naslagFormules
Goniometrie
sin(2t) = 2sin(t)cos(t)
cos(2t) = cos2(t) − sin2(t) = 2cos2(t) − 1 = 1 − 2sin2(t)
opgave 2Inverse van ln( x )
De functies fp en gp zijn gegeven door fp(x) = pln(x) en 
,
,voor p ≠ 0.
De functies fp en gp zijn elkaars inverse.
figuur 1
25p
Bepaalde integralen en oppervlakte 3p · Vergelijkingen en snijpunten met de GR oplossen 2pGR mag
Bewijs dit.
Neem p = −1. V is het gebied dat wordt
ingesloten door de grafieken van f−1 en
g−1, de x-as en de y-as. Zie figuur 1.
Bereken de oppervlakte van V. Geef je
eindantwoord in twee decimalen.
figuur 2
34p
Raaklijnen aan grafieken 2p · Afgeleide van e-macht, logaritme en goniometrische functies 1p · Exponentiële en logaritmische vergelijkingen exact oplossen 1pexact
Er bestaat een waarde van p waarbij de
lijn y = x de gemeenschappelijke raaklijn
is van de grafieken van fp en gp.
Deze situatie is in figuur 2 weergegeven.
Bereken exact de waarde van p waarvoor
de lijn y = x de gemeenschappelijke
raaklijn is van de grafieken van
fp en gp.
opgave 3Letter op het computerbeeldscherm
De rand van een letter op een computerbeeldscherm is een aaneenschakeling van meerdere krommen. Zo is de rand van de (uitvergrote) letter ‘a’ in figuur 1 gemaakt met behulp van zestien krommen, die je in figuur 2 ziet. figuur 1 figuur 2 Elk van de zestien krommen kan met een formule worden beschreven. Computers hebben die formules nodig om de letters op het scherm te kunnen tekenen. Als voorbeeld bekijken we de kromme K tussen A en B , die in figuur 2 dikker is getekend. We gaan ervan uit dat er vier gegevens bekend zijn: − de coördinaten van A ; − de coördinaten van B ; − de richting van de raaklijn in A aan de kromme; − de richting van de raaklijn in B aan de kromme. Zie figuur 3. De vraag is nu hoe je uit deze vier gegevens een formule voor de kromme K maakt. In figuur 4 zie je de punten A en B en de twee raaklijnen, geplaatst in een assenstelsel. Gegeven is dat A de coördinaten ( 15 1 , 4/3 ) heeft, B de coördinaten ( 1, 19/10 ) , dat de raaklijn in B horizontaal is en dat de richtingscoëfficiënt van de raaklijn in A gelijk is aan 4. Het punt C is het snijpunt van de twee raaklijnen en speelt een belangrijke rol bij de constructie van de kromme K .
Lijnen: vergelijking, snijpunt en loodlijn 2p · Stelsels van lineaire vergelijkingen 1pexact
Om de kromme K te kunnen construeren, worden er, behalve de drie vaste punten A , B en C , drie bewegende punten P , Q en R gebruikt. Deze bewegen als volgt: − Punt P beweegt voor 0 ≤ t ≤ 1 met een constante snelheid over lijnstuk uuur uuur AC van A naar C . Er geldt: OP = OA + t ⋅ AC − Punt Q beweegt voor 0 ≤ t ≤ 1 met een constante snelheid over lijnstuk uuur uuur CB van C naar B . Er geldt: OQ = OC + t ⋅ CB − Terwijl punten P en Q bewegen, schuift uuur punt uuur R op uuur het bewegende lijnstuk PQ van P naar Q . Er geldt: OR = OP + t ⋅ PQ Het punt R doorloopt van t = 0 tot t = 1 een kromme van A naar B . Deze kromme wordt de Bézierkromme (van A , B en C ) genoemd, en dat is kromme K uit figuur 2. Figuur 4 is op de uitwerkbijlage uitvergroot weergegeven.
Tekenen en construeren in een figuur 3pGR mag
Vectoren en inproduct 3p · Formules herleiden en omwerken 2pexact
Bewijs dit. In de rest van deze opgave kijken we naar een ander voorbeeld. Het gaat niet meer om de letter ‘a’. De coördinaten van A , B en C zijn nu als volgt: A (0, 4) , B (2, 2) en C (3, 0) . Ook nu is C het snijpunt van de raaklijnen in A en B. uuur De Bézierkromme van A , B en C is, volgens de formule voor OR , te beschrijven met behulp van vectoren. Het is echter ook mogelijk deze Bézierkromme met bewegingsvergelijkingen te beschrijven. figuur 5 We bekijken het punt L met de volgende bewegingsvergelijkingen: / x ( t ) = − 4 t 2 + 6 t met 0 ≤ t ≤ 1 y ( t ) = 6 t 2 − 8 t + 4 De baan van L is weergegeven in figuur 5. Er geldt: de baan van L is de Bézierkromme die hoort bij de punten A , B en C .
Vectoren en inproduct 2p · Formules herleiden en omwerken 1pexact
opgave 4Gebroken sinusfunctie
De functie f is voor −π < x < π gegeven door:
De functie g is gegeven door g(x) = sin(x).
In de figuur zijn de grafieken van f en g weergegeven.
figuur
88p
Goniometrische vergelijkingen exact oplossen 4p · Product- en quotiëntregel 2p · Afgeleide van e-macht, logaritme en goniometrische functies 1p · +1exact
Bewijs dat de grafieken van f en g elkaar in twee punten raken.
opgave 5Raaklijn verschuiven
De functie f is gegeven door
figuur
met x ≥ 0.In de figuur is de grafiek van f met haar
raaklijn k in de oorsprong weergegeven.
De grafiek van f heeft de
punten (0,0) en (1,0) gemeenschappelijk
met de x-as.
94p
Vergelijkingen met machten, wortels en breuken exact oplossen 3p · Lineaire en kwadratische vergelijkingen exact oplossen 1pexact
Bewijs dat er geen andere gemeenschappelijke punten van de grafiek
van f met de x-as zijn.
104p
Bepaalde integralen en oppervlakte 2p · Primitiveren 2pexact
Bereken exact de oppervlakte van het vlakdeel ingesloten door de grafiek
van f en de x-as.
Er is een waarde van a, met a ≠ 0, waarbij een verschuiving van de
raaklijn k over de vector 
weer een raaklijn aan de grafiek van f geeft.
weer een raaklijn aan de grafiek van f geeft.117p
Raaklijnen aan grafieken 4p · Vergelijkingen met machten, wortels en breuken exact oplossen 2p · De afgeleide bepalen (machts-, som- en verschilregel) 1pexact
Bereken exact deze waarde van a.
opgave 6Vulkaan
Een vulkaan kan op verschillende manieren
tot uitbarsting komen. Bij een zogenoemde
plinische uitbarsting wordt de druk binnen
de vulkaan steeds groter totdat de vulkaan
met groot geweld tot uitbarsting komt. Bij de
uitbarsting worden brokken gesmolten
steen weggeslingerd die lavabommen
worden genoemd.
In een model van de baan van een lavabom wordt ervan uitgegaan dat op
het moment van de uitbarsting alle lavabommen een snelheid hebben van
210 meter per seconde. Een tweede uitgangspunt is dat elke lavabom een
parabolische baan beschrijft. De hoogte van de vulkaan ten opzichte van
de grond is 2000 meter.
In figuur 1 zie je de banen van een aantal lavabommen die in het vlak door
de x-as en de y-as bewegen.
figuur 1
De bewegingsvergelijkingen van een lavabom hangen af van de richting
waarin de lavabom tijdens de uitbarsting wordt weggeslingerd. In het
model worden de volgende bewegingsvergelijkingen als uitgangspunt
genomen:
(1)
Hierbij is α de hoek die de baan van de lavabom op het moment van
wegslingeren maakt met een horizontale lijn, waarbij 0 < α < π.
Verder is t de tijd in seconden (waarbij t = 0 het moment van wegslingeren
is) en zijn x(t) en y(t) in meters.
Uitgaande van stelsel 1 kan de y-coördinaat van de baan worden
uitgedrukt in x en α. Er geldt (voor 
):
):
(2)
123p
exact
Bewijs dit.
Een lavabom wordt onder een hoek α = 1 (radiaal) weggeslingerd. Deze
lavabom komt op een bepaalde afstand van de vulkaan op de grond.
Voor dit punt geldt y = 0.
133p
Vergelijkingen en snijpunten met de GR oplossen 2p · Formules en vergelijkingen opstellen 1pGR mag
Bereken deze afstand. Geef je eindantwoord in honderden meters
nauwkeurig.
Formule 2 kan worden herleid tot:
In figuur 2 is bij de parabolische banen van een aantal lavabommen een
gestippelde kromme getekend. Deze kromme stelt de uiterste grens voor
van het gebied dat door deze lavabommen kan worden bereikt.
figuur 2
De formule van de gestippelde kromme is:
Alle banen van de lavabommen hebben precies één punt gemeen-
schappelijk met de gestippelde kromme en raken dus aan deze kromme.
144p
Lineaire en kwadratische vergelijkingen exact oplossen 2pexact
Bewijs dat alle banen van de lavabommen raken aan de gestippelde
kromme.
opgave 7Scheve asymptoot
De functie f is gegeven door 
.
.De grafiek van f heeft een verticale asymptoot met vergelijking x = 0 en
een scheve asymptoot.
In onderstaande figuur is voor x > 0 de grafiek van f weergegeven.
De scheve asymptoot is gestippeld weergegeven.
figuur
Op de grafiek van f ligt een willekeurig punt 
.
.De raaklijn aan de grafiek van f in P snijdt de verticale asymptoot in
punt Q en de scheve asymptoot in punt R. Zie de figuur.
158p
Raaklijnen aan grafieken 3p · Stelsels van lineaire vergelijkingen 2p · Eigenschappen van functies en grafieken 1p · +2exact
Bewijs dat P het midden is van lijnstuk QR.
opgave 8Vlieger
Gegeven zijn voor a > 0 de punten A(0,a),
figuur 1
B(1,0), C(0, − 1) en D(−1,0).
Vierhoek ABCD is een vlieger.
In figuur 1 is de vlieger getekend voor a = 2.
De middelloodlijn van een lijnstuk gaat door het midden
van dat lijnstuk en staat loodrecht op dat lijnstuk.
Voor a = 2 gaat de middelloodlijn van lijnstuk AB niet
door D.
165p
Lijnen: vergelijking, snijpunt en loodlijn 4p · Lineaire en kwadratische vergelijkingen exact oplossen 1pexact
Bereken exact voor welke waarde van a de
middelloodlijn van lijnstuk AB wél door D gaat.
figuur 2
figuur 3
In de hoekpunten van de
vlieger bevinden zich
puntmassa’s:
− in punt A met gewicht 2;
− in zowel B als D met gewicht 1;
− in punt C met gewicht a.
In figuur 2 zijn de vlieger, de
puntmassa’s en het zwaartepunt Z
van de puntmassa’s getekend voor
het geval a = 1.
In figuur 3 zijn de vlieger, de puntmassa’s en het zwaartepunt Z getekend
voor het geval a = 2.
Wanneer a groter wordt, verschuift het punt A(0,a) over de y-as omhoog
en neemt het gewicht in C toe. Ook het zwaartepunt Z van de vier
puntmassa’s verandert dan van plaats. Wanneer a onbegrensd toeneemt,
nadert het zwaartepunt Z tot een vast punt P.
174p
Formules herleiden en omwerken 1p · Eigenschappen van functies en grafieken 1pexact
Bewijs dat de y-coördinaat van dat punt P gelijk is aan 1.
vraag 5
13p
25p
34p
43p
53p
65p
73p
88p
94p
104p
117p
123p
133p
144p
158p
165p
174p
