opgave 1Snelheidscontroles en boetes
De politie controleert de snelheden van auto’s op snelwegen op verschillende
manieren. Een betrekkelijk nieuwe manier is de zogeheten trajectcontrole. Met
een camera wordt een auto aan het begin en aan het eind van een traject
gefotografeerd. Met een simpel rekensommetje (lengte van het traject gedeeld
door de tijd) berekent de computer
hoe hard de auto gemiddeld
gereden heeft over het traject.
Op een voorlichtingssite van het
Openbaar Ministerie wordt dit
toegelicht met een voorbeeld.
Zie de figuur hiernaast.
In dit voorbeeld legt een auto een
traject van 3 km af in 00:01:23 uur
(1 minuut en 23 seconden). De
gemiddelde snelheid is dan 130 km/uur.
Bij dergelijke metingen zijn altijd kleine meetfouten mogelijk. Daarom krijgen
automobilisten pas bij een overschrijding van 4 km/uur of meer een boete.
Op sommige trajecten vindt de controle met meer dan twee cameraposten
plaats; voor ieder deeltraject wordt dan apart de gemiddelde snelheid berekend.
De hoogte van deze gemiddelde snelheden bepaalt dan of er een boete volgt.
Op de N256 geldt een maximumsnelheid van 80 km/uur. Op deze weg is een
traject van 9 km opgedeeld in deeltraject A van 4 km en deeltraject B van 5 km.
Een automobilist rijdt met hoge snelheid en remt in de loop van het traject flink
af. Hij legt deeltraject A af met een gemiddelde snelheid van 120 km/uur en
deeltraject B met een gemiddelde snelheid van 60 km/uur.
Voor het eerste deeltraject wordt hij beboet.
15pOnderzoek door een berekening of deze automobilist een boete zou krijgen als
het traject van 9 km niet opgedeeld zou zijn in deeltrajecten.
Justitie onderscheidt drie soorten wegen, elk met een eigen boetesysteem:
buiten de bebouwde kom, autosnelwegen en binnen de bebouwde kom.
Buiten de bebouwde kom geldt voor auto’s een maximumsnelheid van
80 km/uur. Voor de boetebedragen bij snelheidsovertredingen buiten de
bebouwde kom geldt (bij benadering) de volgende formule:
Bbuiten = 16,527 ⋅1,092s
Hierbij is s de overschrijding van de maximumsnelheid in km/uur en Bbuiten het
onafgeronde boetebedrag in euro’s. Het uiteindelijke boetebedrag wordt
afgerond op hele euro’s.
Bijvoorbeeld: bij een snelheid v = 90 km/uur hoort een snelheidsoverschrijding
s = 10 km/uur. Het bijbehorende boetebedrag in euro’s is 16,527 ⋅1,09210 ≈ 39,85
en dit wordt afgerond op 40 euro.
Verkeersonderzoekers gebruiken liever een formule waarin niet de
snelheidsoverschrijding s voorkomt, maar de werkelijke snelheid v in km/uur.
Zo’n formule is van de vorm Bbuiten = a ⋅1,092v.
24pBereken de constante a in vier decimalen nauwkeurig.
Het boetebedrag op de autosnelweg (in euro’s) hangt ook af van de grootte van
de overschrijding van de maximumsnelheid (in km/uur). Zie onderstaande tabel.
tabel
Omdat bij hogere snelheden het risico van een ongeval steeds meer toeneemt,
vertonen de boetebedragen in de tabel een toenemende stijging. Althans, zo lijkt
het op het eerste gezicht, maar de stijging van de boetebedragen is soms
afnemend. Een voorbeeld: als de overschrijding toeneemt van 5 km/uur naar
6 km/uur neemt het boetebedrag met 4 euro toe, terwijl van 6 km/uur naar
7 km/uur de toename 3 euro is. Dat komt doordat de boetebedragen eerst met
een formule zijn berekend en vervolgens afgerond op hele euro’s.
Voor de boetebedragen bij snelheidsovertredingen binnen de bebouwde kom
geldt (bij benadering) de volgende formule:
Bbinnen = 3,018 ⋅ s1,212
Hierbij is s de overschrijding van de maximumsnelheid in km/uur en Bbinnen het
onafgeronde boetebedrag in euro’s. Het uiteindelijke boetebedrag wordt
afgerond op hele euro’s.
34pToon aan dat zich bij deze formule ook het verschijnsel voordoet dat de stijging
van de afgeronde boetebedragen soms afnemend is.
44pStel een formule op voor de afgeleide van Bbinnen en toon daarmee aan dat de
onafgeronde boetebedragen bij deze formule toenemend stijgen.
opgave 2500 meter schaatsen
De prestaties van een wedstrijdschaatser zijn afhankelijk van zijn of haar
conditie, maar ook van externe factoren zoals de kwaliteit van het ijs en de
weersomstandigheden. Als een schaatser in een seizoen op dezelfde ijsbaan
meerdere keren een 500 meter aflegt, kunnen we de invloed van externe
factoren vrijwel verwaarlozen. We gaan er daarom van uit dat de 500-meter-
tijden in dat geval normaal verdeeld zijn.
Benjamin is een jonge schaatser, die altijd traint op dezelfde ijsbaan in Utrecht.
Zijn trainingstijden op de 500 meter zijn normaal verdeeld met een gemiddelde
van 39,72 seconden en een standaardafwijking van 0,43 seconden.
53pBereken hoeveel procent van de trainingstijden op de 500 meter van Benjamin
onder de 39 seconden ligt.
Ook Sabrina traint op deze baan voor de 500 meter. Haar gemiddelde tijd is
41,32 seconden. Van de 100 trainingsritten op de 500 meter reed zij 25 keer
onder de 41 seconden. Met behulp van deze gegevens en het feit dat haar
trainingstijden normaal verdeeld zijn, kan de bijbehorende standaardafwijking
van de trainingstijden van Sabrina berekend worden.
64pBereken deze standaardafwijking in twee decimalen nauwkeurig.
Benjamin en Sabrina trainen vrijwel altijd samen. Ze willen hun trainingsritten
elke trainingsdag in een andere volgorde rijden. Toen ze als junioren allebei
dagelijks 3 trainingsritten reden, begonnen ze op de eerste trainingsdag met de
volgorde BSSBBS en waren ze al na 20 trainingsdagen door alle mogelijke
volgordes heen. Nu ze senioren zijn, rijden ze elke trainingsdag ieder hetzelfde,
grotere aantal trainingsritten. Sabrina heeft uitgerekend dat ze nu aan een jaar
niet eens genoeg hebben om alle mogelijke volgordes uit te proberen.
74pOnderzoek hoeveel trainingsritten ze elk per trainingsdag minstens rijden.
Veel schaatsers vinden het een voordeel om
op de 500 meter tijdens de laatste bocht in de
buitenbaan te rijden. De snelheid is dan ruim
50 km/uur en in de binnenbaan blijf je
moeilijker overeind. Bij een toernooi worden
dan ook altijd twee 500 meters verreden: elke
schaatser rijdt de laatste bocht een keer in de
binnenbaan en een keer in de buitenbaan.
Een toeschouwer denkt dat het rijden van de laatste bocht in de buitenbaan een
grotere kans biedt op winst in de rit dan het rijden van de laatste bocht in de
binnenbaan. Tijdens een wereldkampioenschap eindigden 26 van de 40
schaatsers in een snellere tijd op de 500 meter wanneer zij de laatste bocht in
de buitenbaan reden dan wanneer zij die in de binnenbaan reden.
86pBereken of dit resultaat aanleiding geeft om te veronderstellen dat de
toeschouwer gelijk heeft. Hanteer een significantieniveau van 5%.
opgave 3Morfine
In het ziekenhuis krijgen patiënten vaak een pijnstiller toegediend. Als pijnstiller
gebruikt men meestal een oplossing van morfine en een oplosmiddel zoals
gedestilleerd water.
De concentratie van morfine in opgeloste vorm geeft men aan met een
percentage. Zo bedoelt men met morfine-2% dat er in elke 100 milliliter van de
oplossing 2 gram (2000 milligram) morfine aanwezig is.
In de praktijk beschikt men in een ziekenhuis vaak over kant-en-klare
oplossingen, die verdund worden met het oplosmiddel om een oplossing met
een lagere concentratie te verkrijgen.
Veronderstel dat men beschikt over morfine-3% en men wil daarmee morfine-1%
maken.
93pBereken hoeveel milliliter oplosmiddel er per 100 milliliter morfine-3% moet
worden toegevoegd.
Morfine kan ook in combinatie met een andere pijnstiller, bupivacaïne, gebruikt
worden. Een mogelijke situatie is de volgende:
− Neem 2 ampullen van elk 10 milliliter met een oplossing van
bupivacaïne-0,5%.
− Neem 3 ampullen van elk 10 milliliter met een morfine-oplossing.
− Meng de inhoud van deze vijf ampullen.
− Dien van deze oplossing 3,5 milliliter per uur toe.
104pBereken hoeveel milligram bupivacaïne de patiënt per uur krijgt.
Een andere manier om morfine toe te dienen is door middel van injecties.
De hoeveelheid morfine in het lichaam neemt na de injectie exponentieel af.
De injectie wordt na 6 uren herhaald, want na die tijd is de hoeveelheid morfine
in het lichaam te gering om nog werkzaam te zijn.
De halfwaardetijd van morfine is ongeveer 2,5 uur. Dat betekent dat na 2,5 uur
de hoeveelheid morfine in het lichaam is gehalveerd.
Uit deze gegevens volgt dat 6 uur na de injectie de hoeveelheid morfine in het
lichaam 19% is van de oorspronkelijke hoeveelheid vlak na de injectie.
114pToon dit met een berekening aan.
opgave 4RSI
Beursanalisten geven op verschillende manieren aan hoe de waarde van een
aandeel zich ontwikkelt. Daarvoor gebruiken ze zogenoemde indicatoren.
De Amerikaan J. Welles Wilder introduceerde in 1978 een indicator die bekend
staat onder de naam RSI, de relatieve sterkte-index.
Om de RSI van een aandeel te berekenen, gaat men als volgt te werk:
− neem de slotkoersen van het aandeel gedurende 14 dagen;
− bereken voor elke dag de winst of het verlies ten opzichte van de vorige dag;
− tel alle winsten bij elkaar op en tel alle verliezen bij elkaar op;
− bereken de relatieve sterkte:
;
− bereken daarna
RSI met de formule
.
De waarden van r en RSI worden afgerond op twee decimalen.
Bij deze formule ging Wilder ervan uit dat een aandeel gedurende 14 dagen niet
alleen maar winst zal maken. In dat geval is namelijk het totale verlies gelijk aan
0 en dan bestaat r niet.
In onderstaande tabel zie je een voorbeeld. Van 15 juni 2007 tot en met 4 juli
2007 is van een aandeel de winst of het verlies ten opzichte van de dag ervoor
berekend. Om de winst op 15 juni te berekenen is de slotkoers van 14 juni
nodig. Daarom staan in de tabel de slotkoersen van 15 dagen.
tabel
datum slotkoers (in €) winst (in €) verlies (in €) 14-06-2007 21,75 – – 15-06-2007 22,66 0,91 18-06-2007 22,71 0,05 19-06-2007 22,57 0,14 20-06-2007 22,66 0,09 21-06-2007 22,33 0,33 22-06-2007 22,13 0,20 25-06-2007 21,92 0,21 26-06-2007 22,32 0,40 27-06-2007 22,10 0,22 28-06-2007 22,13 0,03 29-06-2007 22,21 0,08 02-07-2007 22,27 0,06 03-07-2007 22,72 0,45 04-07-2007 22,45 0,27 totaal 2,07 1,37
Op 4 juli 2007 was
en dus
RSI = 60,16.
De slotkoers van het aandeel was op de twee volgende dagen (5 en 6 juli 2007)
22,68 respectievelijk 22,55.
124pBereken de waarde van RSI op 6 juli 2007.
Aan de manier waarop r wordt berekend, kun je zien dat r toeneemt naarmate
het aandeel ‘beter presteert’.
Voor RSI kunnen we ook zo’n conclusie trekken: RSI neemt toe naarmate het
aandeel beter presteert, dus wanneer r toeneemt.
134pBereken de afgeleide van RSI en toon daarmee aan dat de conclusie die hier
boven staat, correct is.
Je kunt ook, zonder gebruik te maken van de afgeleide, aan de hand van de
formule laten zien dat de conclusie die hierboven staat, correct is.
143pToon dit aan.
Aan de waarde van RSI kun je snel zien of het aandeel in een periode van
14 dagen meer verloren heeft dan gewonnen.
154pLeg uit hoe je dat kunt zien.
Een belegger hanteert de regel dat je het aandeel moet verkopen wanneer
RSI > 70.
164pBereken bij welke waarden van r je volgens deze regel het aandeel moet
verkopen.
helemaal niet nodig om eerst r uit te rekenen. Je kunt de formule van RSI zo
herleiden dat deze direct afhangt van de totale winst TW en het totale verlies TV
van het aandeel, als je gebruik maakt van
.
Als je dat doet, ziet de formule er als volgt uit:
174pHerleid deze formule tot
.
opgave 5Schroeven
Een fabriek produceert grote hoeveelheden schroeven. Bij het produceren van
schroeven is het onvermijdelijk dat een (klein) percentage van de
geproduceerde schroeven ondeugdelijk is.
Er wordt elk uur een steekproef genomen. De schroeven die in een uur
geproduceerd zijn, worden een partij genoemd. Op grond van de uitkomst van
de steekproef wordt een partij schroeven goedgekeurd of afgekeurd.
Er wordt elk uur een steekproef van 10 schroeven genomen. De partij wordt
afgekeurd als er 1 of meer ondeugdelijke schroeven in de steekproef gevonden
worden. Bij steekproefgrootte 10 kan een formule gemaakt worden waarbij de
kans dat de partij wordt afgekeurd (K) wordt uitgedrukt in het percentage
ondeugdelijke schroeven in de partij (p):
183pToon dit aan.
Het is redelijk dat een klant verlangt dat een slechte partij bijna zeker wordt
afgekeurd. We definiëren deze twee vetgedrukte begrippen als volgt:
Een partij is slecht als het percentage ondeugdelijke schroeven p = 5 of groter
is;
Bijna zeker afkeuren betekent afkeuren met een kans van ten minste 0,80.
Bij steekproefgrootte n is een formule waarbij K wordt uitgedrukt in p als volgt:
Om te berekenen hoe groot de steekproefgrootte n minstens moet zijn zodat een
slechte partij bijna zeker wordt afgekeurd, hoeven we in de formule
slechts te kijken naar het geval
p = 5.
194pBereken hoe groot de steekproefgrootte n in dit geval minstens moet zijn.
Het vergroten van de steekproef terwijl de partij nog steeds afgekeurd wordt als
er 1 of meer ondeugdelijke schroeven in de steekproef zitten, heeft ook een
nadeel. Een goede partij heeft dan een tamelijk grote kans om afgekeurd te
worden. We definiëren een partij als goed als het percentage ondeugdelijke
schroeven p = 1 of kleiner is.
Daarom zal een fabrikant verlangen dat voor een goede partij de kans om
afgekeurd te worden kleiner is dan 0,10.
Als een partij pas wordt afgekeurd bij 3 of meer ondeugdelijke schroeven in de
steekproef en er wordt een steekproef van 100 schroeven genomen, dan kan
onderzocht worden of aan het verlangen van zowel de klant als de fabrikant
wordt voldaan.
206pVoer dit onderzoek uit.
