bij dit examen
FORMULEBLAD Vuistregels voor de grootte van het verschil van twee groepen a b 2 × 2 kruistabel , met c d − als phi < − 0,4 of phi > 0,4 , dan zeggen we “het verschil is groot”, − als − 0,4 ≤ phi < − 0,2 of 0,2 < phi ≤ 0,4 , dan zeggen we “het verschil is middelmatig”, − als − 0,2 ≤ phi ≤ 0,2 , dan zeggen we “het verschil is gering”. Maximaal verschil in cumulatief percentage ( max V cp ) (met steekproefomvang n > 100 ) − als max V cp > 40 , dan zeggen we “het verschil is groot”, − als 20 < max V cp ≤ 40 , dan zeggen we “het verschil is middelmatig”, − als max V cp ≤ 20 , dan zeggen we “het verschil is gering”. X 1 − X 2 Effectgrootte E = 1 , met X 1 en X 2 de steekproefgemiddelden 2 ( S 1 + S 2 ) ( X 1 ≥ X 2 ), S 1 en S 2 de steekproefstandaardafwijkingen − als E > 0,8 , dan zeggen we “het verschil is groot”, − als 0,4 < E ≤ 0,8 , dan zeggen we “het verschil is middelmatig”, − als E ≤ 0,4 , dan zeggen we “het verschil is gering”. Twee boxplots vergelijken − als de boxen 1) elkaar niet overlappen, dan zeggen we “het verschil is groot”, − als de boxen elkaar wel overlappen en een mediaan van een boxplot buiten de box van de andere boxplot ligt, dan zeggen we “het verschil is middelmatig”, − in alle andere gevallen zeggen we “het verschil is gering”. noot 1 De ‘box’ is het interval vanaf het eerste kwartiel tot en met het derde kwartiel.
opgave 1Brandgevaar
In de zomer kan in natuurgebieden met veel bos gemakkelijk brand
ontstaan. Het risico op bosbrand wordt vooral bepaald door de
temperatuur van de lucht en door de hoeveelheid vocht in de lucht.
Om het risico op bosbrand goed in beeld te krijgen, wordt gebruikgemaakt
van een brandgevaarindex.
In Scandinavië gebruikt men als brandgevaarindex de Angström Index,
die wordt berekend met de volgende formule:
Hierin is IA de Angström Index, V de relatieve luchtvochtigheid in
procenten en T de temperatuur in °C. De relatieve luchtvochtigheid V
geeft de hoeveelheid vocht in de lucht aan ten opzichte van de
hoeveelheid vocht die de lucht maximaal kan bevatten. De relatieve
luchtvochtigheid kan niet meer dan 100% zijn.
13pRekenen met een gegeven formule 3p
Bereken de minimale en de maximale waarde van de Angström Index bij
een temperatuur van 24 °C.
Hoe lager de waarde van IA, hoe groter het risico op bosbrand. In tabel 1
kun je zien hoe de waarden van IA worden vertaald naar het risico op
bosbrand.
tabel 1
Op een bepaalde zomerdag is de relatieve luchtvochtigheid 35%.
33pRedeneren en uitleggen in de context 3p
Beredeneer zonder getallenvoorbeelden dat de formule hiermee in
overeenstemming is.
Een andere index voor brandgevaar is de Chandler Burning Index IC, die
in Noord-Amerika wordt gebruikt. Deze wordt berekend met de volgende
formule:
IC = (216 − 2,84V + 1,12T) ⋅ 0,97V
Ook in deze formule is V de relatieve luchtvochtigheid in procenten en
T de temperatuur in °C.
Als de relatieve luchtvochtigheid bekend is, dan is de formule van IC te
herleiden tot de vorm IC = a ⋅ T + b, waarbij a en b getallen zijn.
44pFormules herleiden en omwerken 3p · Rekenen met een gegeven formule 1p
Geef deze herleiding voor het geval dat de relatieve luchtvochtigheid 43%
is. Rond de waarden van a en b af op twee decimalen.
In tabel 2 kun je zien hoe de waarden van IC worden vertaald naar het
risico op bosbrand.
tabel 2
De Angström Index en de Chandler Burning Index proberen beide het
risico op bosbrand zo goed mogelijk weer te geven. Toch zijn er situaties
waarin het risico volgens de ene index groot is en volgens de andere juist
klein. Wellicht zijn er zelfs situaties waarin het risico op bosbrand volgens
de Angström Index zeer groot is en volgens de Chandler Burning Index
zeer klein.
Een brandgevaarexpert onderzoekt of er zo’n situatie mogelijk is bij een
temperatuur van 25 °C. Bij deze temperatuur kan de Angström Index
geschreven worden als
IA = 0,05V + 0,2
De Chandler Burning Index kan bij 25 °C geschreven worden als
IC = (244 − 2,84V) ⋅ 0,97V
De expert berekent met behulp van deze formules voor verschillende
relatieve luchtvochtigheden het risico op bosbrand.
55pRekenen met een gegeven formule 5p
Onderzoek of er een relatieve luchtvochtigheid mogelijk is waarbij het
risico volgens de Angström Index zeer groot is en volgens de Chandler
Burning Index zeer klein. Licht je antwoord toe.
opgave 2Referentiewaarden
Bij een bloedonderzoek worden het hemoglobinegehalte en de
hoeveelheid rode bloedcellen gemeten. In de uitslag van het onderzoek
staan van beide de gemeten waarden. Om deze uitslag te kunnen
beoordelen, worden de gemeten waarden vergeleken met de
bijbehorende referentiewaarden. Dit zijn de waarden zoals ze gevonden
worden bij 95% van de gezonde mensen. In deze opgave bekijken we de
referentiewaarden van volwassenen.
Het hemoglobinegehalte wordt uitgedrukt in millimol per liter (mmol/L)
(een mol is een eenheid voor het aantal deeltjes) en de hoeveelheid rode
bloedcellen in biljoenen per liter (1 biljoen = 1012). We gaan ervan uit dat
het hemoglobinegehalte en de hoeveelheid rode bloedcellen van gezonde
mannen normaal verdeeld zijn. Dit geldt ook voor het hemoglobinegehalte
en de hoeveelheid rode bloedcellen van gezonde vrouwen.
In de tabel staan de referentiewaarden van het hemoglobinegehalte en
van de hoeveelheid rode bloedcellen. Deze referentiewaarden liggen
symmetrisch om het gemiddelde. Zo kun je in de tabel bijvoorbeeld
aflezen dat 95% van de gezonde mannen een hemoglobinegehalte heeft
tussen 8,6 mmol/L en 11,0 mmol/L.
tabel
63pCentrum, spreiding en verdelingen 3p
Bereken de standaardafwijking van de hoeveelheid rode bloedcellen van
gezonde vrouwen. Geef je antwoord in biljoenen per liter en rond af op
één decimaal.
De standaardafwijking van het hemoglobinegehalte van zowel gezonde
mannen als gezonde vrouwen is 0,6 mmol/L.
opgave 3De aardbeving van l’Aquila
Aardbevingen verschillen in kracht. De
kracht van een aardbeving wordt meestal
weergegeven op de schaal van Richter.
In de nacht van 5 op 6 april 2009 werd de
Italiaanse stad l’Aquila getroffen door een
zware aardbeving. De avond ervoor werd er
al een lichte beving gevoeld die een kracht
had van 3,3 op de schaal van Richter. De zware aardbeving ’s nachts, die
veel schade aanrichtte, had een kracht van 6,3 op de schaal van Richter.
Bij elke aardbeving komt energie vrij. Volgens een wetenschapper geldt
de volgende vuistregel: als de kracht op de schaal van Richter met 1
toeneemt, dan is de hoeveelheid vrijgekomen energie ongeveer 30 keer
zo groot.
Er is bij de zware aardbeving ’s nachts veel meer energie vrijgekomen
dan bij de lichte beving van de avond daarvoor.
83pExponentiële functies en groei 3p
Bereken met behulp van de vuistregel hoeveel keer zoveel energie er
’s nachts vrijkwam vergeleken met de avond ervoor.
Bij een aardbeving kan de hoeveelheid vrijgekomen energie worden
berekend met de formule
E = 0,06 ⋅ 32R
In deze formule is R de kracht van de aardbeving op de schaal van
Richter en E de hoeveelheid vrijgekomen energie in MJ (megajoule).
Na de zware nachtelijke aardbeving waren er nog verschillende kleine
naschokken. Bij de naschok van 7 april ’s avonds was de hoeveelheid
energie die vrijkwam slechts 9% van de hoeveelheid energie die bij de
zware nachtelijke aardbeving vrijkwam. Toch was deze naschok ook een
zware schok.
opgave 4BMR
Mensen krijgen energie binnen via voedsel. De hoeveelheid energie in
voedsel wordt uitgedrukt in kilocalorieën (kcal). De minimale hoeveelheid
energie die iemand per dag nodig heeft om op gewicht te blijven, wordt
aangeduid met de Engelse afkorting BMR (Basal Metabolic Rate).
Diëtisten maken gebruik van formules om deze hoeveelheid te berekenen.
Een formule van de BMR voor mannen luidt:
BMR = 10 ⋅ G − 5 ⋅ J + 6,25 ⋅ L + 5
In deze formule is G het gewicht in kg, J de leeftijd in jaren, L de lengte in
cm en BMR in kcal.
Luuk is 1,88 meter lang en weegt 77 kg. Hij is 25 jaar oud.
123pRekenen met een gegeven formule 3p
Bereken aan de hand van de formule, zonder gebruik te maken van een
getallenvoorbeeld voor G en J, hoeveel Marcio’s BMR in die periode van
1 jaar verminderd is.
Voor 30-jarige mannen met een BMR van 2000 kcal kun je het gewicht
uitdrukken in de lengte. Er geldt dan G = a ⋅ L + b, waarbij a en b getallen
zijn.
133pFormules herleiden en omwerken 2p · Formules en vergelijkingen opstellen 1p
Bereken de waarden van a en b in één decimaal nauwkeurig.
In de figuur is voor 30-jarige mannen met een BMR van 1600 een grafiek
getekend die het verband tussen G en L weergeeft. De figuur staat ook op
de uitwerkbijlage.
Je kunt voor 30-jarige mannen ook bij andere BMR-waarden de grafiek
tekenen die het verband tussen G en L weergeeft.
143puitwerkbijlageRekenen met een gegeven formule 2p · Tabellen en grafieken lezen en gebruiken 1p
Teken in de figuur op de uitwerkbijlage voor 30-jarige mannen de grafiek
die hoort bij een BMR van 1800. Licht je werkwijze toe.
In de Verenigde Staten hanteert men soortgelijke formules maar met
andere variabelen. Men gebruikt voor het gewicht de variabele W (weight)
in pounds, voor de lengte de variabele H (height) in feet en voor de
leeftijd in jaren de variabele Y (years). Er geldt:
W = 2,2 ⋅ G
Y = J
H = 0,033 ⋅ L
Met deze gegevens kun je de formule van BMR opstellen zoals die in de
Verenigde Staten gebruikt wordt in de vorm
BMR =... ⋅W − 5 ⋅ Y +... ⋅ H + 5
Hierbij staan op de puntjes getallen.
opgave 5Lunchen
Een paar jaar geleden heeft men in de Verenigde Staten een onderzoek
gehouden onder mensen die in hun lunchpauze ergens gaan eten. Men
wilde weten wat er zoal als lunch besteld werd en hoeveel kilocalorieën
(kcal) de bestelde lunch bevatte.
Het onderzoek werd uitgevoerd in New York City. Uit alle
1064 lunchrestaurants die op hun website calorie-informatie hadden
staan, werden er willekeurig 167 uitgekozen waar het onderzoek werd
uitgevoerd. Verschillende teams van onderzoekers gingen rond lunchtijd
naar deze lunchrestaurants om klanten te informeren over het onderzoek.
Alleen klanten van 18 jaar en ouder mochten meedoen. Ze moesten dan
een individuele bestelling plaatsen. Wie vervolgens zijn kassabonnetje
inleverde, kreeg als beloning een metrokaartje van 2 dollar. Vrijwel alle
klanten wilden meedoen met het onderzoek, mede vanwege de beloning.
De onderzoekers kregen op deze manier heel wat kassabonnetjes in
handen. Achteraf bleek dat 5,6% van de ingeleverde kassabonnetjes
onbruikbaar was. De overige 7318 kassabonnetjes konden worden
gebruikt voor het onderzoek.
163pProcenten, verhoudingen en eenheden 3p
Bereken hoeveel dollar de onderzoekers kwijt waren aan metrokaartjes.
Omdat op de kassabonnetjes precies vermeld stond wat er besteld was,
konden onderzoekers met de calorie-informatie van de betreffende
lunchrestaurants berekenen hoeveel kcal elke lunch bevatte. Een
samenvatting van de resultaten staat in tabel 1.
tabel 1
type lunch- restau- aantal restau- aantal geldige kassa- aantal per kcal kassa-bonnetje klanten meer kcal percentage dat dan … bestelde rant rants bonnetjes gemiddelde standaard- afwijking 1000 kcal 1250 kcal broodjes 49 1989 734 361 20,0 8,8 pizza 17 272 766 449 20,6 15,1 ham- burgers 75 3857 857 336 38,6 16,5 tex-mex 3 96 900 295 41,7 17,7 kip 14 649 931 264 47,5 18,0 gemengd 9 455 821 256 35,6 16,9 totaal 167 7318 827 458 33,5 14,5
Van één type lunchrestaurant uit tabel 1 zijn de resultaten ook
weergegeven in een relatieve cumulatieve frequentiepolygoon. Deze
polygoon staat op de uitwerkbijlage.
173puitwerkbijlageTabellen en grafieken lezen en gebruiken 3p
Van welk type lunchrestaurant zijn de resultaten in de polygoon
weergegeven? Licht je antwoord toe. Je kunt daarbij de figuur op de
uitwerkbijlage gebruiken.
De aanbevolen hoeveelheid kcal voor een lunch is 750 kcal. Het lijkt erop
dat die hoeveelheid in hamburgerrestaurants ruimschoots overschreden
wordt. Het steekproefgemiddelde was daar immers veel hoger dan
750 kcal.
183pStatistische uitspraken en groepen vergelijken 3p
Onderzoek of de aanbevolen hoeveelheid van 750 kcal in het
95%-betrouwbaarheidsinterval van het populatiegemiddelde in
hamburgerrestaurants ligt.
De Amerikaanse overheid is geschrokken van de resultaten van dit
onderzoek. Ze trekt de conclusie: ‘Veel volwassenen nuttigen bij de lunch
meer dan de aanbevolen hoeveelheid kcal.’
Door de gekozen onderzoeksopzet, zoals die beschreven staat in de
inleiding van deze opgave, is de conclusie van de Amerikaanse overheid
echter te algemeen.
192pNoem hiervoor twee aspecten uit de gekozen onderzoeksopzet.
Een van de deelnemende lunchrestaurants probeert zijn klanten bewust te
maken van de hoeveelheid kcal die ze bestellen. Dit restaurant
presenteert daarom de calorie-informatie niet alleen op de website, maar
ook duidelijk zichtbaar bij het bestelpunt. De onderzoekers hebben aan de
klanten van dit restaurant gevraagd of deze informatie effect had op hun
bestelling. Die informatie hebben zij per klant gekoppeld aan zijn of haar
kassabonnetje. De resultaten staan in tabel 2.
tabel 2
Op grond van de resultaten in tabel 2 bespreken de onderzoekers de
volgende stelling: ‘Er bestaat een groot verschil in het aantal kcal per
bestelling tussen klanten die de calorie-informatie wel hebben gelezen en
klanten die de calorie-informatie niet hebben gelezen.’
opgave 6Voetafdruk
De (ecologische) voetafdruk is de hoeveelheid aardoppervlak die iemand
jaarlijks nodig heeft vanwege zijn manier van leven. Zo heeft iemand die
veel consumeert een grotere voetafdruk dan iemand die weinig
consumeert. Deze voetafdruk wordt uitgedrukt in mha (mondiale
hectares), waarbij mha staat voor een hectare aardoppervlak die gebruikt
kan worden voor onder andere landbouw, visserij of industrie.
Als de totale voetafdruk van alle mensen op de wereld 10 miljard mha (of
minder) is, dan heeft de aarde voldoende mogelijkheid om zichzelf te
herstellen. Is de totale voetafdruk meer dan 10 miljard mha, dan zal de
aarde op den duur uitgeput raken.
Al sinds lange tijd neemt zowel de wereldbevolking als de totale
voetafdruk toe. In 1974 kwam de totale voetafdruk al boven de genoemde
grens van 10 miljard mha uit.
In 2010 bestond de wereldbevolking uit 6,9 miljard mensen en was de
gemiddelde voetafdruk per persoon 2,85 mha. De totale voetafdruk in
2010 was dus 6,9 miljard × 2,85 ≈ 19,7 miljard mha.
Vanaf 2010 zijn er maatregelen getroffen om ervoor te zorgen dat de
totale voetafdruk op termijn weer onder de 10 miljard mha komt.
We doen de volgende aannames voor de periode 2010 – 2050:
− Vanaf 2010 neemt de gemiddelde voetafdruk per persoon af met
0,11 mha per jaar, totdat een gemiddelde voetafdruk per persoon van
1,20 mha bereikt is. De jaren daarna blijft de gemiddelde voetafdruk
per persoon 1,20 mha.
− De wereldbevolking neemt elk jaar toe met 0,7%.
De gemiddelde voetafdruk neemt dus af (tot 1,20 mha), maar de
wereldbevolking neemt toe. Het is daarom de vraag of de genomen
maatregelen voldoende zijn om de totale voetafdruk te laten dalen tot
onder de 10 miljard mha. Dit blijkt een aantal jaren het geval te zijn, maar
na verloop van tijd komt de totale voetafdruk toch weer boven de
10 miljard mha.
