opgave 1Landing
In deze opgave bekijken we een eenvoudig wiskundig model van de baan van
een vliegtuig bij de landing.
Een vliegtuig vliegt op een hoogte van 8 km. Op een afstand van 100 km van het
vliegveld (horizontaal gemeten) wordt het landingsproces ingezet.
We tekenen de baan van het vliegtuig in een assenstelsel: x is de afstand
(in km, horizontaal gemeten) vanaf het punt waar het landingsproces wordt
ingezet en y is de hoogte (in km).
De piloot begint het landingsproces in het punt (0, 8) en het vliegtuig komt in het
punt (100, 0) op de grond. Zie figuur 1.
figuur 1
De baan die het vliegtuig tijdens het landingsproces beschrijft, wordt in het
assenstelsel bij benadering gegeven door: y = 8 − 2,4 ⋅10−3 ⋅ x2 + 1,6 ⋅10−5 ⋅ x3
14pToon langs algebraïsche weg aan dat volgens bovenstaande formule het
vliegtuig zowel in het punt (0, 8) als in het punt (100, 0) een horizontale
bewegingsrichting heeft.
De snelheid in horizontale richting is tijdens het gehele landingsproces
500 km/u.
Er geldt dus: x = 500t, waarbij t het aantal uren na het inzetten van de landing is
en 0 ≤ t ≤ 0,2.
Voor de hoogte y geldt: y = 8 − 600 ⋅ t2 + 2000 ⋅ t3.
23pToon dit aan.
Om veiligheidsredenen mag de absolute waarde van de verticale versnelling
y''(t) tijdens het landingsproces niet groter zijn dan 1200 km/u2.
34pOnderzoek of aan deze eis voldaan is.
opgave 2Schijn bedriegt
In een speelhal kun je het volgende spel spelen. In een vaas zitten 7 ballen:
4 witte en 3 zwarte. Een speler doet willekeurig een greep van drie ballen uit de
vaas. Voor elke witte bal in zijn greep ontvangt hij 1 euro (en voor een zwarte
bal ontvangt hij niets). De inzet die de speler aan de speelhal moet betalen is
€ 1,75 per spel.
Per keer spelen ontvangt een speler dus 0, 1, 2 of 3 euro. De kansen op deze
vier mogelijke bedragen zijn achtereenvolgens:
,
,
en
.
44pToon aan dat de kans op 2 euro inderdaad
is.
Iemand besluit het spel zestien keer te spelen. Hij maakt in een spel winst als hij
meer dan € 1,75 ontvangt. De kans dat hij ten minste tien keer winst zal maken
is groter dan
.
54pBereken de kans dat hij ten minste tien keer winst zal maken.
Het lijkt dus wel gunstig voor een speler om het spel te spelen. Maar, schijn
bedriegt!
64pToon aan dat de speelhal op de lange termijn toch winst zal maken met dit spel.
opgave 3Een achtkromme
In figuur 2 is in een assenstelsel de kromme k getekend, gegeven door
met
0 ≤ t ≤ 2πfiguur 2
Deze kromme is symmetrisch ten opzichte van de x-as en de y-as.
De kromme k heeft vier punten waarin de raaklijn horizontaal loopt. Deze vier
punten zijn de hoekpunten van een rechthoek.
75pBereken in één decimaal nauwkeurig de oppervlakte van deze rechthoek.
Er zijn twee punten met positieve x-coördinaat op k waarvan de y-coördinaat
gelijk is aan
. Zie figuur 3.
figuur 3
84pBereken in één decimaal nauwkeurig hoe ver die twee punten van elkaar liggen.
95pBereken in één decimaal nauwkeurig de lengte van de kromme k.
opgave 4Heupoperaties
Patiënten lopen na een operatie in het ene ziekenhuis veel meer gevaar een
infectie te krijgen dan in het andere. In het jaar 2003 werden in een bepaald
ziekenhuis 120 heupoperaties uitgevoerd, waarna 6 patiënten een infectie
kregen. De directie vond het percentage van 5% infectiegevallen te hoog en
nam extra preventieve maatregelen. In 2004 werden 154 heupoperaties
uitgevoerd, met nu 2 infectiegevallen. Men vroeg zich af of dit betere resultaat
toeval was of door de extra preventieve maatregelen kwam.
103pBereken de kans op hoogstens 2 infectiegevallen bij 154 operaties voor het
geval dat de kans op infectie per operatie 0,05 is.
Omdat de zojuist berekende kans klein is, neemt men aan dat na de extra
preventieve maatregelen de kans op infectie na een operatie is afgenomen.
De kans op infectie na een operatie na de extra preventieve maatregelen
noemen we p.
114pBereken voor welke waarde van p geldt: de kans op hoogstens 2
infectiegevallen bij 154 patiënten is 0,05.
De afgelopen vijf jaar was de verpleegduur in Nederlandse ziekenhuizen voor
heupoperaties ongeveer normaal verdeeld met een gemiddelde van 4,5 dagen
en een standaardafwijking van 1,8 dagen.
Enkele chirurgen hebben de laatste tijd bij heupoperaties een infectieremmend
medicijn toegediend. Een zorgverzekeraar beweert dat door behandeling met dit
medicijn de gemiddelde verpleegduur korter is dan 4,5 dagen. Men neemt een
aselecte steekproef van 100 patiënten die behandeld zijn met het medicijn.
Van deze 100 patiënten blijkt de gemiddelde verpleegduur 4,1 dagen te zijn.
De standaardafwijking van de gemiddelde verpleegduur van n patiënten is
126pOnderzoek of door de uitkomst 4,1 dagen de zorgverzekeraar bij een
significantieniveau van 5% gelijk krijgt.
.
