarde van y. Gebruik daarvoor de figuur
op de uitwerkbijlage. Rond je antwoord af op een gehele waarde. Licht je
antwoord toe.
164p
Bereken exact de waarde van α waarvoor geldt y = 70.
Voor de afgeleide (dy)/(dα) geldt de formule (dy)/(dα) = (70sin(4 π))/(sin2(α + 1 π))^1_4.
174p
Toon dit aan.
Op de schaalverdeling kun je alle streepjes van 1, 2, 3, … tot 100 gram
aangeven. De onderlinge afstanden tussen die streepjes zijn verschillend. In de
buurt van een zekere waarde van α liggen de streepjes het verst van elkaar. Bij
deze waarde van α is (dy)/(dα) minimaal.
183p
Bereken in twee decimalen nauwkeurig de waarde van α waarvoor (dy)/(dα)
minimaal is.
Let op: de laatste vragen van dit examen staan op de volgende pagina.

opgave 7Spiegeltjes op een cirkel

De punten A en B liggen op een
figuur 11
cirkel.
In het punt S op de cirkel plaatsen
we een vlak spiegeltje, zo dat de
lichtstraal vanuit A wordt
weerspiegeld naar B. De hoek α
die AS met de spiegel maakt is dus
gelijk aan de hoek β die SB met de
spiegel maakt. Zie figuur 11.
Als we de lijn van de spiegel in S
S A B
verlengen, snijdt deze de cirkel in
een punt C . Zie figuur 12. Deze
figuur 12
194p
figuur staat vergroot op de
uitwerkbijlage.
Er geldt: ∠BAC = ∠ABC.
Toon dit aan.
De omgekeerde bewering is ook
waar:
als in driehoek ABC geldt
∠BAC = ∠ABC, dan geldt voor elk
punt S op de omgeschreven cirkel
C S A B
van driehoek ABC α = β, waarbij α
en β de hoeken zijn die
respectievelijk AS en BS met lijn
CS maken.
In figuur 13 zijn twee andere
punten A en B op de cirkel
getekend en verder nog twee
punten P en Q op de cirkel. Deze
figuur staat vergroot op de
uitwerkbijlage.
In P en in Q willen we een
figuur 13
P B Q A
spiegeltje zo plaatsen dat in elk
van beide spiegeltjes lichtstralen
vanuit A weerkaatst worden
naar B.
204puitwerkbijlage
Hoe kun je de omgekeerde bewering gebruiken om de juiste stand van de
spiegeltjes bij P en Q te tekenen? Licht je antwoord toe met een tekening op de
uitwerkbijlage.