opgave 1Over een parabool gespannen
In figuur 1 is de grafiek van de functie f met f(x) = 3 − x2 getekend. Tussen
twee punten P en S die even ver van O op de x-as liggen, wordt denkbeeldig
een touwtje gespannen dat over deze parabool heen gaat. Het touwtje wordt zo
gespannen dat het tussen de punten Q(−1, 2) en R(1, 2) precies over de
parabool ligt; tussen P en Q en tussen R en S is het touwtje recht.
PQ en RS zijn raaklijnstukken aan de grafiek van f.
figuur 1
De x-coördinaat van S is 2.
25pBereken de lengte van het touwtje.
In figuur 2 is een vlakdeel grijs gekleurd. Dit vlakdeel wordt ingesloten door de
grafiek van f, het lijnstuk RS en de x-as.
figuur 2
34pBereken exact de oppervlakte van dit vlakdeel.
opgave 2Wachten op de bus
Bij een evenement worden mensen vanaf een opstapplaats per bus vervoerd
naar de ingang van de evenementenhal. Voortdurend pendelen drie bussen
tussen de opstapplaats en de ingang. De reistijd van een bus (van de
opstapplaats naar de ingang en terug) is gemiddeld 60 minuten.
In figuur 1 is de situatie weergegeven dat na elke 20 minuten een bus vertrekt.
Neem aan dat voor mensen die met de bus mee willen, elk aankomsttijdstip op
de opstapplaats even waarschijnlijk is. Een bezoeker aan het evenement komt
dus met kans
in elk van de drie tijdsintervallen tussen de vertrekkende
bussen aan en voor elk van die tijdsintervallen is de te verwachten wachttijd
10 minuten. De verwachtingswaarde van de wachttijd is dus
minuten.
In figuur 2 is de situatie weergegeven dat de bussen vertrekken met
tussenpozen van 10, 20 en 30 minuten.
44pBereken in de situatie van figuur 2 de verwachtingswaarde van de wachttijd voor
een bezoeker aan het evenement.
De reistijd van de bussen is normaal verdeeld met een gemiddelde van
60 minuten. Het kan natuurlijk voorkomen dat een rit wat langer of wat korter
duurt. Men vindt dit acceptabel zo lang niet meer dan 10% van de ritten langer
duurt dan 65 minuten.
54pBereken de maximale standaardafwijking van de reistijd van een bus waarbij
aan deze eis voldaan is.
Veronderstel dat de reistijden van de bussen onafhankelijk zijn en alle een
standaardafwijking van 3,4 minuten hebben.
We bekijken twee opeenvolgende bussen.
64pBereken de kans dat de eerste bus meer dan 65 minuten over de rit doet en de
tweede bus minder dan 55 minuten.
Het verschil in reistijd van twee opeenvolgende bussen is normaal verdeeld met
standaardafwijking 4,8 minuten.
74pBereken de kans dat een bus minstens 8 minuten korter over de rit doet dan zijn
voorganger.
opgave 3Een buiteling
Een lijnstuk PQ met een lengte van π meter buitelt over een halve cirkel waarvan de straal OE 1 meter is. In figuur 1 zijn de beginstand, twee tussenstanden en de eindstand getekend. Het punt waarin PQ raakt aan de halve eenheidscirkel noemen we R . Dus op elk moment staat PQ loodrecht op OR en is het lijnstuk PR even lang als de cirkelboog ER . figuur 1 beginstand: R = P Het lijnstuk buitelt zó dat R met snelheid 1 m/s over de halve cirkel beweegt. Op tijdstip 0 begint PQ aan de buiteling; dan is het punt P nog in het punt E . In de figuur op de uitwerkbijlage is de halve cirkel getekend op schaal 1 : 25.
In figuur 2 is het lijnstuk PQ op tijdstip t getekend voor een waarde van t tussen 0 en π . Omdat de straal van de halve cirkel 1 m is en de snelheid van R gelijk is aan 1 m/s, geldt ∠ EOR = t (rad) en RP = t (m). De projectie van R op de x -as is R' en de projectie van P op RR' is P' . Op elk tijdstip t geldt: ∠ PRP' = ∠ ROR' = t . Figuur 2 staat ook op de uitwerkbijlage. Voor de coördinaten van P geldt:
opgave 4Acceleratietijd
De acceleratietijd van een auto is de tijd die de auto minimaal nodig heeft om
vanuit stilstand een snelheid van 100 km/uur te bereiken.
Voor een bepaalde auto die zo snel mogelijk optrekt, geldt: v(t)=50⋅(1−e−0,07t).
Hierbij is v(t) de snelheid in m/s na t seconden.
is de versnelling (acceleratie) in m/s
2.
De versnelling is het grootst als t = 0.
113pBereken met behulp van differentiëren die grootste versnelling.
124pBereken de acceleratietijd van de auto. Rond je antwoord af op hele seconden.
opgave 5Dozen
Deze opgave gaat over dozen die op een bepaalde manier uit een rechthoekig
stuk karton worden gemaakt. Denk aan een pizzadoos. Zie figuur 1.
Neem een stuk karton met een breedte van b cm. Wil je een doos maken die
x cm hoog wordt, dan moet je voor de lengte van het stuk karton 2b − x cm
nemen. Op zes plaatsen worden vierkantjes van x bij x cm losgesneden en
omgevouwen. De stippellijnen zijn vouwlijnen; de doorgetrokken lijnen zijn
snijlijnen. Bodem en deksel zijn allebei vierkant.
figuur 1
Voor de inhoud I(x) van zo’n doos, in cm3, geldt de formule:
I(x) = 4x3 − 4bx2 + b2x (
)
134pToon de juistheid van deze formule aan.
Voor elke positieve waarde van b heeft de inhoud I(x) een maximale waarde.
Dit maximum wordt bereikt voor
.
144pToon aan dat deze waarde van x juist is.
opgave 6Bridge
Het kaartspel bridge wordt gespeeld met een pak van 52 kaarten. Er zijn vier
‘kleuren’: klaveren, ruiten, harten en schoppen. Van elke kleur zijn er
13 kaarten: 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, Boer, Vrouw, Heer, Aas. Zie onderstaande
foto. De hoge kaarten 10, Boer, Vrouw, Heer en Aas heten honneur. In het
begin van het spel krijgt een speler aselect 13 kaarten uit het pak: een
zogenaamde hand.
foto
Lord Yarborough (1809-1897) bood aan om een speler ₤1000 te betalen als de
speler een hand kreeg zonder honneurs. De speler moest hem dan wel voor
elke andere hand (dus met minstens één honneur) ₤1 betalen. Een hand zonder
honneurs wordt daarom wel een yarborough genoemd.
156pZal dit aanbod op den duur winst opgeleverd hebben voor Lord Yarborough?
Licht je antwoord toe.
Let op: de laatste vragen van dit examen staan op de volgende pagina.
opgave 7Een vuurpijl met tegenwind
Een vuurpijl wordt vanaf de grond schuin weggeschoten. Door tegenwind beschrijft de vuurpijl een baan zoals die in figuur 1 getekend is. figuur 1 In deze figuur is een assenstelsel aangebracht met de x -as op de grond tegen de windrichting in en de y -as verticaal. In O wordt de vuurpijl afgeschoten. In B komt hij weer op de grond. A is het punt van de baan dat het meest naar rechts ligt. We gebruiken voor de baan de volgende formules: voor het eerste deel OA van de baan geldt voor het tweede deel AB van de baan geldt met x en y in meter.
