bronnen

Eindexamen wiskunde B vwo 2013, tijdvak 1

naslagFormules

Vlakke meetkunde
Verwijzingen naar definities en stellingen die bij een bewijs mogen worden
gebruikt zonder nadere toelichting.
Hoeken, lijnen en afstanden:
gestrekte hoek, rechte hoek, overstaande hoeken, F-hoeken, Z-hoeken,
afstand punt tot lijn, driehoeksongelijkheid.
(Meetkundige plaatsen:)/(middelloodlijn, bissectr)ice, bissectricepaar, middenparallel, cirkel,
parabool.
(Driehoeken:)/(hoekensom)driehoek, buitenhoek driehoek, congruentie: HZH, ZHH, ZHZ,
ZZZ, ZZR; gelijkvormigheid: hh, zhz, zzz, zzr; middelloodlijnen driehoek,
bissectrices driehoek, hoogtelijn driehoek, hoogtelijnen driehoek,
zwaartelijn driehoek, zwaartelijnen driehoek, gelijkbenige driehoek,
gelijkzijdige driehoek, rechthoekige driehoek, Pythagoras, gelijkbenige
rechthoekige driehoek, halve gelijkzijdige driehoek.
(Vierhoeken:)/(hoekensom)vierhoek, parallellogram, ruit, rechthoek, vierkant.
Cirkel, koorden, bogen, hoeken, raaklijn, vierhoeken:
koorde, boog en koorde, loodlijn op koorde, middellijn, Thales,
middelpuntshoek, omtrekshoek, constante hoek, raaklijn, hoek tussen
koorde en raaklijn, koordenvierhoek.
Goniometrie
sin(t + u) = sint cosu + cost sinu sint + sinu = 2sin(t + u)/(2) cos (t − u)/(2)
sin(t − u) = sint cosu − costsinu sint − sinu = 2sin(t − u)/(2) cos (t + u)/(2)
cos(t + u) = cost cosu − sintsinu cost + cosu = 2cos(t + u)/(2) cos (t − u)/(2)
cos(t − u) = cost cosu + sintsinu cost − cosu = − 2sin(t + u)/(2) sin (t − u)/(2)

opgave 2De vergelijking van Antoine

Als een vloeistof een gesloten ruimte niet geheel opvult, dan verdampt
een deel van de vloeistof. De damp oefent druk uit op de wanden van de
gesloten ruimte: de dampdruk. De grootte van de dampdruk hangt af van
de soort vloeistof en van de temperatuur in de gesloten ruimte. Voor het
verband tussen de dampdruk en de temperatuur geldt de volgende
formule:
log P = k − (m)/(T − n) (met T > n)
Hierin is P de dampdruk in bar en T de temperatuur in kelvin en zijn k, m
en n constanten die afhangen van de soort vloeistof.
Voor aceton, een zeer vluchtige vloeistof, geldt (bij benadering) k = 4,146,
m = 1144 en n = 53,15, dus log P = 4,146 − (1144)/(T − 53,15) (met T > 53,15).
Het kookpunt van een vloeistof is de temperatuur waarbij de dampdruk
precies 1 bar bedraagt.
14p
Bereken op algebraïsche wijze het kookpunt van aceton. Rond je
antwoord af op een geheel aantal kelvin.
In de figuur hieronder is voor aceton de grafiek getekend van de
dampdruk P als functie van de temperatuur T voor temperaturen tussen
250 en 300 kelvin.
figuur
0,35 P (bar) 0,30 0,25 0,20 0,15 0,10 0,05 250 260 270 280 290 300 T (kelvin)
Uit de figuur krijgen we de indruk dat de functie P stijgend is.
23p
Beredeneer aan de hand van de formule zonder te differentiëren dat de
functie inderdaad stijgend is.
Hoe de dampdruk bij een bepaalde temperatuur reageert op een
verandering van die temperatuur, wordt weergegeven door de afgeleide
waarde (dP)/(dT) (in bar/kelvin).
33p
Bereken voor aceton de waarde van (dP)/(dT) bij een kamertemperatuur van
293 kelvin. Rond je antwoord af op drie decimalen.
Voor andere stoffen dan aceton gelden soortgelijke formules; alleen de
waarden van k, m en n zijn anders. De vorm van de formule is universeel
en staat sinds 1888 bekend als de vergelijking van Antoine. In de tijd
dat Antoine de vergelijking opstelde, gebruikte men voor de dampdruk
nog de eenheid mmHg (millimeter kwik) in plaats van bar. Voor de
temperatuur gebruikte men de eenheid °C (graden Celsius) in plaats van
kelvin.
Voor het verband tussen de dampdruk p in mmHg en de dampdruk P in
bar geldt: P = (p)/(750)
Voor het verband tussen de temperatuur t in °C en de temperatuur T in
kelvin geldt: T = t + 273,15
De eerder genoemde formule voor de dampdruk van aceton kan men
herschrijven tot een formule van de vorm:
log p = a − (1144)/(t + b)
Hierin is p de dampdruk in mmHg, is t de temperatuur in °C en zijn a en b
constanten.
44p
Bereken a en b. Rond de waarde van a af op twee decimalen en rond de
waarde van b af op een geheel getal.

opgave 3Vierkanten

In figuur 1 zie je in een assenstelsel een vierkant ABCD met zijde 1.
Hoekpunt A ligt op de positieve x-as en hoekpunt D op de positieve y-as.
Vierkant EFGH heeft ook zijde 1. Dit vierkant ligt naast ABCD zo dat zijde
EF op de x-as ligt en hoekpunt B van vierkant ABCD op zijde EH ligt.
Om vierkant ABCD is een derde vierkant OETS getekend met horizontale
en verticale zijden.
Voor de hoek α (in rad) die zijde AB met de x-as maakt, geldt: 0 < α < (1)/(2)π
In figuur 1 is aangegeven welke hoeken gelijk zijn aan α.
figuur 1
y C S T H G D 1 1 B 1 α 1 O A E F x
De coördinaten van C en G hangen als volgt van α af:
C(cosα, sinα + cosα) en G(sinα + cosα + 1, 1).
54p
Bereken exact de oppervlakte van vierkant OETS voor α = (1)/(6)π. Schrijf je
antwoord zonder haakjes.
De lijn door G en C snijdt de y-as in P. De loodrechte projectie van G op
de y-as noemen we Q en de loodrechte projectie van C op de lijn GQ
noemen we R. Zie figuur 2.
figuur 2
y P C S T H G Q D R 1 1 B 1 α 1 O A E F x
De driehoeken GCR en GPQ zijn gelijkvormig. Hieruit volgt:
PQ = (sinα + cosα − 1)(sinα + cosα + 1)
sinα + 1
65p
Toon uitgaande van de gelijkvormigheid van de driehoeken GCR en GPQ
aan dat deze formule juist is.
De lengte van PQ kan ook geschreven worden als PQ = (sin(2α))/(sinα + 1).
74p
Toon dit op algebraïsche wijze aan.
De hoogte van punt C is maximaal als α = (1)/(4)π. Maar de hoogte van punt P
is maximaal voor een andere waarde van α tussen 0 en (1)/(2)π.
86p
Bereken met behulp van differentiëren bij welke waarde van α de hoogte
van punt P maximaal is. Geef je antwoord in twee decimalen nauwkeurig.

opgave 4Vanuit een stomphoekige driehoek

Gegeven is driehoek ABC met BAC = 120°. De cirkel c is de
omgeschreven cirkel van driehoek ABC. De bissectrice van hoek A snijdt
de cirkel c in punt D. Zie figuur 1. Deze figuur staat ook op de
uitwerkbijlage.
figuur 1
C D c 60 60 A B
Er geldt: driehoek BCD is gelijkzijdig.
94p
Bewijs dit.
In de situatie van figuur 1 geldt: AD = AB + AC
Om dit te bewijzen verlengen we BA en leggen we E op dit verlengde zo
dat EA = AC. Er ontstaat een gelijkzijdige driehoek ACE. In figuur 2 is
deze driehoek getekend. Deze figuur staat ook op de uitwerkbijlage.
Het bewijs gaat verder met de volgende stappen:
− Maak gebruik van de in vraag 9 bewezen gelijkzijdigheid van driehoek
BCD.
− Toon aan dat de driehoeken CEB en CAD congruent zijn.
figuur 2
D C 60 60
105p
Bewijs dat AD = AB + AC, gebruikmakend van bovenstaande stappen.

opgave 5Een eivorm

De functie f is gegeven door f(x) = (1)/(6)√(87x − 3x2 − 2x3). In figuur 1 is de
grafiek van f getekend en ook het spiegelbeeld hiervan in de x-as. De
twee grafieken vormen samen een figuur die lijkt op een doorsnede van
een ei.
figuur 1
y 2 1 x 1 2 3 4 5 6 -1 -2 lengte
breedte
Op de x-as en de y-as is de eenheid 1 cm. In figuur 1 is aangegeven wat
bedoeld wordt met de lengte en de breedte van het ei.
De lengte van het ei is ongeveer 5,9 cm.
114p
Bereken op algebraïsche wijze de lengte van het ei in cm. Rond je
antwoord af op twee decimalen.
124p
Bereken met behulp van primitiveren de inhoud van het ei. Geef je
antwoord in een geheel aantal cm3.
Een eierrekje bevat een aantal even grote ronde openingen. Zie de foto.
foto
foto
Wanneer we het ei van figuur 1 in een opening van het eierrekje plaatsen
met de brede kant onder, steekt het 4,3 cm boven het rekje uit. Zie
figuur 2 links.
figuur 2
4,3 cm
?
We kunnen het ei van figuur 1 ook met de smalle kant onder in een
opening van het rekje plaatsen. Zie figuur 2 rechts.
134p
Bereken hoeveel cm het ei dan boven het rekje uitsteekt. Rond je
antwoord af op één decimaal.

opgave 6Driehoek bij een vierdegraadsfunctie

Voor elke positieve waarde van p is de functie fp gegeven door
fp(x) = 2x2 − px4.
De grafiek van fp heeft de y-as als symmetrieas. Verder heeft deze
grafiek drie toppen: het punt O(0, 0) en de punten A en B. Zie de figuur.
Deze drie punten zijn de hoekpunten van driehoek OAB, waarbij de
coördinaten van de punten A en B afhankelijk zijn van de waarde van p.
Driehoek OAB is in de figuur grijs gemaakt.
figuur
y B A f O x
Er is één waarde van p waarbij de lengte van lijnstuk OA gelijk is aan de
lengte van lijnstuk AB.
148p
Bereken exact deze waarde van p.

opgave 7Nulpunten, extremen en buigpunten

De functie f is gegeven door f(x) = (x2 + 1) ⋅ ex.
Voor de afgeleide geldt: f'(x) = (x + 1)2 ⋅ ex
153p
Toon dit op algebraïsche wijze aan.
De functie f heeft geen nulpunten en ook geen extremen.
164p
Toon dit op algebraïsche wijze aan.
De grafiek van f heeft wel twee buigpunten.
174p
Bereken exact de x-coördinaten van deze buigpunten.

opgave 8Brandpunt gezocht

Gegeven zijn een lijn k en twee punten M en N die aan dezelfde kant van
k liggen. Zie figuur 1.
figuur 1
N
M
k
We zoeken het brandpunt van een parabool die door M en N gaat en
waarvan k de richtlijn is.
Een geschikte werkwijze is:
− Teken de loodrechte projecties R en S van achtereenvolgens M en N
op k.
− Teken de cirkel met middelpunt M en straal MR en de cirkel met
middelpunt N en straal NS.
We nemen aan dat MN < MR + NS. Dan hebben de cirkels twee
snijpunten F en G. Zowel F als G is brandpunt van een parabool door M
en N met richtlijn k.
Zie figuur 2. In deze figuur zijn ook de bijbehorende parabolen getekend.
figuur 2
F N M G R S k
183p
Bewijs dat de punten M en N inderdaad liggen op de parabool met
brandpunt F en richtlijn k.
Het punt M ligt op een afstand van 2 cm van k. Zie figuur 3.
figuur 3
M 2 cm k
Rechts van M ligt een punt N waarvoor geldt:
− de afstand van N tot de lijn k is 4 cm, en
− er is precies één parabool die door M en N gaat en waarvan k de
richtlijn is.
193puitwerkbijlage
Teken in de figuur op de uitwerkbijlage de positie van N. Licht je antwoord
toe.