opgave 1Huishoudelijke apparaten
In elk huishouden is wel een aantal huishoudelijke apparaten te vinden.
Uit een onderzoek van het CBS (Centraal Bureau voor de Statistiek) in
2003 blijkt dat het bezit van bijvoorbeeld magnetronovens, wasdrogers en
vaatwasmachines sterk toenam in de periode 1986–2001. Zie figuur 1.
figuur 1
Relatieve bezit huishoudelijke apparaten % van alle 90 Legenda: huishoudens 80 magnetronoven 70 wasdroger 60 vaatwasmachine 50 40 30 20 10 0 6 8 0 2 4 6 8 0 8 8 9 9 9 9 9 0 9 9 9 9 9 9 9 0 1 1 1 1 1 1 1 2 1- 1- 1- 1- 1- 1- 1- 1- 0 0 0 0 0 0 0 0 1- 1- 1- 1- 1- 1- 1- 1- 0 0 0 0 0 0 0 0 tijdstip
Deze opgave gaat over het relatieve bezit: het bezit, uitgedrukt als
percentage van het totale aantal huishoudens.
In de figuur kun je dus zien dat op 1 januari 1995 ongeveer 40% van de
huishoudens een wasdroger bezat.
Op grond van de grafiek kun je concluderen dat er op 1 januari 1998
huishoudens waren die zowel een magnetronoven als een wasdroger
bezaten.
13pLeg dat uit.
Uit het onderzoek blijkt dat het relatieve bezit van wasdrogers op
1 januari 1986 14,4% was. Op 1 januari 2001 was het toegenomen tot
54,4%. Omdat uit figuur 1 blijkt dat er sprake is van vrijwel lineaire groei in
deze periode, kunnen we voor deze periode aan de hand van deze
gegevens de volgende formule opstellen:
W = a⋅t + 14,4
Hierin is W het relatieve bezit van wasdrogers en t de tijd in jaren, waarbij
t = 0 overeenkomt met 1 januari 1986.
23pLaat met een berekening zien dat a afgerond 2,67 is.
Uit het onderzoek blijkt verder dat het relatieve bezit van
vaatwasmachines op 1 januari 1986 8,0% was en op 1 januari 2001
41,6%. We gaan ervan uit dat de groei exponentieel verliep.
Met behulp van deze gegevens kun je berekenen dat de jaarlijkse
groeifactor die hoort bij het relatieve bezit van vaatwasmachines gelijk is
aan (ongeveer) 1,116.
34pToon aan dat de jaarlijkse groeifactor (ongeveer) 1,116 is.
We kunnen nu voor het relatieve bezit van vaatwasmachines de volgende
formule opstellen:
V = 8,0 ⋅1,116t
Hierin is V het relatieve bezit van vaatwasmachines en t de tijd in jaren,
waarbij t = 0 overeenkomt met 1 januari 1986.
We gaan ervan uit dat in de eerste jaren na 2001 het relatieve bezit van
wasdrogers en vaatwasmachines zich blijft ontwikkelen volgens de
gegeven formules:
W = 2,67⋅t + 14,4 en V = 8,0 ⋅1,116t
44pBereken met behulp van de twee formules in welk jaar het relatieve bezit
van wasdrogers en vaatwasmachines even groot is.
Koelkasten zijn veel algemener in gebruik in Nederlandse huishoudens
dan de apparaten die we eerder in deze opgave bekeken. Het aantal
koelkasten is al tientallen jaren gelijk aan 97% van het aantal
huishoudens, terwijl het aantal huishoudens al jarenlang lineair stijgt.
Met gegevens van het CBS is voor het aantal huishoudens H (in
duizendtallen) de volgende formule opgesteld:
H = 69,8 ⋅ t + 5790
In deze formule is H dus het aantal huishoudens in duizendtallen en t in
jaren met t = 0 op 1 januari 1986.
Gebruikmakend van de formule voor H kunnen we een formule opstellen
voor het aantal koelkasten K (in duizendtallen), uitgedrukt in t. Deze
formule is te herleiden tot K = a ⋅ t + b.
opgave 2Senseo
Als een nieuw product wordt geïntroduceerd, wordt het meestal niet
meteen massaal gekocht.
In figuur 1 is weergegeven hoe de aanschaf van een nieuw product
globaal verloopt. Langs de horizontale as staat het zogenoemde
aanschafmoment, uitgedrukt in maanden na de introductie van het
product op de markt. Het aanschafmoment van een product is het tijdstip
waarop het product voor de eerste keer wordt aangeschaft.
figuur 1
In het begin is het percentage huishoudens dat dit product voor het eerst
aanschaft laag. Daarna neemt het percentage toe. Op een zeker moment
is dit percentage maximaal en daarna neemt het weer af.
In de figuur is te zien dat het aanschafmoment van een product bij
benadering normaal verdeeld is. Daar is dus te zien dat 74 maanden na
introductie 50% van de huishoudens dit product voor het eerst
aangeschaft heeft.
Voor het product uit figuur 1 geldt dat het aanschafmoment gemiddeld
74 maanden is met een standaardafwijking van 18 maanden.
64pToon aan dat voor minder dan 1% van de huishoudens het
aanschafmoment 24 maanden of minder is.
In 2001 introduceerden Douwe Egberts en Philips samen een nieuw
koffiezetapparaat, de Senseo.
We gaan ervan uit dat de aanschaf van deze Senseo-
apparaten in Nederland op een soortgelijke manier
verloopt als hierboven is beschreven. Het
aanschafmoment van dit apparaat is dus bij benadering
normaal verdeeld.
In een artikel staat dat 52 maanden na de introductie van
het Senseo-apparaat 45% van de huishoudens in
Nederland zo’n apparaat voor de eerste keer heeft
aangeschaft.
Na 54 maanden is dat zelfs 50%.
74pToon aan dat de standaardafwijking van het aanschafmoment ongeveer
16 maanden is.
Het meest succesvolle jaar was het 5e jaar na introductie van het
apparaat. Toen schafte maar liefst (ongeveer) 29% van de Nederlandse
huishoudens voor het eerst een Senseo-apparaat aan.
83pBereken dit percentage in één decimaal nauwkeurig.
Meteen na dat jaar werd een telefonische enquête gehouden met daarin
vragen over het Senseo-apparaat. Men was vooral benieuwd naar de
ervaringen van huishoudens die het apparaat in het voorgaande jaar voor
het eerst hadden aangeschaft. De kans op zo’n huishouden is echter
slechts 0,29, zo zagen we bij de vorige vraag. Om veel van dergelijke
huishoudens aan te treffen, zouden er bij deze enquête behoorlijk wat
huishoudens benaderd moeten worden.
In totaal werden willekeurig 50 huishoudens benaderd.
94pBereken de kans dat minstens 10 van die huishoudens in het
voorafgaande jaar voor het eerst een Senseo-apparaat hebben
aangeschaft.
opgave 3Waarom klassenfoto’s vaak mislukken
Wanneer je klassenfoto’s goed bekijkt, zie je dat er bijna altijd iemand op
staat met de ogen dicht. Dit komt doordat het knipperen met de ogen niet
bewust gebeurt en het dus ook nauwelijks onderdrukt kan worden.
We nemen in deze opgave het volgende aan:
− iedereen knippert gemiddeld 10 keer per minuut met zijn ogen;
− elke knippering duurt 0,25 seconden;
− elke knippering treedt op een willekeurig moment op.
103pGa met een berekening na dat iedereen
deel van de tijd zijn ogen dicht
heeft.
De kans dat een foto van iemand mislukt omdat hij juist de ogen dicht
heeft, is dus
.
In de rest van deze opgave spreken we van een gelukte foto als niemand
knippert met de ogen op het moment dat de foto wordt gemaakt.
Van een klas met 25 leerlingen wordt een klassenfoto gemaakt.
113pGa met een berekening na dat de kans dat de foto lukt ongeveer gelijk is
aan 0,345.
De fotograaf vindt 34,5% kans op een geslaagde klassenfoto met
25 leerlingen te klein en maakt daarom meteen een serie van 5 foto’s.
124pBereken de kans dat er minstens één foto lukt.
Om meer zekerheid te hebben op minstens één gelukte foto moeten er
meer foto’s gemaakt worden.
In de rest van de opgave wordt gestreefd naar een zekerheid van
minstens 99%.
Het aantal foto’s dat er gemaakt moet worden om 99% zekerheid te
hebben op minstens één gelukte foto, kun je berekenen door de volgende
vergelijking op te lossen:
Vergelijking 1:
Hierin is m het aantal mensen dat op de foto gaat en n het aantal foto’s
dat er gemaakt moet worden.
133pToon aan dat voor een groep van 50 mensen vergelijking 1 te schrijven is
als 1 − 0,881n = 0,99.
Twee examenklassen gaan een dagje naar Parijs. Bij aankomst wordt er
eerst een groepsfoto van de 50 leerlingen gemaakt.
144pBereken het aantal foto’s dat er gemaakt moet worden om minstens 99%
zekerheid te hebben op minstens één gelukte groepsfoto.
Voor groepen tot 20 mensen wordt in plaats van vergelijking 1 vaak een
eenvoudige vuistregel gebruikt voor het aantal te maken foto’s, zodat de
zekerheid op minstens één gelukte foto 99% is:
Deel het aantal mensen door drie en je hebt het aantal te maken foto’s.
Bij een groep van 18 geeft de vuistregel een aantal dat lager is dan het
aantal volgens vergelijking 1.
155pOnderzoek hoeveel foto’s meer er volgens vergelijking 1 moeten worden
gemaakt dan volgens de vuistregel.
opgave 4Bomen
In het Rodebos in Vlaanderen is door biologen veel onderzoek gedaan.
Daarbij werd onder andere gekeken naar hoogte en diameter van de
bomen en naar het aantal bomen per hectare.
Van een aantal beuken is het verband tussen de hoogte en de diameter
onderzocht. In figuur 1 zijn de gegevens van deze beuken met punten
weergegeven.
Je zou misschien verwachten dat hoe dikker de boom, hoe hoger de
boom. Uit het onderzoek blijkt dat dit niet het geval is. Vanaf een
bepaalde diameter neemt de hoogte van de boom weer af.
figuur 1
Een formule die bij het verband tussen hoogte en diameter past, is:
h = −0,0043 ⋅ d2 + 0,662 ⋅ d + 6,51
Hierin is h de hoogte in meter en d de diameter in cm.
Er is volgens de formule een diameter waarbij de hoogte zo groot mogelijk
is. Omdat de formule een kwadratisch verband beschrijft tussen h en d,
kunnen we gebruik maken van de volgende regel om de maximale hoogte
te berekenen.
Het maximum of minimum van een kwadratisch verband van de algemene
vorm
y = a ⋅ x2 + b ⋅ x + c bevindt zich bij
.
163pBereken hiermee de maximale hoogte.
Voor het onderzoek werd het Rodebos in kleine vakken van elk 1 hectare
(ha) opgedeeld. In elk vak werd het aantal bomen geteld en de
gemiddelde diameter van die bomen berekend.
In onderstaande tabel staan de resultaten van het onderzoek.
tabel 1
Uit nader onderzoek van deze gegevens blijkt dat er een verband bestaat
tussen het aantal bomen per ha en de gemiddelde diameter van de
bomen. Dit verband is van de volgende vorm:
N = c ⋅ G−1,62
Hierin is N het aantal bomen per ha, G de gemiddelde diameter in cm en
c een constante.
173pBereken c met behulp van tabel 1.
Voor een ander bos geldt een vergelijkbaar verband:
N = 290000 ⋅ G−1,59
Ook hier is N het aantal bomen per ha en G de gemiddelde diameter in
cm.
Dit bos heeft een oppervlakte van 4 ha. Er staan 12 944 bomen
gelijkmatig verdeeld in dit bos.
184pBereken met behulp van dit verband de gemiddelde diameter van die
bomen.
opgave 5Bingo
Bingo is een populair spelletje: het wordt vaak gespeeld op campings, in
sportkantines en in verzorgingstehuizen.
Bij bingo hebben alle spelers een bingokaart. Deze kaarten zijn er in vele
soorten; in deze opgave gebruiken we de kaartsoort die in figuur 1 staat.
figuur 1
In elke kolom staat een aantal getallen in een willekeurige volgorde,
waarbij geen enkel getal meer dan één keer voorkomt. Verder geldt het
volgende:
− onder de B staan 5 getallen uit 1 t/m 15;
− onder de I staan 5 getallen uit 16 t/m 30;
− onder de N staan 4 getallen uit 31 t/m 45 (en een leeg vakje in het
midden);
− onder de G staan 5 getallen uit 46 t/m 60;
− onder de O staan 5 getallen uit 61 t/m 75.
In figuur 1 staat onder de B de kolom 1-9-6-13-7. Andere
kolommogelijkheden zijn bijvoorbeeld: 4-1-12-7-3 of 13-7-6-1-9. Een
andere volgorde van de getallen betekent dus een andere
kolommogelijkheid.
193pBereken hoeveel verschillende kolommen onder de B mogelijk zijn.
Bij bingo wordt er door een spelleider steeds een willekeurig balletje
getrokken uit een bak die bij aanvang van het spel 75 balletjes bevat,
genummerd van 1 tot en met 75. De spelleider leest steeds het getal op
het getrokken balletje hardop voor en legt het balletje weg.
Als het voorgelezen getal op zijn bingokaart voorkomt, zet de speler een
kruis door dat getal. Iemand heeft bingo als alle getallen op zijn
bingokaart zijn doorgekruist.
Wiskundigen hebben voor een willekeurige bingokaart bij dit bingospel
een aantal kansformules opgesteld, waaronder:
P(bingo bij de
ne trekking) =
Voor veel kansvraagstukken wordt ook de volgende formule gebruikt:
P(bingo in maximaal
n trekkingen) =
Hierbij stelt bijvoorbeeld
voor: het aantal combinaties van 24 uit 75.
Dat is ongeveer gelijk aan 2,578 ⋅1019.
Frédérique weet dat er vaak heel veel trekkingen nodig zijn voordat haar
kaart vol is.
De kans dat zij pas bij de laatste trekking bingo heeft, is zelfs behoorlijk
groot.
204pBereken deze kans.
Het gebeurt heel vaak dat Frédérique na 65 trekkingen nog steeds geen
bingo heeft. De kans daarop is ruim 98%.
214pToon dit aan.
Onlangs had Frédérique een excursieweek. Tijdens de heenreis speelde
men in de bus enkele malen bingo. Ook toen viel het haar op: zelfs met
40 spelers die elk één kaart hebben, zijn er erg veel trekkingen nodig
voordat er een keer bingo valt.
Natuurlijk wist Frédérique (zie de vorige vraag) dat de kans op nog steeds
geen bingo na 65 trekkingen bij één speler 0,98 is. Ze had echter
verwacht dat er met 40 spelers toch in heel veel gevallen wel bij 65
trekkingen of eerder bingo zou vallen.
224pBereken de kans dat twee of meer van deze 40 spelers na 65 trekkingen
bingo hebben.
