opgave 1Zwangerschap
Een zwangerschapsecho foto 1 is een afbeelding van een ongeboren baby. Zie foto 1. Een echo wordt onder andere gebruikt om vast te stellen hoe lang een vrouw al zwanger is. Op de echo kan de afstand a van de bovenkant van het hoofdje tot de onderkant van de billen worden gemeten. Met behulp van de volgende formule kan dan de zwangerschapsduur d worden geschat: De zwangerschapsduur dagen en de gemeten afstand a in mm. Deze formule is alleen bruikbaar bij een zwangerschapsduur van ongeveer 8,5 tot ongeveer 13 weken. Bij een vrouw wordt een echo gemaakt. Daarbij wordt a = 55 mm gemeten.
Rekenen met een gegeven formule 2pGR mag
Bereken de geschatte zwangerschapsduur van deze vrouw. Geef je antwoord in hele weken. Als bekend is hoelang een vrouw zwanger is, kan omgekeerd berekend worden wat de afstand a bij de ongeboren baby is. Hiervoor kan de formule worden herschreven door a in d uit te drukken. Dit geeft een formule van de vorm: a = p ⋅ ( q ⋅ d − r ) 2 Mogelijke waarden van p , q en r , afgerond op twee decimalen, zijn: p = 0,96 , q = 0,12 en r = 2,95 .
Kettingregel 2p · Stijgen, dalen en veranderingsgedrag 1pexact
Vanaf 13 weken zwangerschap kan gebruik worden gemaakt van een andere formule voor een schatting van de zwangerschapsduur. Hierbij wordt de hoofdomtrek gebruikt. Op foto 2 is een dwarsdoorsnede te zien van het hoofd. foto 2 De formule voor de zwangerschapsduur vanaf 13 weken wordt gegeven door: w = 3,12958 ⋅ 1,00244 h ⋅ h 0,2794 Hierin is w de zwangerschapsduur in weken en h de hoofdomtrek in mm.
opgave 2Cirkel tussen lijnen
De lijn
l is gegeven door de vergelijking
en de lijn
m door de
vergelijking
.
Lijn l raakt cirkel c. Zie figuur 1.
figuur 1
opgave 3Raaklijn en driehoeken
De functie f wordt gegeven door f(x) = 16 − x2. Het punt P ligt op de
grafiek van f. De raaklijn aan de grafiek van f in P snijdt de positieve x-as
in het punt A en de y-as in het punt B. Zie figuur 1.
figuur 1
Punt
P is zo gekozen dat geldt
82pEigenschappen van functies en grafieken 1p · Formules en vergelijkingen opstellen 1pexact
In figuur 2 zijn de grafiek van f en de
grijze driehoeken OCQ en OQD weergegeven.
De oppervlakte van de beide driehoeken kan
worden uitgedrukt in q. De oppervlakte van
driehoek OCQ is 2(16 − q2).
Toon aan dat die oppervlakte 2(16 − q2) is.
De oppervlakte van driehoek OQD uitgedrukt
in q is gelijk aan 8q.
Punt Q is zo gekozen dat geldt: de twee
driehoeken hebben gelijke oppervlaktes.
opgave 4Een translatie en snijpunten met de x -as
De functie f wordt gegeven door f(x) = x3 + 6x2 − 36x − 88.
De punten P en Q zijn de toppen van de grafiek van f. Het middelste
snijpunt van de grafiek van f met de x-as is het punt M(−2,0).
Zie figuur 1.
figuur 1
Punt M ligt midden tussen P en Q.
114pTransformaties van grafieken 2p · Formules herleiden en omwerken 2pexact
Bewijs dat dit een formule is voor g.
In figuur 2 zijn de grafieken van f en g weergegeven.
figuur 2
Het middelste snijpunt van de grafiek van g met de x-as ligt in de
oorsprong.
De grafiek van f heeft behalve punt M nog twee snijpunten met de x-as:
het punt A en het punt B. De coördinaten van die snijpunten zijn met de
functie f moeilijk te berekenen. Met behulp van de functie g zijn de
coördinaten van deze snijpunten wel te berekenen.
opgave 5Shovel
Een shovel is een machine om zand mee te verplaatsen. In de bak van
een shovel zit zand. Om het zand te storten, wordt de bak gekanteld.
In figuur 1 staat de beginsituatie. In deze beginsituatie zijn de bovenrand
van de bak en de armen AB en ED horizontaal. Punt B ligt loodrecht
boven punt D.
Verder geldt in de beginsituatie:
− 
m,
m en
BD = 0,25 m;
figuur 1 beginsituatie
In figuur 2 staat de situatie als de bak enigszins gekanteld is. Bij het
kantelen blijven de punten B, D en E op hun plek. Door de buis bij A uit te
schuiven, wordt AB 10 centimeter langer gemaakt. De afstand AE
verandert niet. Hierdoor draait punt A om punt E heen. Arm AB loopt dan
niet meer horizontaal en
wordt groter.
figuur 2 enigszins gekanteld
Op de uitwerkbijlage is figuur 2 met de vierhoek AEDB weergegeven.
opgave 6Sinusoïde en parabool
De functie
f wordt gegeven door
. In de figuur is een
deel van de grafiek van f weergegeven. De grafiek van deze functie gaan
we in twee delen benaderen, namelijk met een deel van een parabool en
met een lijnstuk.
Het punt
A met
x-coördinaat
ligt op de grafiek van
f. Het punt
B met
dezelfde y-coördinaat als A ligt ook op de grafiek van f. Het punt T is de
top van de grafiek van f. Zie de figuur.
figuur
Het deel van de sinusoïde tussen de punten A en B is te benaderen door
de parabool die door de punten A, T en B gaat.
Een vergelijking van deze parabool is
147pRekenen met een gegeven formule 3p · Goniometrische vergelijkingen exact oplossen 3p · Sinusoïden: periode, amplitude en formule 1pexact
Bewijs dit.
De grafiek van f snijdt de y-as in het punt S. Het deel van de sinusoïde
tussen de punten S en A is te benaderen door een lijnstuk met vergelijking
. Dit lijnstuk gaat door de punten
S en
A.
De benadering van de sinusoïde tussen de punten S en B bestaat nu uit
twee delen: het lijnstuk SA en het deel van de parabool door A, T en B.
Als er in punt A geen knik is, noemen we dit een goede benadering.
Dat houdt in dat in A de helling van het lijnstuk SA gelijk is aan de helling
van de parabool.
opgave 7Afstand tussen lijnen en punt
De lijn
l wordt gegeven door de vergelijking
. De lijn
k ontstaat door
l één recht omhoog te schuiven. Het punt P bevindt zich onder l.
De afstand tussen l en P is 3. Zie de figuur.
figuur
opgave 8Dalen, stijgen en stijgen
De functie
f wordt gegeven door
.
De functie f is de som van de exponentiële functie g, gegeven door
g(x) = 3 ⋅1,12x, en de periodieke functie h, gegeven door
.
In figuur 1 zijn voor x ≥ 0 de grafieken van f en h weergegeven met
daarop de punten A en B.
figuur 1
De functie h heeft maxima en minima. Hierdoor heeft de functie f ook
maxima en minima.
Geteld vanaf de y-as wordt in punt A het 14e minimum van f bereikt en in
punt B het 14e minimum van h.
De x-coördinaat van A is afgerond op drie decimalen 13,492.
Het lijkt alsof de x-coördinaten van A en B gelijk zijn.
175pGoniometrische vergelijkingen exact oplossen 5pexact
Onderzoek op algebraïsche wijze of dit zo is.
Het snijpunt van de grafiek van f met de y-as is (0, f(0)) en dus is de
vergelijking van de horizontale lijn door dit punt y = f(0). Voor x > 0 zal
de grafiek van f de lijn met vergelijking y = f(0) op meerdere plaatsen
snijden. Zie figuur 2.
figuur 2
Vanaf een bepaalde waarde van x snijden de grafiek van f en de lijn
elkaar niet meer. Het snijpunt met de grootste x-coördinaat bevindt zich
links van punt A.
193pExtremen en optimaliseren 2p · Helling en snelheid met de afgeleide 1pGR mag
In eerste instantie is de grafiek van f
afwisselend dalend en stijgend. Vanaf
een bepaalde waarde van x is de grafiek
van f alleen nog maar stijgend. De
laatste twee dalingen vinden in het
interval [38, 40] plaats.
Tijdens elke daling van hoogste naar
laagste punt is er een punt op de grafiek
van f waar de grafiek het sterkst daalt.
In zo’n punt is de helling op dat dalende
stuk dus minimaal.
Op het laatste dalende stuk is dat in het
punt P. Zie figuur 3.
Bereken de x-coördinaat van P. Licht je
werkwijze toe. Geef je antwoord in één
decimaal.
Bronvermelding
Een opsomming van de in dit examen gebruikte bronnen, zoals teksten en afbeeldingen, is te vinden in het bij dit examen
behorende correctievoorschrift.
