bronnen

Eindexamen wiskunde B havo 2023, tijdvak 1

opgave 1Parabool en grafiek van een wortelfunctie

De functie f wordt gegeven door f(x) = 2√(3x − 5).
13p

Eigenschappen van functies en grafieken 2p · Lineaire en kwadratische vergelijkingen exact oplossen 1pexact

Bereken op exacte wijze het domein van f.
De functie g wordt gegeven door:
g(x) = a(x − p)2 + q
Hierin zijn a, p en q constanten.
De grafiek van g is een parabool.
Het punt A ligt op de grafiek van f en in dit punt A geldt f'(x) = (3)/(4).
Daarnaast is punt A ook de top van de grafiek van g.
Het punt B ligt op beide grafieken en heeft x-coördinaat 10.
Zie de figuur.
figuur
figuur

opgave 2Twee cirkels en twee lijnen

De cirkel c met middelpunt M is gegeven door (x + 6)2 + (y − 1)2 = 49.
Ook is gegeven de lijn l met vergelijking y = 2x.
De cirkel en de lijn snijden elkaar in de punten A en B. Punt A ligt onder
de x-as, punt B ligt boven de x-as. Zie figuur 1.
figuur 1
figuur 1
34p

Lineaire en kwadratische vergelijkingen exact oplossen 3p · Lijn en cirkel: snijpunten en raaklijnen 1pexact

Bereken algebraïsch de x-coördinaat van B. Geef je eindantwoord in twee
decimalen.
De lijn m is de horizontale raaklijn aan de onderkant van c.
Het punt C is het snijpunt van m en l.
Het punt N ligt op m op een afstand 8 rechts van C.
De cirkel d heeft N als middelpunt en straal 3.
Zie figuur 2.
figuur 2
figuur 2
46p

Afstanden met coördinaten 3p · Cirkels: vergelijking, middelpunt en straal 1p · Lijn en cirkel: snijpunten en raaklijnen 1p · +1exact

Bereken exact de afstand tussen de twee cirkels.

opgave 3Ademhaling

In deze opgave bekijken we het longvolume. Dit is de hoeveelheid lucht
in de longen van de mens. In figuur 1 is voor een bepaalde persoon in
rust weergegeven hoe dit longvolume V afhangt van de tijd. Hierbij is
V in mL en t de tijd in seconden.
figuur 1
figuur 1
Deze grafiek is te beschrijven met een formule van de volgende vorm:
V = p + q ⋅ cos(rt)
54p

Sinusoïden: periode, amplitude en formule 4pGR mag

Bereken de waarden van p, q en r. Geef niet-gehele waarden in je
eindantwoord in twee decimalen.
Als een persoon zich inspant, zal hij sneller gaan ademen. Ook ademt hij
elke keer méér lucht in dan wanneer hij in rust is.
Voor iemand die zich inspant, geldt:
V = 2500 +1200 ⋅ sin(4,19(t − 0,37))
Hierin is V het longvolume in mL en t de tijd in seconden.
In figuur 2 is een schets van de bijbehorende grafiek te zien.
figuur 2
figuur 2
De hoeveelheid lucht die deze persoon elke keer inademt, is gelijk aan
het verschil tussen het maximum en het minimum van V.
Gedurende één minuut ademt deze persoon meerdere keren in. In totaal
ademt hij dan bijna 100 liter lucht in.
64p

Sinusoïden: periode, amplitude en formule 3p · Rekenen met een gegeven formule 1pGR mag

Bereken hoeveel liter lucht deze persoon per minuut inademt. Geef je
eindantwoord als geheel getal.
Een test om na te gaan hoe goed
foto
foto
iemands longen werken is de zogeheten
spirometrietest. De persoon moet tijdens
deze test krachtig in een apparaat blazen.
Zie de foto.
Benny moet zo’n test ondergaan. Het
resultaat is te zien in de grafiek op de
uitwerkbijlage. Op de verticale as staat
het volume uitgeademde lucht in liters en
op de horizontale as de tijd in seconden.
Er is een moment waarop de snelheid waarmee de persoon uitblaast,
maximaal is. Deze maximale snelheid, in liters per minuut, wordt de PEF
(peak expiratory flow) genoemd.
74puitwerkbijlage

Helling en snelheid met de afgeleide 2p · Stijgen, dalen en veranderingsgedrag 1p · Tekenen en construeren in een figuur 1pGR mag

Bepaal met behulp van de figuur op de uitwerkbijlage de PEF van Benny
in liters per minuut. Geef je eindantwoord als geheel getal.

opgave 4Transition

Transition is een kunstwerk dat langs de autoweg N34 bij Eext in Drenthe staat. Het is een gekromde buis die gedeeltelijk ingegraven is in de grond. Zie de foto. foto In de figuur is een model weergegeven van een van de uiteindes van de buis: een cirkel met middelpunt M en straal r . Punt D is het…

Transition is een kunstwerk dat langs de autoweg N34 bij Eext in Drenthe staat. Het is een gekromde buis die gedeeltelijk ingegraven is in de grond. Zie de foto. foto In de figuur is een model weergegeven van een van de uiteindes van de buis: een cirkel met middelpunt M en straal r . Punt D is het hoogste punt van de buis. De doorgang van de buis is het deel van de cirkel boven lijnstuk AB . De basis van de doorgang is lijnstuk AB . De lengte van de basis is b . Punt C is het midden van AB . De afstand tussen C en D is de hoogte h van de doorgang. Lijnstuk CD staat loodrecht op AB . Er geldt dus CM = h − r . De figuur staat ook op de uitwerkbijlage. figuur

Er is een formule waarmee je de straal r kunt berekenen bij de gegeven basis en hoogte, namelijk: r = ¼ b 2 + h 2 (formule 1) 2 h Hierin is r de straal, b de lengte van de basis AB en h de hoogte CD . Er geldt h ≥ r . Met behulp van driehoek ACM kun je bewijzen dat formule 1 juist is.

Formules herleiden en omwerken 3p · Pythagoras, sinus, cosinus en tangens 1pexact

Bewijs dat formule 1 juist is. Je kunt hierbij de figuur op de uitwerkbijlage gebruiken. In het kunstwerk Transition is de straal r gelijk aan 1,63 m. Voor het ingraven van de buis was het handig om te weten hoe lang de basis b moest zijn. Deze lengte hangt af van de gewenste hoogte h . Je kunt…

Bewijs dat formule 1 juist is. Je kunt hierbij de figuur op de uitwerkbijlage gebruiken. In het kunstwerk Transition is de straal r gelijk aan 1,63 m. Voor het ingraven van de buis was het handig om te weten hoe lang de basis b moest zijn. Deze lengte hangt af van de gewenste hoogte h . Je kunt formule 1 herleiden tot een formule waarin b wordt uitgedrukt in h . Voor r = te schrijven in de volgende vorm: (formule 2) Hierin zijn p en q constanten.

opgave 6Twee functies

De functie f wordt gegeven door f(x) = 2 ⋅ 2x−3 − 4.
Het is mogelijk de grafiek van f door middel van transformaties te laten
ontstaan uit de grafiek die hoort bij de formule y = 2x. Dit kan op
verschillende manieren. Er is een manier die alleen gebruikmaakt van
translaties, dus zonder vermenigvuldigingen ten opzichte van x-as of
y-as.
113p

Transformaties van grafieken 2p · Formules herleiden en omwerken 1pexact

Bewijs dat er zo’n manier is. In je antwoord moeten de translaties worden
genoemd.
Op de grafiek van f ligt een punt met y-coördinaat 10.
124p

Exponentiële en logaritmische vergelijkingen exact oplossen 4pexact

Bereken exact de x-coördinaat van dit punt.
De functie g wordt gegeven door g(x) = −2x−3 + 2.
Het punt S is het snijpunt van de grafieken van f en g.

opgave 7Tienkamp

De tienkamp is een sportwedstrijd waarbij
atleten gedurende twee dagen tien
atletiekonderdelen moeten afleggen.
Twee onderdelen van de tienkamp zijn
hoogspringen en 1500 m hardlopen.
figuur bij de opgave
Met formules worden de resultaten van de onderdelen omgezet in punten.
Vervolgens worden alle punten die de atleet op de onderdelen heeft
behaald, opgeteld. De atleet met de meeste punten wint de tienkamp.
Per onderdeel is ooit bepaald wat de ondergrens is om punten te scoren.
Bij het hoogspringen was die ondergrens een hoogte van 75 cm. Daarom
krijgt de atleet 0 punten als hij 75 cm of lager springt. Bij sprongen met
een hoogte boven 75 cm behaalt de atleet wél punten. Bij een sprong met
een hoogte van 220 cm krijgt hij 1000 punten.
Bij het hoogspringen gebruikte men tot het jaar 1920 voor sprongen vanaf
75 cm een lineaire formule van de volgende vorm:
P = a ⋅ (H − b)
Hierin is P het aantal punten en H de gesprongen hoogte in centimeters
(H ≥ 75) en zijn a en b constanten.
144p

Lineaire functies 4pGR mag

Bereken de waarden van a en b. Geef niet-gehele waarden in je
eindantwoord in één decimaal.
Een lineaire formule werd niet eerlijk gevonden, omdat bijvoorbeeld een
verbetering van 75 cm naar 76 cm makkelijker te behalen is dan een
verbetering van 160 cm naar 161 cm, terwijl dat toch evenveel extra
punten oplevert. Daarom wilde men een andere formule, waarbij een
verbetering van bijvoorbeeld 1 cm, méér extra punten oplevert naarmate
er hoger wordt gesprongen.
De formule die tegenwoordig voor het hoogspringen gehanteerd wordt, is
P = 0,8465 ⋅ (H − 75)1,42
Hierin is P weer het aantal punten en H de gesprongen hoogte in
centimeters (H ≥ 75).
Het aantal punten dat je extra verdient door 1 cm hoger te springen, wordt
steeds groter.
152p

Evenredigheden en machtsverbanden 1p · Stijgen, dalen en veranderingsgedrag 1pGR mag

Leg dit uit met behulp van de formule, zonder getallen in te vullen of een
schets/tekening te maken.
De punten die bij de tienkamp-onderdelen worden behaald, worden eerst
met de bijbehorende formule berekend en daarna naar beneden afgerond
op een geheel getal. Dus als de uitkomst van de formule bijvoorbeeld
982,73 is, dan krijgt de atleet 982 punten.
Bij het onderdeel 1500 m hardlopen wordt de volgende formule gebruikt:
Q = 0,03768 ⋅ (480 − t)1,85
Hierin is Q het aantal punten en t de gelopen tijd in seconden. Deze tijd
wordt altijd gemeten in honderdsten van seconden nauwkeurig.
Op 1 juli 2019 was tot dan toe de beste prestatie bij het onderdeel
hoogspringen een sprong met hoogte 228 cm.
Er worden verschillende tijden gelopen op de 1500 m hardlopen waarmee
je méér punten behaalt dan met een sprong van 228 cm hoog.
165p

Vergelijkingen en snijpunten met de GR oplossen 3p · Rekenen met een gegeven formule 1p · Formules en vergelijkingen opstellen 1pGR mag

Bereken de langzaamste tijd waarmee je méér punten behaalt dan met
een sprong van 228 cm hoog. Geef je eindantwoord in minuten en
seconden, met het aantal seconden in twee decimalen.
Let op: de laatste vragen van dit examen staan op de volgende pagina.

opgave 8Cosinusbreuk

Voor 0 ≤ x ≤ π wordt de functie f gegeven door:
f(x) = (1)/(4cos(2(x − 1π)))3
In figuur 1 is de grafiek van f weergegeven.
figuur 1
figuur 1
De grafiek van f heeft twee verticale asymptoten.
174p

Goniometrische vergelijkingen exact oplossen 3p · Eigenschappen van functies en grafieken 1pexact

Stel op exacte wijze voor beide asymptoten een vergelijking op.
Op de grafiek van f liggen twee punten met y-coördinaat (2)/(3). Het rechter
punt is P. Lijn l is de raaklijn aan de grafiek van f in P. Zie figuur 2.
De richtingscoëfficiënt van l kan met de grafische rekenmachine worden
benaderd.
figuur 2
figuur 2
183p

Helling en snelheid met de afgeleide 2p · Vergelijkingen en snijpunten met de GR oplossen 1pGR mag

Bereken de richtingscoëfficiënt van l. Geef je eindantwoord in één
decimaal.
Bronvermelding
Een opsomming van de in dit examen gebruikte bronnen, zoals teksten en afbeeldingen, is te vinden in het bij dit examen
behorende correctievoorschrift.