Eindexamen wiskunde C vwo 2015 tijdvak 1

bij dit examen

OVERZICHT FORMULES Kansrekening Voor toevalsvariabelen X en Y geldt: E ( X + Y ) = E ( X ) + E ( Y ) Voor onafhankelijke toevalsvariabelen X en Y geldt: σ ( X + Y ) = σ 2 ( X ) + σ 2 ( Y ) n -wet: bij een serie van n onafhankelijk van elkaar herhaalde S en het gemiddelde X van de X ) Binomiale Voor de binomiaal verdeling verdeelde toevalsvariabele X , waarbij n het aantal experimenten is en p de kans op succes per keer, geldt: n k n − k P( X = k ) = ⋅ p ⋅ (1 − p ) met k = 0, 1, 2, 3, …, n Verwachting: E ( X ) = n ⋅ p Normale Voor een verdeling toevalsvariabele X die normaal verdeeld is met gemiddelde μ en Z = is standaard-normaal verdeeld en P( X < g ) = P( Z < Logaritmen regel voorwaarde g log a + g log b = g log ab g >0, g ≠ 1, a >0, b >0 g g g a log a − log b = log g >0, g ≠ 1, a >0, b >0 log a − log b = log b g log a p = p ⋅ g log a g >0, g ≠ 1, a >0 p log a g log a = g >0, g ≠ 1, a >0, p >0, p ≠ 1 log a = p log g

opgave 1Succesvogels en pechvogels

In 2010 heeft Chris van Turnhout onderzoek gedaan naar de ontwikkeling

van de aantallen broedvogels in Nederland gedurende de periode

1990 − 2005. Hij onderzocht welke eigenschappen bepalen of een

vogelsoort in aantal toeneemt (‘succesvogels’) of afneemt (‘pechvogels’).

figuur 1

120 percentage t.o.v. 1990 100 80 60 40 20 0 1990 1995 2000 2005 jaar

Figuur 1 gaat over een ‘pechvogel’: de grutto. Langs de verticale as staan

de aantallen als percentage van het aantal grutto’s dat er in 1990 was.

Figuur 1 staat ook vergroot op de uitwerkbijlage.

In 2004 waren er 60 000 grutto’s. Met behulp van dit gegeven en

gegevens uit figuur 1 kun je nu het aantal grutto’s in 1994 berekenen.

13p

Bereken het aantal grutto’s in 1994.

In de periode 1990 − 2005 nam het aantal kuifleeuweriken dramatisch af,

zoals in figuur 2 goed te zien is.

figuur 2

In 2005 was er nog slechts 5% over van het aantal in 1990. Ga ervan uit

dat het aantal exponentieel afnam in deze periode.

24p

Bereken de groeifactor per jaar voor de kuifleeuwerik. Ga uit van de

gegevens van 1990 en 2005.

Uit het onderzoek is gebleken dat de plaats van het nest belangrijk is voor

de mate van succes van een vogelsoort. Een soort A die zijn nest in

struiken maakt, groeit exponentieel met groeifactor 1,042 per jaar. En een

soort B die in bomen nestelt, groeit exponentieel met groeifactor

1,016 per jaar.

Neem aan dat de aantallen van deze twee broedvogelsoorten op een

bepaald moment gelijk zijn.

34p

Bereken na hoeveel gehele jaren het aantal vogels van soort A voor het

eerst meer dan twee keer zo groot is als dat van soort B.

Een eigenschap die belangrijk is voor het succes van trekvogels is de

datum van aankomst in Nederland.

In figuur 3 zie je het verband tussen de groeifactor per jaar en de dag van

aankomst in Nederland. Deze dag is aangegeven met een dagnummer:

dag 33 is 2 februari, dag 34 is 3 februari, enzovoort.

De 41 onderzochte vogelsoorten zijn met punten aangegeven. In figuur 3

is de best passende lijn bij deze 41 punten getekend. Deze lijn geeft aan

dat in het algemeen geldt: hoe later een soort aankomt in Nederland, hoe

kleiner de groeifactor van die soort.

figuur 3

1,20 groeifactor per jaar 1,15 1,10 1,05 1 0,95 0,90 0,85 0,80 0 0 40 50 60 70 80 90 100 110 120 130 140 dagnummer

Vergelijk drie denkbeeldige soorten die precies op de lijn van figuur 3

liggen. Soort X komt op dag 120 aan, soort Y op dag 130 en soort Z op

dag 140. Omdat ze steeds met 10 dagen verschil aankomen, is het

verschil in groeifactor ook constant: ze liggen immers op een rechte lijn.

Aankomen op dag 120 levert, zo is vast te stellen, een groeifactor van

0,975. En aankomen op dag 130 levert een groeifactor van 0,965.

De vraag is of het verschil in halveringstijd (dat is de tijd die het duurt tot

er nog 50% van het aantal over is) bij deze drie soorten ook constant is.

45p

Onderzoek door het berekenen van de halveringstijden van de soorten X,

Y en Z of de halveringstijd ook met een vast aantal jaren afneemt.

opgave 2Statistiek in de auto-industrie

Bij een productieproces worden voortdurend controlemetingen uitgevoerd. Bijvoorbeeld bij de productie van slangen voor achterruitsproeiers mag de lengte van de slang niet al te veel afwijken van de streefwaarde . Die lengte van de slang moet binnen bepaalde specificatiegrenzen blijven. Slangen van achterruitsproeiers De streefwaarde van de lengte van de slang voor de achterruitsproeier van een bepaald type auto is 280 cm. In werkelijkheid zullen niet alle slangen precies 280 cm lang zijn. De lengte van de slang moet liggen tussen de specificatiegrenzen 276 en 284 cm. Als de lengte van de slang hierbuiten valt, dan wordt de slang afgekeurd. Het productieproces wordt zo figuur 1 ingericht, dat het percentage dat buiten de specificatiegrenzen valt, erg klein is. In figuur 1 zie je hier een voorbeeld van: de lengte van de geproduceerde slangen is gemiddeld 280 cm met een standaardafwijking van 0,65 cm. Hierbij is het gemiddelde dus de streefwaarde. Neem hierbij aan dat de lengte van de geproduceerde slangen normaal verdeeld is.

Bereken hoeveel procent van de geproduceerde slangen een lengte heeft die meer dan 2 cm afwijkt van de streefwaarde. Het is mogelijk dat er iets mis is figuur 2 met het productieproces. In figuur 2 is de situatie weergegeven dat de gemiddelde lengte van de geproduceerde slangen groter is dan de streefwaarde 280 cm. Neem aan dat de standaardafwijking niet veranderd is. We kijken nu naar het percentage van de geproduceerde slangen met een lengte groter dan 284 cm.

Bereken vanaf welk gemiddelde dit percentage groter is dan 5%. Rond je antwoord af op gehele cm.

Om vast te stellen of het productieproces van slangen voor achterruitsproeiers nog goed verloopt, neemt men regelmatig een steekproef uit de geproduceerde slangen. Hierbij bepaalt men het steekproefgemiddelde g en berekent men de procescapaciteitsmaat C . Er geldt: g − linkerspecificatiegrens C links = en C rechts = 3 s Hierin is g het steekproefgemiddelde. We nemen aan dat s , de standaardafwijking van het proces, constant is en steeds gelijk is aan 0,65. De procescapaciteitsmaat C is de kleinste van deze twee waarden C links en C rechts . Als bijvoorbeeld het steekproefgemiddelde g gelijk is aan 281 cm en 284 − 281 s = 0,65 , dan geldt: C rechts = 3 ⋅ 0,65 Hieruit volgt dat in dit voorbeeld geldt: C = C rechts ↔ 1,5. We nemen verder aan dat het steekproefgemiddelde g binnen de specificatiegrenzen ligt. De standaardafwijking s verandert ook nu niet. Het productieproces verloopt slechter als het steekproefgemiddelde g verder van de streefwaarde af komt te liggen.

Beredeneer aan de hand van de formules of de waarde van C in dit geval groter wordt of juist kleiner.

Koplampen Ook de koplampen van een auto moeten aan strenge eisen voldoen. De koplampen moeten tussen 0 ° en 2,5 ° naar beneden wijzen, zodat tegenliggers niet verblind worden. Neem voor de volgende vraag aan dat er niets mis is met het productieproces en dat de hoek van een koplamp normaal verdeeld is met gemiddelde 1,25 ° en standaardafwijking 0,25 ° . Men neemt een steekproef van 50 koplampen en men meet hierbij de hoeken op.

Bereken de kans dat van de hoeken van deze 50 koplampen er één of meer niet tussen 0,5 ° en 2,0 ° liggen. In figuur 3 zie je de grafiek met de hoeken van 50 koplampen uit een andere steekproef. De streefwaarde 1,25 ° is in de grafiek te zien als een horizontale lijn. figuur 3 Alle koplampen in figuur 3 voldoen aan de eisen. Toch is er een aanwijzing dat er iets niet helemaal in orde is met het productieproces: in de grafiek liggen meer waarden boven, namelijk 34, dan onder de 1,25 ° . Neem aan dat de gemiddelde hoek in het productieproces 1,25 ° is. Elke koplamp heeft dan evenveel kans om boven of onder de waarde 1,25 ° te liggen.

Bereken in dat geval de kans dat bij 34 of meer van de 50 koplampen de hoek groter is dan 1,25 ° .

opgave 3Reistijden

In 2010 stond in NRC Handelsblad een artikel waarin de prestaties van

vliegtuig, hogesnelheidstrein (hst) en gewone trein met elkaar vergeleken

werden. Bij het artikel stond onderstaande figuur. In deze figuur staat

horizontaal de reisafstand in kilometers en verticaal de totale reistijd van-

deur-tot-deur in uren. De reistijd van-deur-tot-deur is de totale tijd die

nodig is voor de trein- of vliegreis zelf en voor de verplaatsingen van en

naar het station of vliegveld.

Deze figuur staat vergroot op de uitwerkbijlage.

figuur

gewone trein sneller dan vliegtuig 8 reistijd ggeewwoonnee ttrreeiinn deur-tot-deur (in uren) 6 4 vvlliieeggttuuiigg 2 0 0 200 400 600 800 1000 afstand in km

Uit de figuur blijkt dat men voor reizen met een afstand van meer dan

100 km bij elk vervoermiddel uitgaat van een constante snelheid.

103p

Bereken deze snelheid voor de hogesnelheidstrein in km/u.

Boven de grafiek in de figuur staat bij de bovenste pijl: ‘gewone trein

sneller dan vliegtuig’. Ook bij de onderste pijl hoort een dergelijke

uitspraak te staan. Hier volgt een drietal mogelijkheden:

1 De gewone trein is sneller dan de hst

2 De hst is sneller dan de gewone trein

3 De hst is sneller dan het vliegtuig en sneller dan de gewone trein

114p

Beredeneer voor elk van de drie uitspraken met behulp van de figuur of

de uitspraak juist is.

Voor een reis met de auto is er geen reistijd van en naar een station of

vliegveld. Neem daarom aan dat we bij autoreizen ook bij afstanden

beneden de 50 km uit mogen gaan van een constante snelheid.

123puitwerkbijlage

Teken in de figuur op de uitwerkbijlage de grafiek van het reizen met de

auto met een snelheid van 100 km/u en bepaal daarmee tot welke afstand

de auto sneller is dan het vliegtuig.

Naar aanleiding van de figuur heeft men de volgende formules opgesteld.

Hierbij is a de afstand in km en r de reistijd in uren:

Vliegtuig: r = 0,00137a + 3,43

Gewone trein: r = 0,00793a + 1,10

133p

Onderzoek met behulp van deze formules vanaf welke afstand de reistijd

met het vliegtuig kleiner is dan de reistijd met de gewone trein.

opgave 4Bevingen in Japan

De laatste jaren waren de zeebevingen in de buurt van Japan regelmatig

in het nieuws. De zeebeving van Sendai in 2011 en de aardbeving van

2004 die een enorme tsunami in de Indische Oceaan veroorzaakte, zijn

allebei bevingen met een kracht van 9,0 of meer op de schaal van

Richter.

De Amerikaan Charles Richter gebruikte seismogrammen om de

magnitude (kracht) van een beving te kunnen bepalen. In de figuur zie je

een voorbeeld van een seismogram. In dit seismogram zie je de gemeten

trillingen van de aarde als uitwijkingen in mm. De grootste uitwijking in het

seismogram heet de maximale amplitude.

figuur

3 uitwijking (in mm) 2 maximale amplitude 1 0 00 5 1100 15 -1 tijd (in sec) -2 -3

Om de magnitude van een beving te bepalen, gebruikt men de formule

van Richter. Hieronder staat een vereenvoudigde versie daarvan:

M = log(A) + 3

In deze formule is M de magnitude en A de maximale amplitude in mm.

Uit de formule blijkt, dat als de maximale amplitude A tien keer zo groot

wordt, de magnitude met 1 eenheid toeneemt.

143p

Toon met behulp van de rekenregels van logaritmen aan dat log(10A) + 3

altijd 1 groter is dan log(A) + 3.

Met de formule M = log(A) + 3 kan M berekend worden als A bekend is.

Men kan echter ook A berekenen als M bekend is. Dat kan met de formule

A = 0,001⋅10^M.

Deze laatste formule is af te leiden uit de formule M = log(A) + 3.

153p

Toon dit aan.

Een van de naschokken van de beving van 2004 had een magnitude van

5,3 op de schaal van Richter. En bij de beving van 2011 was er een

naschok met een magnitude van 5,0. In een wetenschappelijk tijdschrift

stond dat de maximale amplitude op het seismogram bij de naschok van

2011 gelijk was aan 10^2,0. De maximale amplitude tijdens de naschok van

2004 was groter dan die van 2011.

163p

Bereken hoeveel keer zo groot.

De zeebeving van 11 maart 2011 met de daaropvolgende tsunami zorgde

voor grote problemen bij de kerncentrale Fukushima I. Om de reactoren te

koelen, werd zeewater in de reactoren gepompt. Dit water lekte,

radioactief geworden, weer terug in zee. Hierdoor raakte vis besmet met

radioactief jodium en moest de visvangst tijdelijk worden stopgezet.

Radioactief jodium verdwijnt volgens een exponentieel proces. De

halveringstijd van radioactief jodium is 8 dagen. Op 6 april 2011 gaven

metingen aan dat er 4800 keer de maximaal toegestane hoeveelheid

radioactief jodium in het zeewater aanwezig was. De maximaal

toegestane hoeveelheid radioactief jodium is 5 becquerel/liter.

Op het moment dat de maximaal toegestane hoeveelheid werd bereikt,

mocht er weer gevist worden. We gaan ervan uit dat er na 6 april 2011

geen nieuw radioactief jodium meer in zee lekte.

175p

Bereken na hoeveel dagen er weer gevist mocht worden.

opgave 5De Manchester kleurencirkel

Onderzoekers van de Universiteit van Manchester hebben onderzocht of

er verschillen zijn in kleurvoorkeuren tussen gezonde en depressieve

proefpersonen.

Proefpersonen kregen een cirkel met daarin verschillende kleuren te zien.

De onderzoekers vroegen aan hen welke kleuren ze positief beoordeelden

en welke kleur het beste paste bij hun stemming van de laatste paar

maanden.

Om de kleuren te registreren, had men kunnen kiezen voor het

RGB-kleursysteem. Dat is een manier om een kleur uit te drukken met

behulp van een combinatie van de drie hoofdkleuren Rood-Groen-Blauw.

De hoeveelheid van elk van deze hoofdkleuren die nodig is om de

mengkleur te verkrijgen, wordt uitgedrukt in een geheel getal dat kan

variëren van 0 tot en met 255. Elke verschillende combinatie van die drie

getallen geeft een andere kleur. Zo geeft (255,255,0) een bepaalde kleur

geel.

183p

Bereken hoeveel verschillende kleuren er op deze manier aangeduid

kunnen worden.

De onderzoekers gebruikten een ander systeem. Ze kozen negen

hoofdkleuren: rood, groen, bruin, geel, paars, roze, blauw, oranje en grijs.

Van elke hoofdkleur gebruikten ze vier tinten: zeer donker, donker, licht

en zeer licht. Bovendien gebruikten ze zwart en wit. In totaal gebruikten

ze dus 38 kleuren, die ze de nummers 1 tot en met 38 gaven.

In het eerste deel van het onderzoek vroeg men gezonde proefpersonen

deze kleuren te beoordelen, waarbij ze per kleur konden kiezen uit

positief, neutraal of negatief. De resultaten staan in tabel 1. Hierin kun je

bijvoorbeeld aflezen dat kleur nummer 1 (zeer donkerrood) door 3% van

de proefpersonen als positief werd aangemerkt en door 24% van de

proefpersonen als negatief.

tabel 1

zeer donker donker donker licht zeer licht licht nr P (pos) % N (neg) % nr P (pos) % N (neg) % nr P (pos) % N (neg) % nr P (pos) % N (neg) % rood 1 3 24 2 9 14 3 36 19 4 25 13 groen 5 8 22 6 31 7 7 29 6 8 33 4 bruin 9 0,5 54 10 0,5 44 11 0,5 29 12 2 9 geel 13 47 0,5 14 72 0,5 15 52 0 16 26 3 paars 17 3 30 18 14 6 19 28 1 20 32 2 roze 21 29 5 22 28 2 23 22 1 24 20 4 blauw 25 3 49 26 6 27 27 11 17 28 30 10 oranje 29 35 3 30 43 2 31 42 2 32 57 1 zwart 33 1 74 grijs 34 0 67 35 0 72 36 0 62 37 1 50 wit 38 11 12

Donkergeel (kleur nummer 14) is een kleur die door heel veel mensen in

deze steekproef als positief beoordeeld werd. Voor de volgende vraag

gaan we ervan uit dat de percentages van de proefpersonen in de tabel

ook gelden voor een aselecte steekproef uit de bevolking.

194p

Bereken de kans dat in een willekeurige groep van 500 personen

360 personen of meer donkergeel als positief beoordelen.

Er zijn nu verschillende mogelijkheden om een indeling te maken in

positieve, neutrale en negatieve kleuren. In tabel 2 zie je twee indelingen

die de onderzoekers gebruikten. P is het percentage proefpersonen dat

een kleur positief beoordeelde en N het percentage dat een kleur negatief

beoordeelde.

tabel 2

positieve kleur negatieve kleur indeling 1 P ≥ 20 en N ≤ 5 N ≥ 20 en P ≤ 5 indeling 2 P ≥ 30 en N ≤ 10 N ≥ 30 en P ≤ 10

Bij indeling 1 is een kleur dus een positieve kleur als ten minste 20% van

de proefpersonen de kleur positief beoordeelde en maximaal 5% de kleur

negatief noemde. Een voorbeeld daarvan is kleur nummer 29.

Let op: de laatste vragen van dit examen staan op de volgende pagina.

Bij indeling 1 zijn er 15 kleuren die positief genoemd worden, terwijl er bij

indeling 2 maar 11 positieve kleuren zijn. Toch zijn er kleuren die bij

indeling 2 wél en bij indeling 1 niet positief genoemd worden.

204p

Onderzoek welke twee kleuren volgens indeling 2 wel tot de positieve

kleuren behoren maar volgens indeling 1 niet.

In tabel 3 zie je de resultaten van het tweede deel van het onderzoek

waaraan 41 gezonde en 87 depressieve proefpersonen deelnamen. Elke

proefpersoon werd gevraagd aan te geven welke kleur het meest

overeenstemde met zijn huidige toestand. Tabel 3 laat zien hoeveel

proefpersonen uit elke groep kozen voor een positieve, neutrale of

negatieve kleur.

tabel 3

kleur gezond depressief totaal positief 11 2 13 neutraal 26 31 57 negatief 4 54 58 totaal 41 87 128

Op basis van deze gegevens kan de kans bepaald worden dat een

proefpersoon die een negatieve kleur koos, daadwerkelijk depressief is.

213p

Bereken deze kans.

Uit het onderzoek van tabel 3 kwam naar voren dat 62,1% van de

depressieve proefpersonen een negatieve kleur uitkoos. Van de gezonde

proefpersonen koos 9,8% een negatieve kleur uit.

Onderstaande tabel 4 is een soortgelijke tabel als tabel 3, maar nu niet

voor de proefpersonen uit het onderzoek, maar voor 1000 willekeurige

personen uit de bevolking. In deze situatie komt depressiviteit bij

gemiddeld 60 van de 1000 personen voor.

tabel 4

kleur gezond depressief totaal positief of neutraal negatief totaal 60 1000

Veronderstel dat de genoemde percentages van 62,1% en 9,8% ook in

het algemeen gelden. Dan kunnen we met behulp van tabel 4 de kans

berekenen dat een willekeurige deelnemer aan zo’n bevolkingsonderzoek

die een negatieve kleur kiest, inderdaad depressief is.

224p