bronnen

Eindexamen wiskunde A vwo 2012, tijdvak 1

bij dit examen

OVERZICHT FORMULES Kansrekening toevalsvariabelen X en Y geldt: E ( X + Y ) = E ( X ) + E ( Y ) onafhankelijke -wet: bij een serie van n onafhankelijk van elkaar herhaalde experimenten voor de som S en het gemiddelde X van de uitkomsten X : = n ⋅ E ( X ) σ ( S ) = n ⋅ σ ( X ) ) = E ( X ) Binomiale…

OVERZICHT FORMULES Kansrekening toevalsvariabelen X en Y geldt: E ( X + Y ) = E ( X ) + E ( Y ) onafhankelijke -wet: bij een serie van n onafhankelijk van elkaar herhaalde experimenten voor de som S en het gemiddelde X van de uitkomsten X : = n ⋅ E ( X ) σ ( S ) = n ⋅ σ ( X ) ) = E ( X ) Binomiale Voor de binomiaal verdeling verdeelde toevalsvariabele X , waarbij n het aantal experimenten is en p de kans op succes per keer, geldt: n k n − k P( X = k ) = ⋅ p ⋅ (1 − p ) met k = 0, 1, 2, 3, …, n Verwachting: E ( X ) = n ⋅ p Normale Voor een verdeling toevalsvariabele X die normaal verdeeld is met gemiddelde μ en Z = is standaard-normaal verdeeld en P( X < g ) = P( Z < Differentiëren Logaritmen regel voorwaarde g log a + g log b = g log ab g >0, g ≠ 1, a >0, b >0 g g g a log a − log b = log b g >0, g ≠ 1, a >0, b >0 g log a p = p ⋅ g log a g >0, g ≠ 1, a >0 p log a g log a = g >0, g ≠ 1, a >0, p >0, p ≠ 1 log a = p log g g >0, g ≠ 1, a >0, p >0, p ≠ 1

opgave 1Schroefas

Een belangrijk onderdeel van een boot is de schroefas. Deze as wordt door de motor in beweging gebracht. Daardoor gaat de schroef van het schip draaien en dan kan de boot varen. De motor, de schroefas en de schroef samen noemen we hier het aandrijfsysteem van de boot. foto het plaatsen van een…

Een belangrijk onderdeel van een boot is de schroefas. Deze as wordt door de motor in beweging gebracht. Daardoor gaat de schroef van het schip draaien en dan kan de boot varen. De motor, de schroefas en de schroef samen noemen we hier het aandrijfsysteem van de boot. foto het plaatsen van een schroefas De minimale diameter van de schroefas die nodig is, hangt af van de prestaties die de motor van deze boot kan leveren. In figuur 1 zie je een grafiek om de minimale diameter van de as vast te stellen. Figuur 1 vind je ook vergroot op de uitwerkbijlage. In dit zogenoemde nomogram zie je drie schalen: − de linkerschaal: het aantal toeren (of omwentelingen) per minuut (tpm). Dit wordt ook wel het toerental genoemd; − de middelste schaal: de diameter van de schroefas, gemeten in mm; − de rechterschaal: het vermogen, uitgedrukt in paardenkracht (pk). Zoals je kunt zien, is elk van de drie schalen niet-lineair. figuur 1

Wanneer je een lijn trekt door de drie schalen kun je een van de drie waarden bepalen als je de andere twee weet. Zo hoort volgens figuur 1 bij een motor van 200 pk en 1200 tpm een asdiameter van (ten minste) 45 mm. Python-Drive is een bedrijf dat aandrijfsystemen maakt. Op hun website staat dat…

Wanneer je een lijn trekt door de drie schalen kun je een van de drie waarden bepalen als je de andere twee weet. Zo hoort volgens figuur 1 bij een motor van 200 pk en 1200 tpm een asdiameter van (ten minste) 45 mm. Python-Drive is een bedrijf dat aandrijfsystemen maakt. Op hun website staat dat alle systemen van het type P60-K (70 pk, 2600 tpm) een asdiameter hebben tussen 30 en 40 mm.

Onderzoek met behulp van figuur 1 op de uitwerkbijlage of de asdiameter van dit type groot genoeg is. In het voorbeeld in figuur 1 zie je een motor van 200 pk en 1200 tpm met een bijbehorende asdiameter van 45 mm. Er zijn ook wel motoren te vinden met een ander vermogen en een ander toerental…

Onderzoek met behulp van figuur 1 op de uitwerkbijlage of de asdiameter van dit type groot genoeg is. In het voorbeeld in figuur 1 zie je een motor van 200 pk en 1200 tpm met een bijbehorende asdiameter van 45 mm. Er zijn ook wel motoren te vinden met een ander vermogen en een ander toerental waarbij dezelfde asdiameter van 45 mm hoort. Dan valt op dat een groter vermogen een hoger toerental oplevert.

Leg uit hoe je dat in figuur 1 kunt zien. Lloyd’s is een organisatie die zich bezighoudt met het opstellen van regels voor de controle op de zeewaardigheid van schepen. Volgens een van deze regels moet de diameter D van de schroefas voldoen aan de volgende formule: In deze uitgedrukt in mm, het…

Leg uit hoe je dat in figuur 1 kunt zien. Lloyd’s is een organisatie die zich bezighoudt met het opstellen van regels voor de controle op de zeewaardigheid van schepen. Volgens een van deze regels moet de diameter D van de schroefas voldoen aan de volgende formule: In deze uitgedrukt in mm, het vermogen P uitgedrukt in pk en het toerental In een tijdschrift dat gaat over aandrijfsystemen kun je figuur 2 tegenkomen. In deze figuur zie je voor enkele waarden van D het verband getekend tussen de bijbehorende waarden van P en R . figuur 2 In zo’n figuur kan elk aandrijfsysteem met een punt worden weergegeven. Zo hoort het punt A bij het aandrijfsysteem met waarden (1200, 150, 40).

In figuur 2 is punt B aangegeven. Bij dit aandrijfsysteem is het vermogen goed af te lezen. De waarde van het toerental is echter niet nauwkeurig af te lezen, maar met behulp van de formule kunnen we deze wel berekenen.
Bereken met behulp van de formule het toerental dat bij dit aandrijfsysteem hoort. In enkele gevallen komt het voor dat de asdiameter al bekend is, bijvoorbeeld wanneer alleen de motor moet worden vervangen. Dan is het handig om de formule anders te schrijven. We gaan uit van een asdiameter van 30…

Bereken met behulp van de formule het toerental dat bij dit aandrijfsysteem hoort. In enkele gevallen komt het voor dat de asdiameter al bekend is, bijvoorbeeld wanneer alleen de motor moet worden vervangen. Dan is het handig om de formule anders te schrijven. We gaan uit van een asdiameter van 30 mm.

Herschrijf de formule hierboven zo dat je een formule krijgt waarin P uitgedrukt wordt in R .

opgave 2Hooikoorts

Hooikoorts is een vervelende allergische aandoening foto
waar veel mensen last van hebben. Iemand die last uitvergrote pollen
heeft van hooikoorts, reageert op zogenoemde pollen
in de lucht, die afkomstig zijn van bomen en grassen
die in bloei staan. De allergische reactie veroorzaakt
naast irritatie aan ogen, neus en keel ook hoest- en
niesbuien.
In Nederland heeft 13% van de bevolking last van
hooikoorts.
figuur bij de opgave
Een onderzoeker van PharmaCie, een medicijnenfabrikant, ondervraagt 135
aselect gekozen mensen.
55p
Bereken in drie decimalen nauwkeurig de kans dat minstens 20% van de
ondervraagden hooikoorts heeft.
PharmaCie brengt een nieuw medicijn tegen hooikoorts op de markt. Het nieuwe
medicijn van PharmaCie wordt in pilvorm verkocht.
Als een patiënt klachten krijgt, neemt hij een pil. De werkzame stof komt dan via
de maag en de darm in de bloedbaan terecht. De hoeveelheid werkzame stof in
de bloedbaan stijgt eerst en neemt daarna af omdat de stof door het lichaam
wordt afgebroken. De concentratie van de werkzame stof in de bloedbaan
noemen we C. In figuur 1 zie je een schets van de grafiek van C.
figuur 1
C in mg/cm3 O t in uren
Een onderzoeker van PharmaCie stelt de volgende formule op die dit verloop
redelijk benadert:
C_1(t) = (16t)/(190t2 + 60)
Hierin is C1 de concentratie werkzame stof in mg/cm3 en t de tijd in uren na het
innemen van de pil.
66p
Bereken met behulp van de afgeleide van C1 na hoeveel minuten, gerekend
vanaf het moment dat de pil is ingenomen, de concentratie werkzame stof
maximaal is.
Een andere onderzoeker stelt een geheel andere formule op die er als volgt uit
ziet:
C2(t) = 0,13(1,92−t − 1,92−6t)
Hierin is C2 de concentratie werkzame stof in mg/cm3 en t weer de tijd in uren na
het innemen van de pil.
Hoewel de grafieken van C1 en C2 beide erg op de grafiek in figuur 1 lijken,
verschillen de momenten waarop het maximum bereikt wordt wel van elkaar.
Voor de afgeleide van C2 geldt bij benadering:
C'2(t) = 0,0848(−1,92−t + 6 ⋅1,92−6t)
74p
Onderzoek met behulp van de afgeleide C'2 of het maximum van C2 eerder of
later dan het maximum van C1 optreedt.

opgave 3Waardepunten

De verpakkingen van Douwe Egberts koffie zijn voorzien van (waarde)punten
die je kunt sparen. Met deze punten kun je bepaalde producten kopen. Op de
website van Douwe Egberts (DE) stond tot 2009 het volgende:
− per artikel zijn je eerste 100 punten € 1,50 waard; je moet dan wel betalen
met minimaal 100 punten;
− daarna zijn per artikel iedere 100 punten € 0,50 waard;
− betalen met iedere combinatie van punten en geld mag altijd.
foto
Voorbeeld
Kop en schotel van hiernaast kosten samen € 5,-.
Je kunt deze kop en schotel dan kopen voor € 5,- of
gratis meenemen voor 800 punten. Ook kun je
400 punten inleveren en nog € 2,- bijbetalen.
foto
Bij DE kost een gebaksbordje € 9,30 en een taartplateau € 46,50.
Marieke wil graag 6 gebaksbordjes en een taartplateau kopen. Ze heeft
12 000 waardepunten en wil zo min mogelijk euro’s bijbetalen.
84p
Bereken hoeveel euro’s Marieke moet bijbetalen.
Op de website staat ook een puntencalculator. Deze calculator geeft per artikel
aan hoeveel euro’s je punten waard zijn. Je moet dan wel minstens 100 punten
hebben.
Je tikt het aantal punten in en op het scherm verschijnt de bijbehorende waarde
in euro’s voor één artikel. De calculator maakt gebruik van de volgende lineaire
formule:
W = 1 + 0,005 p
In deze formule is p het aantal punten (met p ≥ 100) en W de waarde in euro’s.
94p
Leid deze formule af uit bovenstaande voorwaarden.
Er zijn ook andere spaarsystemen te bedenken, bijvoorbeeld een systeem
waarbij klanten die veel punten sparen daarvoor iets meer beloond worden. Zo
bedenkt Alwin, een wiskunde A-leerling uit 6V, een ander systeem. Zie de tabel.
tabel
aantal punten 100 1100 2100 3100 5100 7100 9100 waarde in euro’s 1,50 2,14 3,06 4,37 8,90 18,15 37,01
Je kunt in de tabel zien dat er geen lineair verband is tussen het aantal punten
en de waarde in euro’s.
Verder gelden ook bij het systeem van Alwin vergelijkbare voorwaarden als bij
het officiële DE-systeem:
− per artikel zijn je eerste 100 punten €1,50 waard; je moet dan wel betalen
met minimaal 100 punten;
− betalen met iedere combinatie van punten en geld mag altijd.
In het systeem van Alwin is er sprake van een (bij benadering) exponentieel
verband.
104p
Laat voor alle waarden in de tabel zien dat er inderdaad (bij benadering) sprake
is van een exponentieel verband en bereken de groeifactor per 1000 punten in
drie decimalen nauwkeurig.
Het Douwe Egberts Geschenkensysteem is, althans volgens DE in 2009, het
oudste nog actieve spaarsysteem van Nederland. Op de website staat dat bijna
zeven van de tien Nederlandse huishoudens de waardepunten sparen. Zie het
citaat hieronder.
citaat
1924 – Ontstaan geschenken artikelen “Wij hopen u steeds onder de geregelde gebruikers van Douwe Egberts producten te mogen rekenen”. Met deze woorden werd in 1924 het geschenkensysteem geïntroduceerd. Een…

1924 – Ontstaan geschenken artikelen “Wij hopen u steeds onder de geregelde gebruikers van Douwe Egberts producten te mogen rekenen”. Met deze woorden werd in 1924 het geschenkensysteem geïntroduceerd. Een succesvolle poging om de klant aan de producten van DE te binden, want het systeem bestaat inmiddels bijna tachtig jaar en is daarmee het oudste nog actieve spaarsysteem van Nederland. Bijna zeventig procent van alle huishoudens spaart Douwe Egberts waardepunten en jaarlijks gaan ruim 2,5 miljoen geschenken over de toonbank.

Volgens een consumentenorganisatie is deze informatie misleidend en wordt het
aantal huishoudens dat spaart, overdreven. Uit een steekproef onder
640 aselect gekozen huishoudens blijkt dat 403 van deze huishoudens de
punten sparen.
Als we als nulhypothese H0: p = 0,70 nemen, is dit steekproefresultaat
inderdaad significant afwijkend, uitgaande van een significantieniveau van 5%.
Als we als nulhypothese H0: p = 0,65 nemen, is dit steekproefresultaat niet
significant afwijkend bij hetzelfde significantieniveau.
117p
Bereken bij welke waarde van p het steekproefresultaat nog net niet significant
afwijkend is. Geef de waarde van p in twee decimalen nauwkeurig.

opgave 4Selectief cijferen

In januari 2008 verscheen er in de NRC een artikel over de becijfering van een tentamen Recht. In figuur 1 zie je de verdeling van de cijfers voor dat tentamen. figuur 1 totaal aantal cijfers:764 200 173 frequentie 145 100 86 73 0 18 1 39 2 3 4 48 5 cijfer Uit de gegevens in figuur 1 volgt dat het…

In januari 2008 verscheen er in de NRC een artikel over de becijfering van een tentamen Recht. In figuur 1 zie je de verdeling van de cijfers voor dat tentamen. figuur 1 totaal aantal cijfers:764 200 173 frequentie 145 100 86 73 0 18 1 39 2 3 4 48 5 cijfer Uit de gegevens in figuur 1 volgt dat het gemiddelde van de tentamencijfers 5,4 was en de standaardafwijking 1,9.

Bereken het gemiddelde en de standaardafwijking in twee decimalen nauwkeurig. De schrijvers van het artikel waren erg kritisch. Zij waren van mening dat er opvallend weinig cijfers 5 waren uitgedeeld en beargumenteerden dit op de volgende manier. Bij dergelijke toetsen verwacht men meestal dat de…

Bereken het gemiddelde en de standaardafwijking in twee decimalen nauwkeurig. De schrijvers van het artikel waren erg kritisch. Zij waren van mening dat er opvallend weinig cijfers 5 waren uitgedeeld en beargumenteerden dit op de volgende manier. Bij dergelijke toetsen verwacht men meestal dat de cijfers bij benadering normaal verdeeld zijn. Hier was dit echter duidelijk niet het geval. Wanneer de tentamencijfers wèl normaal verdeeld zouden zijn met gemiddelde 5,4 en standaardafwijking 1,9, dan zouden veel meer dan 48 studenten het cijfer 5 gekregen hebben.

Bereken met behulp van die normale verdeling hoeveel studenten in dat geval het cijfer 5 gekregen zouden hebben. In het artikel werd een mogelijke verklaring voor de vreemde verdeling van de cijfers gegeven. Er zouden bewust zeer weinig cijfers 5 zijn uitgedeeld omdat studenten die het cijfer 5…

Bereken met behulp van die normale verdeling hoeveel studenten in dat geval het cijfer 5 gekregen zouden hebben. In het artikel werd een mogelijke verklaring voor de vreemde verdeling van de cijfers gegeven. Er zouden bewust zeer weinig cijfers 5 zijn uitgedeeld omdat studenten die het cijfer 5 krijgen, extra begeleid moeten worden. De schrijvers vermoedden dat de correctoren aan 10 studenten een 6 hebben gegeven in plaats van een 5 en aan 80 studenten een 4 in plaats van een 5. Volgens deze verklaring zou er dus met de cijfers gemanipuleerd zijn. Bij de volgende vraag gaan we ervan uit dat deze verklaring juist is. Dan kunnen we onderzoeken of de cijfers voordat ze veranderd werden bij benadering normaal verdeeld waren.

opgave als beeld van het examen
Onderzoek dit met behulp van het normaal waarschijnlijkheidspapier op de uitwerkbijlage. In het artikel werd ook nog een tweede verklaring genoemd voor de vreemde verdeling van de cijfers. De groep studenten die dit tentamen had gemaakt, zou niet homogeen zijn maar bestaan uit twee homogene en…

Onderzoek dit met behulp van het normaal waarschijnlijkheidspapier op de uitwerkbijlage. In het artikel werd ook nog een tweede verklaring genoemd voor de vreemde verdeling van de cijfers. De groep studenten die dit tentamen had gemaakt, zou niet homogeen zijn maar bestaan uit twee homogene en ongeveer even grote subgroepen, namelijk de werkers en de niet-werkers. Daar gaan we in de rest van deze opgave naar kijken. Neem aan dat de cijfers van de werkers normaal verdeeld waren met gemiddelde 6,7 en standaardafwijking 1,5 en de cijfers van de niet-werkers normaal verdeeld waren met gemiddelde 3,4 en standaardafwijking 1,2. In figuur 2 zie je vier grafieken getekend die horen bij vier verschillende normale verdelingen. Grafiek A hoort bij de cijfers van de werkers. figuur 2 Eén van de overige drie grafieken B, C en D hoort bij de niet-werkers. Dat is grafiek D.

Leg uit waarom grafieken B en C niet kunnen horen bij de cijfers van de niet-werkers.

opgave 5Behendigheid

In Nederland wordt er verschil gemaakt tussen kansspelen en
behendigheidsspelen. Een spel als roulette, waarbij de speler geen enkele
invloed kan uitoefenen op het verloop van het spel (en dus ook niet op zijn
winst-/verlieskansen) is duidelijk een kansspel. Een spel als schaken echter
waarbij een speler zijn winst-/verlieskansen zelf kan beïnvloeden door oefening
is natuurlijk een behendigheidsspel. Er zijn echter ook verschillende spelen
waarbij niet meteen vast te stellen is om welke categorie het gaat.
Zo kun je je bij pokeren afvragen of dit een kansspel of een behendigheidsspel
is. De onderzoekers Borm en Van der Genugten hebben een methode
ontwikkeld om bij elk spel dit onderscheid te maken. Daartoe hebben ze enkele
begrippen gedefinieerd:
het toevalseffect TE
het leereffect LE
Het toevalseffect is een getal dat uitdrukt in welke mate het toeval een rol speelt
bij het spel: het toevalseffect is groot als het toeval een grote rol speelt. Het
leereffect is een getal dat aangeeft in hoeverre een grotere ervaring helpt bij het
spelen van het spel: het leereffect is groter naarmate de ervaring een grotere
bijdrage levert aan de uitkomst van het spel.
Beide getallen, toevalseffect TE en leereffect LE, zijn (natuurlijk) nooit negatief.
Ze zijn ook nooit beide tegelijkertijd 0.
Hoe die getallen TE en LE bepaald worden, komt verderop in deze opgave aan
de orde. Eerst kijken we naar een formule die Borm en Van der Genugten
gemaakt hebben met die twee begrippen. Deze formule ziet er als volgt uit:
B = (LE)/(LE + TE)
Het getal B dat met deze formule wordt berekend, noemen de onderzoekers het
behendigheidsniveau. Ook al weten we nu nog niet hoe TE en LE bepaald
worden, toch kunnen we wel iets zeggen over de mogelijke waarde van het
getal B.
1. B is nooit negatief;
2. B is ten hoogste 1;
3. Als twee spelen hetzelfde positieve leereffect hebben, is B groter bij het
spel met het kleinere toevalseffect;
4. Als twee spelen hetzelfde positieve toevalseffect hebben, is B groter bij
het spel met het grotere leereffect.
163p
Laat met behulp van de formule en de omschrijvingen van TE en LE zien dat de
bovenstaande beweringen 1, 2 en 3 juist zijn.
De bovenstaande formule voor B is ook te schrijven als B = 1 − (TE)/(LE + TE).
173p
Toon aan dat deze formule ook geschreven kan worden als B = 1 − (TE)/(LE + TE).
Om de vierde bewering “Als twee spelen hetzelfde positieve toevalseffect
hebben, is B groter bij het spel met het grotere leereffect” na te gaan, kun je
gebruik maken van de formule B = 1 − (TE)/(LE + TE).
183p
Leg met behulp van B = 1 − (TE)/(LE + TE) uit dat de vierde bewering inderdaad
juist is.
Om het behendigheidsniveau van een spel te bepalen moet je dus een methode
vaststellen om TE en LE van dat spel te berekenen. Borm en Van der Genugten
hebben dat bij verschillende spelen gedaan en hebben daarna ook een grens
vastgesteld waarmee ze een onderscheid konden maken tussen een kansspel
en een behendigheidsspel. Die grens ligt volgens de onderzoekers bij B = 0,20.
Als B groter is dan 0,20 heb je te maken met een behendigheidsspel.
Deze grens van 0,20 betekent dat in een kansspel het leereffect wel een rol mag
spelen, maar niet te veel. Het leereffect moet beduidend kleiner zijn dan het
toevalseffect.
194p
Laat zien dat bij elk spel met een behendigheidsniveau van 0,20 de verhouding
tussen het leereffect en het toevalseffect gelijk is aan 1:4.
Op 3 maart 1998 concludeerde de Hoge Raad dat poker een kansspel is (en
daarom alleen mag worden gespeeld in door de overheid gecontroleerde
casino’s).
foto
pokeren een kansspel?
foto pokeren een kansspel?
Let op: de laatste vragen van dit examen staan op de volgende pagina.
De onderzoekers hebben in samenwerking met het televisieprogramma
Nieuwslicht een experiment uitgevoerd om na te gaan of deze beslissing van de
Hoge Raad wel terecht was. In het verslag over dit experiment schrijven zij op
welke manier zij het behendigheidsniveau van het pokerspel ‘Texas Hold’Em’
hebben bepaald. Zij deelden de spelers in drie typen in:
− de beginner, die alleen de regels van het spel kent (zijn winst in het spel
wordt alleen door geluk bepaald);
− de ervaren speler, die veel ervaring heeft met het spel (zijn winst wordt
bepaald door geluk en kunde);
− de fictieve speler1), een ervaren speler die ook informatie heeft over
toevalselementen in het spel, bijvoorbeeld welke kaarten de andere spelers
hebben en welke kaarten er op tafel zullen komen te liggen (zijn winst wordt
door geluk, kunde en informatie bepaald).
Met behulp hiervan definieerden Borm en Van der Genugten TE en LE:
TE = winst van de fictieve speler − winst van de ervaren speler
LE = winst van de ervaren speler − winst van de beginner
203p
Leg uit dat TE groter is naarmate het toeval een grotere rol speelt bij de
uitkomst van het spel.
In een ander experiment, vergelijkbaar met dat van Nieuwslicht, speelden een
beginner, een ervaren speler en een fictieve speler aan aparte tafels onder
dezelfde omstandigheden elk drie rondes. Allen kregen bij het begin van iedere
ronde evenveel geld om in te kunnen zetten. Na die drie rondes werd de stand
opgemaakt van de winst per ronde. Zie de tabel.
tabel
winst per ronde in euro’s
  beginner ervaren speler fictieve speler ronde 1 –28 –11 10 ronde 2 30 90 161 ronde 3 –32 1 219
Om na te gaan of poker wel of niet als kansspel gezien moet worden, kun je de
totale winst van ieder van de drie spelers in de tabel berekenen en daarmee het
behendigheidsniveau B bepalen van het pokerspel ‘Texas Hold’Em’.
213p
Is het pokerspel ‘Texas Hold’Em’ volgens de methode van Borm en Van der
Genugten een kansspel als je uitgaat van de tabel? Licht je antwoord toe.
noot 1 Die fictieve speler bestond alleen in dit experiment: hij verkreeg zijn extra informatie door het
gebruik van een ‘oortje’ waarmee hem informatie doorgegeven werd die in een normaal spel
onbekend is voor een speler.