opgave 1Medailles in Tokio
In de zomer van 2021 werden in Tokio de Olympische Spelen gehouden.
Voor een Nederlandse olympiër leverde elke medaille een bonus op. De
basis-bonusbedragen hiervoor staan in tabel 1.
tabel 1
In totaal behaalde TeamNL (alle Nederlandse olympiërs) 10 gouden, 12
zilveren en 14 bronzen medailles. Op basis van tabel 1 zou hiervoor
€ 780 000 aan bonusbedragen aan TeamNL uitgereikt moeten zijn.
Voor het begin van de Olympische Spelen van 2021 voorspelden Fabian
ten Kate en Elmer Sterken van de Rijksuniversiteit Groningen in totaal
geen 36, maar 34 medailles voor TeamNL. Stel dat TeamNL evenveel
gouden als zilveren medailles zou hebben behaald, dan zou het ook met
een totaal van 34 (gouden, zilveren en bronzen) medailles mogelijk zijn
geweest om op een totaal van € 780 000 aan bonusbedragen uit te
komen.
13pRekenen met een gegeven formule 2p · Procenten, verhoudingen en eenheden 1p
Bereken hoeveel gouden medailles TeamNL dan behaald zou hebben.
Naast de basis-bonusbedragen in tabel 1 werden er twee regels voor het
toekennen van bonusbedragen gehanteerd.
Bij teamsporten (zoals volleybal) moet het bonusbedrag dat bij een
medaille hoort, verdeeld worden over het team. Daar is Regel 1 voor.
Regel 1 Voor olympiërs die een medaille met een team gewonnen hebben, geldt dat het totaalbedrag voor het team gelijk is aan het basis-bonusbedrag voor de medaille vermenigvuldigd met de wortel van het aantal teamleden. Dat totaalbedrag moet weer gedeeld worden door het aantal teamleden om het bonusbedrag per teamlid te bepalen.
Het bonusbedrag P (in euro’s) per teamlid zoals beschreven in Regel 1
kan berekend worden met de formule:
P = B ⋅ n−0,5
Hierin is B (in euro’s) het basis-bonusbedrag voor de medaille en n het
aantal teamleden.
Uit Regel 1 en de bijbehorende formule P = B ⋅ n−0,5 volgt: hoe groter het
aantal teamleden, hoe lager het bonusbedrag per teamlid. Dus bij een
heel groot team zou het bonusbedrag per teamlid heel laag kunnen
worden. Daarom is het minimale bonusbedrag per teamlid voor een
gouden medaille vastgesteld op € 11 000.
23pRekenen met een gegeven formule 3p
Bereken uit hoeveel teamleden een gouden team hoogstens mag bestaan
om per teamlid meer dan € 11 000 te ontvangen.
De tweede regel die werd gehanteerd, gaat over het behalen van
meerdere medailles door dezelfde olympiër.
Regel 2 De bonusbedragen die horen bij de medailles van een olympiër die meerdere medailles heeft gewonnen, worden eerst van hoog naar laag gerangschikt. Vervolgens krijgt de olympiër voor de medaille met het hoogste bonusbedrag het volledige bonusbedrag. Voor de tweede medaille en de derde medaille krijgt de olympiër respectievelijk 2 en 1 3 3 van het bonusbedrag.
De Nederlandse hardloopster Sifan Hassan won op de Olympische
Spelen in Tokio twee gouden en één bronzen medaille. Daarmee
verdiende ze het hoogste totale bonusbedrag. De Nederlandse
baanwielrenner Harrie Lavreysen behaalde op de Olympische Spelen in
Tokio ook twee gouden en één bronzen medaille.
In tabel 2 staan voor Hassan en Lavreysen de behaalde prestaties
opgesomd.
tabel 2
Zoals in tabel 2 te zien is, won Lavreysen één van zijn gouden medailles
in een team. Door Regel 1 en Regel 2 was zijn totale bonusbedrag lager
dan dat van Hassan.
33pProcenten, verhoudingen en eenheden 2p · Rekenen met een gegeven formule 1p
Bereken hoeveel bonusgeld Hassan meer verdiende dan Lavreysen.
De medaillespiegel is een klassement waarin de deelnemende landen
gerangschikt worden naar het aantal behaalde (gouden) medailles.
Aan de Olympische Spelen in Tokio deden 206 landen mee. Vooraf
werden er een aantal voorspellingen gedaan welke landen waar in de
top 10 zouden belanden. Zie tabel 3.
tabel 3
Verder werden er nog veertien landen genoemd die naast de zes
hierboven genoemde landen mogelijk ook in de top 10 zouden kunnen
komen. Zie tabel 4.
tabel 4
De meest voorspelde top 10 was deze:
1 Verenigde Staten
2 China
3 Japan
4 Groot-Brittannië
5 Rusland
6 Australië
7 Nederland
8 Frankrijk
9 Duitsland
10 Italië
44pTelproblemen 4p
Bereken hoeveel verschillende top 10-klassementen mogelijk zijn op basis
van de informatie in tabel 3 en tabel 4.
opgave 2Otters in Nederland
Vanaf 2002 groeit de populatie otters in Nederland.
Dit wordt onderzocht door Nederland op te delen in
zogeheten kilometerhokken (km-hokken). Dat zijn
vierkante gebieden van 1 bij 1 km.
In de winter van 2013/2014 vond men in 290 km-
hokken sporen van otters. Een jaar later waren dat
er minder, maar de jaren daarna nam het aantal
km-hokken waarin sporen van otters werden
waargenomen flink toe. Zie de tabel.
tabel
In de tabel staat hoe het aantal km-hokken waarin sporen van otters zijn
waargenomen zich heeft ontwikkeld vanaf de winter van 2013/2014 tot en
met de winter van 2018/2019.
53pExponentiële functies en groei 3p
Bereken met hoeveel procent het aantal km-hokken waarin sporen van
otters zijn waargenomen is toegenomen in deze periode. Geef je
antwoord als een geheel getal.
Otters kwamen dus in steeds meer km-hokken voor en uit onderzoek blijkt
dat de populatieomvang ook daadwerkelijk toenam. Het bepalen van de
populatieomvang was lange tijd omslachtig. Op een gegeven moment
ontdekte men echter een verband tussen het aantal aangereden otters en
de populatieomvang. De stippen in figuur 1 geven dit verband voor de
jaren 2003 tot en met 2017 weer.
figuur 1
In de jaren 2003-2017 blijkt de populatieomvang bij benadering recht
evenredig te zijn met het aantal aangereden otters. Dit wordt
weergegeven door de trendlijn in figuur 1. Deze trendlijn kan gebruikt
worden om in de jaren na 2017 de populatieomvang te schatten.
In 2018 zijn er 97 otters aangereden.
63pEvenredigheden en machtsverbanden 2p · Tabellen en grafieken lezen en gebruiken 1p
Gebruik de trendlijn om de geschatte populatieomvang in 2018 te
berekenen.
De schatting van de populatieomvang in 2018 op basis van de genoemde
evenredigheid bleek te hoog. In figuur 2 is de werkelijke ontwikkeling van de
populatieomvang van de otters in de periode 2003 tot en met 2019
weergegeven. Hierbij zijn de aantallen altijd aan het eind van het jaar bepaald.
figuur 2
Op basis van de getekende trendlijn in figuur 2 gaan onderzoekers er vanuit
dat de populatie otters elk jaar met hetzelfde percentage toeneemt. De
populatieomvang is in de periode 2009 tot en met 2019 toegenomen van 44
tot 360 otters. Dit betekent een jaarlijkse groei van (afgerond) 23%.
73pExponentiële functies en groei 3p
Bereken in één decimaal het jaarlijkse groeipercentage dat uit de
gegevens volgt.
We nemen aan dat de populatie otters na 2019 met 23% per jaar bleef
groeien.
opgave 3Gerard Walraeven
Gerard Walraeven (1942-2010) heeft de kunstwerken op foto 1 en foto 2
gemaakt. Beide kunstwerken hebben een glanzende, roestvrijstalen
binnenkant met daaromheen een laag zogeheten cortenstaal dat zich als
het ware openvouwt.
De roestvrijstalen binnenkant van het kunstwerk op foto 1 is een piramide.
Deze piramide heeft een vierkant grondvlak met zijden van 100 cm en een
top op 72 cm hoogte boven het midden van het grondvlak.
De roestvrijstalen binnenkant van het kunstwerk op foto 2 is een kubus
met zijden van 100 cm.
De inhoud van de kubus is ongeveer vier keer zo groot als de inhoud van
de piramide.
93pOppervlakte, inhoud en schaal 3p
Toon dit aan.
Stel dat de laag cortenstaal bij beide kunstwerken dichtgevouwen zou
kunnen worden, dan zou deze laag de piramide respectievelijk de kubus
precies bedekken. We verwaarlozen de dikte van het cortenstaal en gaan
er vanuit dat er geen cortenstaal op de bodem van de kunstwerken is
aangebracht.
104pOppervlakte, inhoud en schaal 3p · Pythagoras, sinus, cosinus en tangens 1p
Onderzoek of de oppervlakte van het cortenstaal bij de kubus ongeveer
vier keer zo groot is als de oppervlakte van het cortenstaal bij de
piramide.
Op de uitwerkbijlage is het grondvlak van de piramide in perspectief
getekend. Hierbij zijn de voor- en achterzijde evenwijdig aan de horizon
en is de voorzijde op schaal 1:10 getekend.
115puitwerkbijlagePerspectief en aanzichten 5p
Maak op de uitwerkbijlage de perspectieftekening van de piramide af.
Ga verder op de volgende pagina.
opgave 4De vergeetcurve
De Duitse psycholoog Hermann Ebbinghaus deed eind 19e eeuw veel
onderzoek naar het geheugen. Hij ontdekte dat mensen nieuwe informatie
goed kunnen onthouden, maar dat ze informatie ook weer snel vergeten
als ze er verder niets meer mee doen.
Zijn onderzoek resulteerde in de zogeheten vergeetcurve van
Ebbinghaus. In de figuur is de vergeetcurve weergegeven.
figuur
In de figuur is bijvoorbeeld af te lezen dat 1 uur na het leren van nieuwe
informatie nog maar 44% van die nieuw geleerde informatie onthouden is.
De horizontale as heeft een bijzondere schaalverdeling: een ‘hokje’ stelt
niet steeds evenveel tijd voor. Hierdoor suggereert de grafiek in de figuur
dat er bij benadering sprake zou zijn van exponentiële afname van het
percentage informatie dat onthouden is. Op internet circuleren dan ook
artikelen die beweren dat de vergeetcurve volgens een exponentiële
afname verloopt. Dit is echter niet waar.
122pExponentiële functies en groei 2p
Toon met behulp van een berekening aan dat er volgens de gegevens in
de figuur geen sprake kan zijn van exponentiële afname.
Tegenwoordig wordt ook wel gebruikgemaakt van de formule:
, met
t > 0Hierin is P het percentage informatie dat onthouden is en t het aantal
dagen dat verstreken is sinds het leren van de informatie.
142pEigenschappen van functies en grafieken 2p
Beredeneer aan de hand van de formules voor P en V dat je alle
informatie die je leert na lange tijd weer vergeten bent.
Volgens de formule voor P is het percentage informatie dat je in het
allereerste uur vergeet, kleiner dan het percentage dat je in het allereerste
uur (dus op
) volgens de vergeetcurve (zie de figuur) vergeet.
opgave 5Radiogolven
Radiogolven zijn golven waarmee informatie draadloos over een grote
afstand verstuurd kan worden. Radiogolven worden onder andere gebruikt
door mobiele telefoons, navigatieapparatuur, radio’s en televisie.
Een radiogolf is een periodiek verschijnsel. Zie de figuur.
figuur
In de figuur is op de horizontale as de tijd weergegeven in miljoenste
delen van een seconde.
De frequentie van een radiogolf is het aantal perioden van die radiogolf
dat in een seconde past. Zo heeft een radiogolf met een frequentie van 20
een periode van 0,05 seconden.
163pTabellen en grafieken lezen en gebruiken 1p · Sinusoïden: periode, amplitude en formule 1p · Procenten, verhoudingen en eenheden 1p
Bepaal de frequentie van de radiogolf uit de figuur. Geef je antwoord in
duizendtallen.
Radiogolven verplaatsen zich met de lichtsnelheid. De lichtsnelheid is
(afgerond) 300 000 kilometer per seconde. De afstand die een radiogolf in
één periode aflegt, wordt de golflengte genoemd. Radiogolven met
verschillende perioden hebben dus ook verschillende golflengtes.
Een bepaald type radiogolven heeft een frequentie van 14 miljoen.
De golflengte van zo’n radiogolf is ongeveer 20 meter.
173pFormules en vergelijkingen opstellen 1p · Rekenen met een gegeven formule 1p · Procenten, verhoudingen en eenheden 1p
Bereken de werkelijke golflengte van zo’n radiogolf. Geef je antwoord in
gehele cm.
Radiogolven worden (onder andere) gebruikt om radio-uitzendingen te
maken. Dit gebeurt niet alleen door professionele omroeporganisaties,
maar ook door zogeheten zendamateurs. Voor de onderlinge
communicatie gebruiken deze zendamateurs codes, waarbij elke
zendamateur een unieke code heeft. Voor Nederlandse zendamateurs
bestaat de unieke code uit twee delen.
Het eerste deel van deze code bestaat uit drie tekens, waarvoor geldt:
− Het eerste teken is altijd de letter P.
− Het tweede teken is een van de letters: A, B, C, D, E, F, G of H.
− Het derde teken is een van de cijfers: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 7, 8, 9 (het cijfer
6 mag dus niet).
Het tweede deel van deze code bestaat uit één, twee of drie letters uit het
alfabet. Verder geldt:
− Als het tweede deel uit drie letters bestaat en begint met een Q, dan
mag de tweede letter geen O, P, Q, R, S, T of U zijn.
− Het tweede deel mag niet SOS zijn (dit is om verwarring met het
internationale noodsein SOS te voorkomen).
Enkele voorbeelden van toegestane codes zijn PE7QBB, PF5QVT,
PH2RS en PA9T.
182pTelproblemen 2p
Geef een voorbeeld van een niet-toegestane code van in totaal zes
tekens.
195pTelproblemen 5p
Bereken hoeveel verschillende codes er voor Nederlandse zendamateurs
in totaal mogelijk zijn.
