bronnen

Eindexamen wiskunde A vwo 2002, tijdvak 1 (wiskunde A1,2)

opgave 1Vogels die voedsel zoeken

Vogels die voedsel zoeken op de grond vertonen vaak een karakteristiek patroon van lopen
en stilstaan. In figuur 1 is dit patroon voor twee vogelsoorten schematisch weergegeven.
50 seconden 40 ssoooorrtt IIII 30 ssoooorrtt II 20 10 0 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120 centimeters
figuur 1
Het patroon van soort I heeft de volgende drie kenmerken:
• het stilstaan duurt telkens 2 (1)/(2) seconden;
• tussen twee stops legt de vogel telkens 20 cm af;
• tussen twee stops loopt de vogel met een snelheid van 4 cm per seconde.
14p
Lees uit figuur 1 af wat deze drie kenmerken zijn van het patroon van soort II.
Om van een andere vogel (soort III) dit patroon te bepalen, is zo’n vogel gedurende een
reeks van 24 keer lopen-en-stilstaan geobserveerd.
De vogel stond in totaal 180 seconden stil.
De afgelegde afstand was in totaal 480 cm.
Het geheel duurde 420 seconden.
25p
Teken in het assenstelsel op de bijlage een grafiek zoals figuur 1 van het patroon van deze
vogel voor ten minste 45 seconden. Geef een toelichting.
Vogels die hun voedsel in bomen en struiken zoeken, doen dat vaak bij voorkeur op een
specifieke hoogte.
Gedurende een winter zijn in een bos voedselzoekende vogels geobserveerd. In tabel 1 staat
de verdeling over verschillende hoogtes van 400 waarnemingen bij pimpelmezen.
tabel 1 400 waarnemingen bij pimpelmezen
hoogte in meters <1,5 1,5 − 3 3 − 5 5 − 7 7 − 10 10 − 15 >15 aantal waarnemingen 24 26 51 72 122 92 13
38p
Toon aan dat de waargenomen hoogtes bij benadering normaal verdeeld zijn; maak gebruik
van het normaal waarschijnlijkheidspapier op je bijlage. Lees uit je tekening af hoe groot
het gemiddelde en de standaardafwijking van deze verdeling zijn. Geef beide antwoorden in
dm nauwkeurig. Licht je werkwijze toe.
De hoogtes waarop boomklevers en glanskoppen werden waargenomen, waren ook bij
benadering normaal verdeeld. Per soort staan het gemiddelde en de standaardafwijking van
deze waargenomen hoogtes in tabel 2 in meters vermeld.
tabel 2 soort
gemiddelde hoogte standaardafwijking
boomklevers 10,0
4,0
glanskoppen
4,5
1,5
Een onderzoeker let bij elk van beide vogelsoorten op de relatieve frequentie van de
waarnemingen tussen 6,0 en 8,0 meter.
44p
Onderzoek met een berekening of deze twee relatieve frequenties even groot zijn.

opgave 2Energiebronnen

Hout was vroeger de belangrijkste energiebron. In het begin van de negentiende eeuw werd
de rol van de belangrijkste energiebron overgenomen door kolen. De laatste jaren is het
aandeel van olie en gas in het totale energieverbruik steeds groter geworden.
In het boek ’Energie, een economisch perspectief ’ besteden de schrijvers Th. v.d. Klundert
en H. Peer aandacht aan de ontwikkeling van energiebronnen. Zij gebruiken daarbij de
variabele f voor het aandeel van een energiebron zoals dat zich in de loop van de tijd
ontwikkeld heeft ten opzichte van het totale energieverbruik. Dit aandeel f is een getal
waarvoor geldt dat 0 < f < 1. Hierbij betekent f = 0 dat deze energiebron helemaal niet
gebruikt wordt en f = 1 dat uitsluitend van deze energiebron gebruik gemaakt wordt.
In het boek staat een afbeelding zoals in figuur 2. Door niet f maar (f)/(1 − f) uit te zetten en
bovendien op de verticale as een aangepaste schaalverdeling te gebruiken, worden de
meeste grafieken rechte lijnen. Figuur 2 staat ook op de bijlage.
102 f 1-f 101 kolen 100 olie gas 10-1 hout kernenergie 10-2 1850 1900 1950 2000 jaar
figuur 2
53p
In welk jaar leverde hout 50% van het totale energieverbruik? Licht je antwoord toe.
Met figuur 2 hebben de auteurs informatie willen geven over het belang van verschillende
energiebronnen door de jaren heen. Opvallend is dat daarbij niet f maar (f)/(1 − f) wordt
gebruikt. Dat kan omdat bij elke waarde van (f)/(1 − f) precies één waarde van f hoort. Immers,
als f toeneemt van 0 tot 1, dan stijgt (f)/(1 − f) voortdurend.
64p
Toon die laatste bewering aan met behulp van de afgeleide van (f)/(1 − f).
Aan de hand van figuur 2 kunnen we voor f hout, het aandeel van hout in het totale
energieverbruik, de volgende formule afleiden:
(fhout)/(1 − f)_h_o_u_t = 3,03⋅ 0,96 t
In deze formule is t in jaren met t = 0 op 1 januari 1850.
Het verband tussen f hout en t kan ook in een directe vorm worden weergegeven: f hout = …
75p
Stel met behulp van de gegeven formule voor (fhout)/(1 − f)hout een formule in een directe vorm
voor f hout op.
Dergelijke formules in directe vorm zijn ook op te stellen voor f olie en f gas, het aandeel van
olie respectievelijk van gas in de totale energievoorziening. Deze formules zien er als volgt
uit:
= 0,0023 ⋅1,05t
= 0,0008 ⋅1,05t
folie 1 + 0,0023 ⋅ 1,05^t en fgas 1 + 0,0008 ⋅ 1,05^t
Op zeker moment leverden, volgens deze formules, olie en gas samen 25% van het totale
energieverbruik.
85p
Onderzoek in welk jaar dat het geval is.
De olievoorraden raken uitgeput en het kolenverbruik heeft veel milieuproblemen tot
gevolg. Daarom verwacht men dat het gasverbruik in de komende tijd zal blijven toenemen.
Al jaren stijgt het gasverbruik jaarlijks met 3,5% en men gaat ervan uit dat dit in de
komende tijd niet zal veranderen.
Deze stijging betekent dat de huidige gasreserves toereikend zijn tot het jaar 2050. Om er
voor te zorgen dat de wereld na 2050 nog voldoende gas kan blijven gebruiken, moeten
nieuwe voorraden worden ontdekt. Om een indruk te geven van wat dat laatste betekent, is
in het boek ’De grenzen voorbij’ de volgende figuur opgenomen. In deze figuur 3 geeft elk
vierkant en elke rechthoek de verbruikte of benodigde hoeveelheid gas voor een bepaalde
periode aan.
figuur 3 √(1v19ó95ó70r0)√(-111999957000-) 1990-2010
2030-2050
2010-2030
Dwedoehrdoweeenvreeoeldmlhveoaiodnkggiaanssddteeiepkenuroniogndeonen2vtd0oe5ok0rtz-2ime0no7.e0t
95p
Leg met behulp van een berekening uit hoe een jaarlijkse stijging van het gasverbruik met
3,5% in figuur 3 is te herkennen.

opgave 3Jongen of meisje

In 1988 vond het Onderzoek Gezinsvorming plaats. Hierbij werd onder andere de gezinssamenstelling onderzocht (hoeveel kinderen, hoeveel meisjes, enzovoort). Men waagde zich vervolgens ook aan voorspellingen hoe gezinnen in de toekomst samengesteld zullen zijn. Daarbij beperkten de onderzoekers zich…

In 1988 vond het Onderzoek Gezinsvorming plaats. Hierbij werd onder andere de gezinssamenstelling onderzocht (hoeveel kinderen, hoeveel meisjes, enzovoort). Men waagde zich vervolgens ook aan voorspellingen hoe gezinnen in de toekomst samengesteld zullen zijn. Daarbij beperkten de onderzoekers zich tot een voorspelling over de gezinnen van vrouwen die geboren zijn in 1960. De resultaten staan in tabel 3. tabel 3 Verwachte uiteindelijke gezinssamenstelling van vrouwen geboren in 1960 % van alle geen kinderen vrouwen 18,5 1 kind (totaal) 15,2 1 jongen 7,9 1 meisje 7,3 2 kinderen (totaal) 40,1 2 jongens 10,1 1 jongen en 1 meisje 20,9 2 meisjes 9,1 3 kinderen (totaal) 18,2 3 jongens 2,5 2 jongens en 1 meisje 7,3 1 jongen en 2 meisjes 6,3 3 meisjes 2,1 4 of meer kinderen (totaal) 8,0 uitsluitend jongens 0,5 uitsluitend meisjes 0,5 Een gezin met zowel jongens als meisjes noemt men een gemengd gezin.

→ Hoeveel procent van alle in 1960 geboren vrouwen zal volgens tabel 3 uiteindelijk een gemengd gezin hebben? Licht je antwoord toe. In tabel 3 staat in de rechterkolom het getal 18,7.
→ Laat zien hoe dit getal afgeleid kan worden uit de gegevens in de kolom met opschrift ’% van alle vrouwen’. Neem in het vervolg van de opgave aan dat onder geboorte wordt verstaan de geboorte van één kind, dus geen twee- of meerlingen. Uit bevolkingsstatistieken van Nederland en andere…

→ Laat zien hoe dit getal afgeleid kan worden uit de gegevens in de kolom met opschrift ’% van alle vrouwen’. Neem in het vervolg van de opgave aan dat onder geboorte wordt verstaan de geboorte van één kind, dus geen twee- of meerlingen. Uit bevolkingsstatistieken van Nederland en andere West-Europese landen vanaf de 18e eeuw is duidelijk dat er steeds iets meer jongens dan meisjes geboren worden. Daaruit is gebleken dat de kans op een jongen bij elke geboorte ongeveer 0,51 is. In het verleden hebben velen gezocht naar de factoren die het krijgen van een jongen dan wel een meisje zouden kunnen beïnvloeden. Een van de factoren die mogelijk van belang zijn, is de hormoonspiegel in het bloed van de ouders. Een aanwijzing hiervoor vormen de gegevens die men heeft verkregen over geboortes die tot stand kwamen na toediening van hormonen. Bij 900 van dergelijke geboortes kwam 412 keer een jongen ter wereld.

→ Onderzoek of je op grond hiervan mag concluderen dat bij dergelijke geboortes de kans op een jongen kleiner is dan 0,51. Neem hierbij een significantieniveau van 1%.

opgave 4Lentevoordeelweken

Een supermarkt houdt elk jaar in de lente een actie onder de naam ’Lentevoordeelweken’.
Tijdens die actie ontvangt iedere klant bij ten minste 50 euro aan boodschappen twee
krasloten. Op elk kraslot staat één vakje. Als men dat openkrast, wordt de afbeelding van
een kievitsei, een lammetje, een narcis of een vogelverschrikker zichtbaar.
De klant moet direct aan de kassa, voordat hij de supermarkt heeft verlaten, de twee
opengekraste krasloten inleveren. Wanneer op beide krasloten dezelfde afbeelding staat,
wint de klant een tegoedbon.
De kans op een tegoedbon hangt af van de verdeling van de vier afbeeldingen over de
krasloten.
Neem aan dat de vogelverschrikker op 10% van de krasloten voorkomt en de andere drie
afbeeldingen elk op 30% van de krasloten. De krasloten liggen, in willekeurige volgorde, op
een stapel bij de kassa.
Een klant heeft zojuist twee krasloten ontvangen.
133p
Bereken de kans dat de klant met deze twee krasloten een tegoedbon wint.
De eigenaar van de supermarkt wil niet te veel tegoedbonnen weggeven. Daarom
onderzoekt hij of een andere verdeling van de afbeeldingen over de krasloten gunstiger is.
Hij gaat er daarbij van uit dat de vogelverschrikker met een kans k op de krasloten
voorkomt en de overige drie afbeeldingen elk met een kans (1)/(3) − (1)/(3) k. Daarmee kan hij
uitrekenen hoe groot de kans is dat een klant met twee krasloten een tegoedbon wint. Die
kans is gelijk aan:
P(tegoedbon met twee krasloten) = 1(1)/(3) k ^2 − (2)/(3) k + (1)/(3)
145p
Toon aan dat de formule voor P(tegoedbon met twee krasloten) juist is.
Met behulp van deze formule kan de eigenaar nu onderzoeken voor welke waarde van k de
kans op een tegoedbon zo klein mogelijk is.
154p
Voer dit onderzoek uit.
De eigenaar van de supermarkt overweegt de mogelijkheid om elke klant die ten minste
50 euro aan boodschappen besteedt, niet twee, maar drie krasloten te geven. De klant wint
dan een tegoedbon wanneer ten minste twee keer de vogelverschrikker op deze drie
krasloten voorkomt.
Veronderstel dat de vier afbeeldingen in gelijke mate verdeeld zijn over de krasloten.
165p
Bereken de kans dat een klant in deze situatie een tegoedbon wint.

opgave 5Aardbeien

Seizoensgebonden fruit en groenten zijn maar een beperkt deel van het jaar verkrijgbaar in de winkel. Aardbeien zijn daar een voorbeeld van. De prijs van aardbeien is afhankelijk van vraag en aanbod. Als er weinig aanbod is, zullen liefhebbers van aardbeien meer willen betalen voor aardbeien: de…

Seizoensgebonden fruit en groenten zijn maar een beperkt deel van het jaar verkrijgbaar in de winkel. Aardbeien zijn daar een voorbeeld van. De prijs van aardbeien is afhankelijk van vraag en aanbod. Als er weinig aanbod is, zullen liefhebbers van aardbeien meer willen betalen voor aardbeien: de prijs stijgt. Die hogere prijs zet aardbeientelers ertoe aan om een jaar later meer aardbeien op de markt te brengen: het aanbod is dan hoger. Dat leidt ertoe dat de prijs weer zakt. En zo zet dit proces zich voort. Dit proces kan in een wiskundig model worden weergegeven: Q t v = − 2 P t + 40 (vraagvergelijking) Q t a = c ⋅ P t − 1 + d (aanbodvergelijking) Q t v = Q t a (evenwichtsvergelijking) Hierin zijn Q t v en Q t a de gevraagde, respectievelijk de aangeboden hoeveelheden in het jaar t , uitgedrukt in miljoenen kg. P t is de prijs per kg in het jaar t , uitgedrukt in euro. Neem eerst c = 1 en d = 10. Verder is gegeven dat P 0 = 4.

→ Bereken P 2 . In onderstaande figuur 4 zijn de grafieken getekend, die bij het beschreven model horen (met c = 1 en d = 10). In deze figuur staat de prijs langs de horizontale as en de hoeveelheid langs de verticale as. Deze figuur staat, vergroot, ook op de bijlage. figuur 4 Q a en Q v
→ Teken in de figuur op de bijlage de webgrafiek in het model van P 0 tot en met P 3 . Geef daarbij P 1 , P 2 en P 3 op de P -as aan. Het model zal uiteindelijk in de evenwichtsprijs stabiliseren. Bij die evenwichtsprijs hoort een evenwichtshoeveelheid.
→ Bereken de evenwichtsprijs en de bijbehorende evenwichtshoeveelheid.
In de Europese Unie wil men maatregelen nemen om het aanbod beter te regelen. Doel van deze maatregelen is dat aardbeientelers op den duur een betere prijs krijgen voor hun product. Men streeft naar een evenwichtsprijs van 12 euro. Dit betekent voor het model dat de vraagvergelijking en de…

In de Europese Unie wil men maatregelen nemen om het aanbod beter te regelen. Doel van deze maatregelen is dat aardbeientelers op den duur een betere prijs krijgen voor hun product. Men streeft naar een evenwichtsprijs van 12 euro. Dit betekent voor het model dat de vraagvergelijking en de evenwichtsvergelijking niet veranderen. De aanbodvergelijking verandert echter wel: c en d hoeven niet meer gelijk te zijn aan 1 respectievelijk 10. In het jaar dat de maatregelen van kracht worden is P = 6. Dit leidt in het jaar erop tot Q a = 13 . Neem aan dat de evenwichtsprijs van 12 euro inderdaad bereikt gaat worden.

→ Stel de nieuwe aanbodvergelijking op. Einde