bij dit examen
OVERZICHT FORMULES Kansrekening toevalsvariabelen X en Y geldt: E ( X + Y ) = E ( X ) + E ( Y ) -wet: bij een serie van n onafhankelijk van elkaar herhaalde experimenten voor de som S en het gemiddelde X van de uitkomsten X : = n ⋅ E ( X ) σ( S ) = n ⋅ σ( X ) ) = E ( X ) Binomiale Voor de binomiaal verdeling verdeelde toevalsvariabele X , waarbij n het aantal experimenten is en p de kans op succes per keer, geldt: ( n ) k n − k P( X = k ) = ⋅ p ⋅ (1 − p ) met k = 0, 1, 2, 3, …, n Verwachting: E ( X ) = n ⋅ p Voor Normale een verdeling toevalsvariabele X die normaal verdeeld is met gemiddelde μ en Z = is standaard-normaal verdeeld en P( X < g ) = P( Z < regel voorwaarde g log a + g log b = g log ab g >0, g ≠ 1, a >0, b >0 g g g a log a − log b = log b g >0, g ≠ 1, a >0, b >0 g log a p = p ⋅ g log a g >0, g ≠ 1, a >0 p log a g log a = g >0, g ≠ 1, a >0, p >0, p ≠ 1 log a = p log g g >0, g ≠ 1, a >0, p >0, p ≠ 1 Logaritmen
opgave 1I Tjing
De I Tjing is een duizenden jaren oud Chinees orakelboek. Het is gebaseerd op
de gedachte dat alles altijd in verandering is en dat niets hetzelfde blijft. I Tjing
betekent letterlijk ‘Boek der Veranderingen’ en het is een van de oudste boeken
van China.
De I Tjing bestaat uit een aantal hoofdstukken. Elk hoofdstuk beschrijft de
betekenis van precies één hexagram. Een hexagram vertelt iets over de
veranderingen in je omgeving en in jezelf.
Elk hexagram bestaat uit 6 horizontale ‘lijnen’. Elke lijn is een doorgetrokken of
een in het midden onderbroken lijnstuk. Een voorbeeld van zo’n hexagram zie je
in de figuur.
figuur
het hexagram ‘Jeugddwaasheid’
De I Tjing beschrijft alle mogelijke hexagrammen.
13pBereken uit hoeveel hoofdstukken de I Tjing bestaat.
Om het orakelboek te raadplegen, moet je 6 keer gooien met 3 zuivere
geldstukken. Dit geeft dan een zogenoemd voorlopig hexagram. Vervolgens
vindt er nog een verandering plaats zodat het definitieve hexagram ontstaat.
Deze verandering beschrijven we in deze opgave niet.
Met één geldstuk kun je kop (= Yang) of munt (= Yin) gooien. Wanneer je met
drie geldstukken gooit, zijn er vier uitkomsten mogelijk, elk met een eigen lijn.
en 1 keer Yang.
en 1 keer Yin.
− een beweeglijke mannelijke lijn
Yang.
Yin.
De zes lijnen geven een voorlopig hexagram.
De kans op een beweeglijke lijn is 0,25.
24pToon aan dat deze kans inderdaad gelijk is aan 0,25 en bereken de
verwachtingswaarde van het aantal beweeglijke lijnen in een voorlopig
hexagram.
Als er in een voorlopig hexagram één of meer beweeglijke lijnen voorkomen, wil
dit zeggen dat dit hexagram een mate van instabiliteit vertoont.
Als er geen beweeglijke lijnen in het voorlopige hexagram voorkomen, is dit
hexagram meteen stabiel en definitief.
34pBereken de kans dat een voorlopig hexagram niet meteen stabiel is.
Als er in een voorlopig hexagram drie of meer beweeglijke lijnen voorkomen,
dan is dat volgens de I Tjing een aanwijzing dat de situatie ingewikkeld is.
44pBereken de kans dat er in een voorlopig hexagram drie of meer beweeglijke
lijnen voorkomen.
opgave 2Wild
Wilde zwijnen komen in Nederland onder andere op de Veluwe voor. Over het
gewenste aantal wilde zwijnen op de Veluwe bestaat al geruime tijd verschil van
mening. Als er veel wilde zwijnen zijn, veroorzaken zij overlast en schade aan
gewassen. Als er weinig wilde zwijnen zijn, komt het voortbestaan van deze
diersoort in gevaar.
Volgens de Faunabeheereenheid Veluwe is er op de Veluwe plaats en voedsel
voor 835 wilde zwijnen. Dit streefgetal is door de minister van Landbouw
overgenomen. Jagers krijgen daarom jaarlijks toestemming om een bepaald
aantal wilde zwijnen af te schieten.
In 2008 was dit aantal af te schieten wilde zwijnen 1915.
53pBereken hoeveel procent wilde zwijnen er toen te veel waren.
Tot de niet-natuurlijke vijanden van het wilde zwijn behoren naast jagers ook
auto’s.
In de tabel zie je het aantal aangereden wilde zwijnen op de Veluwe in de
periode 2005-2007. Dit aantal groeit bij benadering exponentieel.
tabel
Indien we veronderstellen dat de groei zich na 2007 op deze wijze blijft
voortzetten, kunnen we een formule opstellen die het aantal aangereden wilde
zwijnen Z uitdrukt in de tijd t met t in jaren en t = 0 in 2005.
65pStel deze formule op en bereken met deze formule in welk jaar er voor het eerst
meer dan 1700 wilde zwijnen aangereden worden.
Dieren overleven een aanrijding meestal niet; automobilisten komen er vaak van
af met alleen materiële schade. Deze materiële schade varieert van geval tot
geval en is afhankelijk van een aantal factoren, waarvan het gewicht van het
dier de voornaamste is.
Op grond hiervan heeft een econoom de volgende formule opgesteld:
Hierbij is G het gewicht van het dier in kg en S de materiële schade in euro’s.
Volwassen mannelijke wilde zwijnen zijn veel zwaarder dan volwassen
vrouwtjes. Ga voor de volgende vraag ervan uit dat een volwassen mannelijk
wild zwijn 100 kg weegt en dat een volwassen vrouwtje 70 kg weegt. Neem aan
dat er twee maal zoveel mannetjes als vrouwtjes worden aangereden.
74pBereken de gemiddelde materiële schade van een aanrijding van een volwassen
wild zwijn. Rond je antwoord af op tientallen euro’s.
De formule
kan worden herschreven tot een formule van de vorm
S = a + b ⋅ G2.
83pBereken a en b in twee decimalen nauwkeurig.
opgave 3Waardepunten
De verpakkingen van Douwe Egberts koffie zijn voorzien van (waarde)punten
die je kunt sparen. Met deze punten kun je bepaalde producten kopen. Op de
website van Douwe Egberts (DE) stond tot 2009 het volgende:
− per artikel zijn je eerste 100 punten € 1,50 waard; je moet dan wel betalen
met minimaal 100 punten;
− daarna zijn per artikel iedere 100 punten € 0,50 waard;
− betalen met iedere combinatie van punten en geld mag altijd.
foto
Voorbeeld
Kop en schotel van hiernaast kosten samen € 5,-.
Je kunt deze kop en schotel dan kopen voor € 5,- of
gratis meenemen voor 800 punten. Ook kun je
400 punten inleveren en nog € 2,- bijbetalen.
Bij DE kost een gebaksbordje € 9,30 en een taartplateau € 46,50.
Marieke wil graag 6 gebaksbordjes en een taartplateau kopen. Ze heeft
12 000 waardepunten en wil zo min mogelijk bijbetalen.
94pBereken hoeveel euro’s Marieke moet bijbetalen.
Op de website staat ook een puntencalculator. Deze calculator geeft per artikel
aan hoeveel euro’s je punten waard zijn. Je moet dan wel minstens 100 punten
hebben.
Je tikt het aantal punten in en op het scherm verschijnt de bijbehorende waarde
in euro’s voor één artikel. De calculator maakt gebruik van de volgende lineaire
formule:
W = 1 + 0,005 p
In deze formule is p het aantal punten (met p ≥ 100) en W de waarde in euro’s.
104pLeid deze formule af uit bovenstaande voorwaarden.
Er zijn ook andere spaarsystemen te bedenken, bijvoorbeeld een systeem
waarbij klanten die veel punten sparen daarvoor iets meer beloond worden. Zo
bedenkt Alwin, een wiskunde C-leerling uit 6V, een ander systeem. Zie de tabel.
tabel
Je kunt in de tabel zien dat er geen lineair verband is tussen het aantal punten
en de waarde in euro’s.
Verder gelden ook bij het systeem van Alwin vergelijkbare voorwaarden als bij
het officiële DE-systeem:
− per artikel zijn je eerste 100 punten € 1,50 waard; je moet dan wel betalen
met minimaal 100 punten;
− betalen met iedere combinatie van punten en geld mag altijd.
In het systeem van Alwin is er sprake van een (bij benadering) exponentieel
verband.
114pLaat voor alle waarden in de tabel zien dat er inderdaad (bij benadering) sprake
is van een exponentieel verband en bereken de groeifactor per 1000 punten in
drie decimalen nauwkeurig.
Ook bij spaarsystemen waarin sprake is van een exponentieel verband kunnen
we een puntencalculator maken, bijvoorbeeld een calculator waar de volgende
formule bij hoort:
W = 1,5 ⋅1,00035626p−100
Ook in deze formule is p het aantal punten (met p ≥ 100) en W de waarde in
euro’s.
Zo’n exponentieel systeem zou voor DE erg duur kunnen worden. Om dit te
voorkomen, bedenkt Alwin dat men de bovenstaande exponentiële formule
alleen toe moet passen tot het aantal punten waarbij de waarde twee keer zo
groot is als bij de lineaire formule uit het begin van deze opgave. Alwin stelt
verder voor om vanaf dat puntenaantal weer voor iedere 100 punten € 0,50 te
geven. Dus vanaf dat puntenaantal moet er weer een lineaire formule gebruikt
worden. Je kunt berekenen dat tot en met 12 578 punten de exponentiële
formule gebruikt moet worden en voor grotere puntenaantallen een lineaire
formule.
Nog los van het feit dat Alwins voorstel behoorlijk ingewikkeld is, heeft dit
voorstel ook rare gevolgen.
Stel je namelijk eens voor dat iemand twee keer zoveel punten gespaard heeft
als de genoemde 12 578 punten.
Die persoon kan dan besluiten die 25 156 punten in één keer te gebruiken. Hij
kan echter ook besluiten zijn punten in twee even grote delen op te delen en die
twee delen stuk voor stuk te gebruiken. Het verschil in waarde tussen beide
opties is fors.
124pWelk van beide opties levert de spaarder het meeste op? Licht je antwoord toe.
opgave 4Selectief cijferen
In januari 2008 verscheen er in de NRC een artikel over de becijfering van een
tentamen Recht. In figuur 1 zie je de verdeling van de cijfers voor dat tentamen.
figuur 1
Uit de gegevens in figuur 1 volgt dat het gemiddelde van de tentamencijfers 5,4
was en de standaardafwijking 1,9.
134pBereken het gemiddelde en de standaardafwijking in twee decimalen
nauwkeurig.
De schrijvers van het artikel waren erg kritisch. Zij waren van mening dat er
opvallend weinig cijfers 5 waren uitgedeeld en beargumenteerden dit op de
volgende manier.
Bij dergelijke toetsen verwacht men meestal dat de cijfers bij benadering
normaal verdeeld zijn. Hier was dit echter duidelijk niet het geval.
Wanneer de tentamencijfers wél normaal verdeeld zouden zijn met gemiddelde
5,4 en standaardafwijking 1,9, dan zouden veel meer dan 48 studenten het
cijfer 5 gekregen hebben.
144pBereken met behulp van die normale verdeling hoeveel studenten in dat geval
het cijfer 5 gekregen zouden hebben.
In het artikel werd een mogelijke verklaring voor de vreemde verdeling van de
cijfers gegeven. Er zouden bewust zeer weinig cijfers 5 zijn uitgedeeld omdat
studenten die het cijfer 5 krijgen, extra begeleid moeten worden.
De schrijvers vermoedden dat de correctoren aan 10 studenten een 6 hebben
gegeven in plaats van een 5 en aan 80 studenten een 4 in plaats van een 5.
Volgens deze verklaring zou er dus met de cijfers gemanipuleerd zijn.
Bij de volgende vraag gaan we ervan uit dat deze verklaring juist is. Dan kunnen
we onderzoeken of de cijfers voordat ze veranderd werden bij benadering
normaal verdeeld waren.
156puitwerkbijlageOnderzoek dit met behulp van het normaal waarschijnlijkheidspapier op de
uitwerkbijlage.
In het artikel werd ook nog een tweede verklaring genoemd voor de vreemde
verdeling van de cijfers. De groep studenten die dit tentamen had gemaakt, zou
niet homogeen zijn maar bestaan uit twee homogene en ongeveer even grote
subgroepen, namelijk de werkers en de niet-werkers. Daar gaan we in de rest
van deze opgave naar kijken.
Neem aan dat de cijfers van de werkers normaal verdeeld waren met
gemiddelde 6,7 en standaardafwijking 1,5 en de cijfers van de niet-werkers
normaal verdeeld waren met gemiddelde 3,4 en standaardafwijking 1,2.
In figuur 2 zie je vier grafieken getekend die horen bij vier verschillende normale
verdelingen. Grafiek A hoort bij de cijfers van de werkers.
figuur 2
Eén van de overige drie grafieken B, C en D hoort bij de niet-werkers. Dat is
grafiek D.
163pLeg uit waarom grafieken B en C niet kunnen horen bij de cijfers van de
niet-werkers.
