opgave 1Horen
Het ene geluid klinkt zachter dan het andere. We zeggen dan dat het
geluidsniveau in decibel (dB) lager is. Een spreekstem bijvoorbeeld heeft
een geluidsniveau van 60 dB en in een discotheek is het geluidsniveau
ongeveer 100 dB.
Sommige geluiden zijn zo zacht dat het menselijk oor ze niet meer kan
waarnemen. Deze geluiden zijn zachter dan de zogenoemde
gehoordrempel. Andere geluiden zijn zo hard dat ze een onverdraagbaar
pijngevoel veroorzaken: ze liggen boven de zogenoemde pijngrens.
De hoogte van gehoordrempel en pijngrens hangen niet alleen af van het
geluidsniveau maar ook van de toonhoogte van het geluid. De figuur
hieronder geeft hier informatie over. Langs de verticale as staat het
geluidsniveau in dB. Langs de horizontale as staat, met een logaritmische
schaalverdeling, de toonhoogte; deze wordt uitgedrukt in hertz (Hz).
figuur
In de figuur kun je zien dat geluid met een toonhoogte van 100 Hz en een
niveau van 130 dB op de pijngrens ligt en dus erg onaangenaam is voor
het menselijk oor.
In de figuur kun je ook zien dat er bij een geluidsniveau van 10 dB
geluiden met verschillende toonhoogtes zijn die precies op de
gehoordrempel liggen.
13pTabellen en grafieken lezen en gebruiken 3p
Bepaal met behulp van de figuur welke toonhoogtes hier worden bedoeld.
Bij popconcerten en in discotheken is er vaak een erg hoog
geluidsniveau. In een artikel over gehoorschade bij jongeren staan de tips
en tricks zoals vermeld in onderstaande tekst.
Tips & Tricks
− De vuistregel is dat je acht uur lang zonder problemen 80 dB op je
oren kunt hebben. Bij een toename van het geluidsniveau van 3 dB
halveert de tijd. Dus: vier uur lang bij 83 dB, twee uur lang bij 86 dB,
enzovoort.
− Goede oordoppen kunnen het geluid tijdens een dancefeest of concert
dempen tot een geluidsniveau van 80 dB. Het geluidsniveau tijdens
zulke gelegenheden is vaak zo hoog dat een aantal minuten zonder
doppen al schade kan opleveren.
Uit bovengenoemde vuistregel volgt het exponentiele verband
T = 8 ⋅ gD−80 tussen de maximale tijd T in uren die je zonder
gehoorschade ergens kunt zijn en het geluidsniveau D in dB. De
groeifactor g is bij benadering 0,79.
33pRekenen met een gegeven formule 2p · Procenten, verhoudingen en eenheden 1p
Bereken met behulp van de formule T = 8 ⋅ 0,79D−80 hoeveel gehele
minuten je maximaal zonder oordoppen in een discotheek met een
geluidsniveau van 100 dB aanwezig kunt zijn zonder dat dat
gehoorschade oplevert.
Door het trillen van de lucht hoor je geluid. Deze trillingen veroorzaken
een kleine variatie in de luchtdruk. Deze variatie in luchtdruk wordt
geluidsdruk p genoemd. Het is mogelijk om de geluidsdruk te meten en
hiermee het bijbehorende geluidsniveau D vast te stellen. Daarvoor wordt
gebruikgemaakt van de volgende formule:
D = 20 ⋅ log
In deze formule is p de geluidsdruk, gemeten in μPa (micropascal), en D
weer het geluidsniveau in dB.
opgave 3Meerlingen
Een vrouw bevalt na een zwangerschap meestal van één kind. Een
meerling, dat zijn twee of meer kinderen die uit één zwangerschap
geboren worden, komt van nature weinig voor.
Een drieling is een meerling van drie kinderen. Een drieling kan op drie
manieren ontstaan:
− uit één eitje: in dat geval zijn de drie kinderen van een drieling
genetisch identiek en dus van hetzelfde geslacht. We spreken dan van
een eeneiige drieling.
− uit twee eitjes: in dat geval zijn twee kinderen genetisch identiek en
dus van hetzelfde geslacht, maar het derde kind is genetisch
verschillend (en kan van hetzelfde of verschillend geslacht zijn). We
spreken dan van een twee-eiige drieling.
− uit drie eitjes: in dat geval zijn alle drie de kinderen onderling
genetisch verschillend. We spreken dan van een drie-eiige drieling.
We gaan er in deze opgave verder van uit dat een kind bij de geboorte
altijd een jongen of een meisje is.
94pTelproblemen 4p
Onderzoek hoeveel verschillende samenstellingen er voor een drieling
bestaan als je let op geslacht en op de drie manieren waarop een drieling
kan ontstaan. Licht je antwoord toe.
Bij de opkomst van de zogeheten IVF-techniek1) eind jaren tachtig van de
vorige eeuw werden vaak meerdere bevruchte eicellen teruggeplaatst om
de slagingskans van IVF te vergroten. Hierdoor nam in verhouding het
aantal drie(-plus)lingen (een meerling van drie of meer kinderen) ook toe.
In 1980 waren er in Nederland 180 517 geboorten, waarvan slechts 25
van een drie(-plus)ling. In 1991 waren er in Nederland van de 196 698
geboorten 124 drie(-plus)linggeboorten.
103pProcenten, verhoudingen en eenheden 3p
Bereken met hoeveel procent het percentage drie(-plus)lingen in 1991 is
toegenomen ten opzichte van het percentage drie(-plus)lingen in 1980.
Geef je antwoord in gehele procenten.
noot 1 Bij de IVF-techniek worden eicellen in het laboratorium bevrucht en vervolgens in de
baarmoeder teruggeplaatst.
Algemeen wordt aangenomen dat de grootste meerling die op natuurlijke
wijze kan ontstaan een negenling is. De Duitse onderzoeker Hellin
voorspelde al in 1895 het volgende voor meerlingen bij natuurlijke
− Gemiddeld 1 op de 89 geboorten is de geboorte van een tweeling.
− Gemiddeld 1 op de 892 geboorten is de geboorte van een drieling.
− Gemiddeld 1 op de 893 geboorten is de geboorte van een vierling.
− 
− Gemiddeld 1 op de 898 geboorten is de geboorte van een negenling.
Dit werd later door andere wetenschappers de wet van Hellin genoemd.
De getallen (1 op de) 89,
,
, …,
in de wet van Hellin vormen
een rij. Deze rij kan worden gebruikt om een formule op te stellen voor de
rij P(n), waarbij P(n) het percentage n-ling-geboorten ten opzichte van
het totale aantal geboorten is.
Een recursieve formule voor P(n) is:
, met
. Hierbij is
n > 2.
Er kan ook een directe formule voor P(n) opgesteld worden.
113pFormules herleiden en omwerken 2p · Rijen en recursie 1p
Stel een directe formule op voor P(n). Geef deze in de vorm P(n) = b ⋅ rn.
Er zijn tegenwoordig wetenschappers die aannemen dat bij een
natuurlijke zwangerschap gemiddeld 1 op de 80 geboorten de geboorte
van een tweeling is, 1 op de 802 de geboorte van een drieling, …, 1 op de
808 de geboorte van een negenling. We nemen hierbij aan dat de grootst
mogelijke meerling een negenling is.
opgave 4Veldleeuweriken
De laatste tientallen jaren is het in Nederland voor veel weidevogels
lastiger geworden om geschikte broedplaatsen te vinden. Dit komt doordat
landbouwgrond steeds intensiever en gevarieerder wordt gebruikt, en
doordat steden voortdurend verder uitbreiden.
Grasland is het voornaamste broedgebied voor weidevogels. Uit een
onderzoek van Sovon Vogelonderzoek Nederland blijkt dat in de
vanaf 1990 tot en met 2014 ruim 150 000 hectare grasland verloren is
gegaan. Dat is een daling van 14 procent.
132pProcenten, verhoudingen en eenheden 2p
Bereken hoeveel hectare grasland er nog was in Nederland in 2014. Geef
je antwoord in duizenden hectares.
Een van de weidevogelsoorten die het meest in aantal is afgenomen, is
de veldleeuwerik. In de jaren vanaf 1990 tot en met 2000 bleef de
procentuele afname per jaar ten opzichte van het jaar ervoor nagenoeg
gelijk. Dit gold ook voor de jaren vanaf 2001 tot en met 2005. In figuur 1
zijn deze jaarlijkse procentuele afnames voor deze twee periodes
weergegeven voor drie verschillende soorten gebieden: duingebieden,
heidegebieden en agrarische gebieden.
figuur 1 - jaarlijkse afname aantal veldleeuweriken in%
In de figuur is bijvoorbeeld te zien dat in de jaren vanaf 2001 tot en met
2005 het aantal veldleeuweriken in duingebieden jaarlijks met 7,8% afnam.
144pExponentiële functies en groei 3p · Tabellen en grafieken lezen en gebruiken 1p
Bereken met behulp van figuur 1 hoeveel procent minder veldleeuweriken
er in duingebieden waren in 2005 ten opzichte van het aantal in 1989.
Geef je antwoord in gehele procenten.
In figuur 2 zie je voor heel Nederland hoe het percentage veldleeuweriken
zich in de jaren vanaf 1990 tot en met 2014 ontwikkelde ten opzichte van
het totale aantal veldleeuweriken in 1990.
figuur 2
We voeren de variabelen P en t in. Hierin is P het percentage
veldleeuweriken ten opzichte van het totale aantal veldleeuweriken in
1990 in Nederland en is
t de tijd in jaren met
t = 0 in
Ondanks de schommelingen kan het verband tussen P en t in de jaren
vanaf 1990 tot en met 2005 goed benaderd worden met een
Uit figuur 2 valt af te lezen dat het totale aantal veldleeuweriken in
Nederland in 2005 nog maar 40% was van het totale aantal
154pRijen en recursie 4p
Stel met behulp van dit gegeven een recursieve formule op voor de rij.
Geef de getallen in je antwoord zo nodig in drie decimalen.
Sovon deed niet alleen onderzoek naar het aantal veldleeuweriken in
Nederland, maar ving ook regelmatig jonge veldleeuweriken om ze te
meten en te wegen. In figuur 3 is van 265 gevangen jonge
veldleeuweriken het gewicht uitgezet tegen de zogeheten tarsuslengte1),
dat is de lengte van het onderbeen.
figuur 3
In figuur 3 is ook een kromme weergegeven die het verband tussen het
gewicht en de tarsuslengte benadert. Deze kromme kan worden
beschreven met de formule:
Hierin is G het gewicht in grammen en T de tarsuslengte in millimeters.
Het gewicht van een jonge veldleeuwerik heeft een grenswaarde.
164pEigenschappen van functies en grafieken 4p
Beredeneer aan de hand van de formule voor G, dus zonder gebruik te
maken van getallenvoorbeelden, hoe groot deze grenswaarde is.
Het gewicht van jonge veldleeuweriken neemt in het begin steeds sneller
toe naarmate de tarsuslengte toeneemt. Op een bepaald moment is deze
toenamesnelheid maximaal.
174pExtremen en optimaliseren 2p · Kettingregel 1p · Product- en quotiëntregel 1p
Bereken met behulp van de formule voor de afgeleide van
toenamesnelheid van het gewicht. Geef je antwoord in grammen per mm
in één decimaal.
noot 1 Men meet de tarsuslengte als een maat voor de leeftijd van de jonge veldleeuwerik
omdat de leeftijd zelf moeilijk te bepalen valt.
opgave 5Honkbalsalarissen
Honkbal is een van de populairste sporten in de Verenigde Staten.
Omdat honkbal vooral een tactische sport is en kracht en snelheid minder
belangrijk zijn dan bij veel andere sporten, kunnen professionele
honkballers normaal gesproken tot rond hun veertigste jaar aan de top
meespelen. Naarmate een speler ouder wordt en meer seizoenen mee
heeft gespeeld, zal deze speler meer ervaring opdoen en beter worden,
en zijn salaris zal dus ook stijgen.
In figuur 1 staan de gemiddelde salarissen van alle honkballers uit de
belangrijkste Amerikaanse competities tussen 1995 en 2018.
figuur 1
In de grafiek kun je bijvoorbeeld aflezen dat honkballers van 21 jaar
gemiddeld 0,4 miljoen dollar per jaar verdienen en honkballers van 28 jaar
gemiddeld 2,6 miljoen dollar.
Uit de figuur blijkt dat het salaris tussen de 21 en 28 jaar nagenoeg
exponentieel toeneemt. Het is, uitgaande van exponentiële groei, mogelijk
een formule op te stellen van het verband tussen de leeftijd en het
gemiddelde jaarsalaris van honkballers.
184pExponentiële functies en groei 4p
Stel met behulp van de gegevens van 21- en 28-jarige spelers een
formule op voor het gemiddelde jaarsalaris S in duizenden dollars van
honkballers van t jaar oud. Geef de getallen in je antwoord zo nodig in
drie decimalen.
Zo’n exponentiële benadering gaat ervan uit dat de salarissen steeds
maar blijven stijgen, maar in de grafiek is duidelijk te zien dat de
exponentiële stijging niet doorzet.
Een andere benadering van de salarissen van honkballers is de formule:
Hierbij is W het gemiddelde jaarsalaris in duizenden dollars en t de leeftijd
in jaren.
Volgens de formule voor W zal het salaris naar een grenswaarde toe
stijgen. In werkelijkheid nemen de salarissen vanaf een leeftijd van
(ongeveer) 36 jaar juist weer af. Professionele honkballers van 39 jaar
verdienen gemiddeld 4,54 miljoen dollar per jaar.
194pEigenschappen van functies en grafieken 2p · Procenten, verhoudingen en eenheden 2p
Bereken hoeveel procent lager dit salaris is dan de grenswaarde van W.
Geef je antwoord in één decimaal.
De WAR-waarde van een honkballer is een getal dat aangeeft hoe
belangrijk deze honkballer voor een team is.
Voor een honkballer wordt elke wedstrijd zijn WAR-waarde berekend. In
een seizoen worden deze WAR-waarden opgeteld tot zijn totale WAR-
waarde. Uit deze totale WAR-waarde en het aantal wedstrijden dat deze
honkballer speelde, is zijn gemiddelde WAR-waarde per wedstrijd te
berekenen.
In figuur 2 zijn de gemiddelde WAR-waarden per wedstrijd in de
Amerikaanse competitie van 2019 weergegeven voor honkballers van
verschillende leeftijden.
figuur 2
In de praktijk is de gemiddelde WAR-waarde per wedstrijd een getal
tussen de 0 en de 1, waarbij een 0 betekent dat de honkballer geen
enkele bijdrage heeft geleverd en een 1 betekent dat een honkballer een
zeer grote bijdrage leverde.
Met behulp van de gegevens uit figuur 2 kan worden berekend hoeveel
een honkballer gemiddeld per WAR-punt aan salaris ontvangt.
Voorbeeld
Honkballers van 30 jaar oud verdienen gemiddeld 4,1 miljoen dollar.
In figuur 2 is af te lezen dat deze honkballers een WAR-gemiddelde
hebben van 0,30. Het gemiddelde salaris per WAR-punt is dan
Cody Bellinger was een van de best presterende honkballers in de
Amerikaanse competitie van 2019. Cody was toen 24 jaar oud en had een
WAR-gemiddelde van 0,76. Hij was daarmee destijds de meest
waardevolle honkballer van de competitie. Zijn salaris was in dat seizoen
$ 605 000 per jaar en dat is minder dan het gemiddelde van zijn
leeftijdgenoten; dat was namelijk $ 660 000.
203pProcenten, verhoudingen en eenheden 2p · Tabellen en grafieken lezen en gebruiken 1p
Bereken met behulp van bovenstaande gegevens en figuur 2 hoeveel
salaris Cody had moeten krijgen zodat zijn salaris per WAR-punt
hetzelfde was als het gemiddelde van zijn leeftijdgenoten. Geef je
antwoord in miljoenen dollars en rond in je antwoord af op twee
decimalen.
Let op: de laatste vragen van dit examen staat op de volgende pagina.
opgave 6Getij
Getij ontstaat door de aantrekkingskracht die de zon en de maan hebben
op het zeewater. De zeewaterstand gaat hierdoor afwisselend omhoog en
omlaag. Er zijn verschillende manieren om deze waterstand te benaderen.
Manus en Jan Willem bepalen bij Nes op Ameland de waterstanden bij
laag- en hoogwater. Bij laagwater is de waterstand –123 centimeter ten
opzichte van NAP (Normaal Amsterdams Peil). Zes uur later is het
hoogwater, en de waterstand is dan +87 centimeter ten opzichte van NAP.
Manus benadert de waterstand tussen de tijdstippen van laag- en
hoogwater met een sinusfunctie en Jan Willem benadert de waterstand
met de twaalfdelenregel.
Bij de twaalfdelenregel wordt de waterstand benaderd door lijnstukken
(delen van een rechte lijn) met elkaar te verbinden. De tijd tussen laag- en
hoogwater wordt in zes gelijke delen verdeeld. Beginnend op het tijdstip
van laagwater gaat de verandering van de waterstand bij de
twaalfdelenregel als volgt:
− Gedurende het eerste, tweede en derde deel stijgt de waterstand
respectievelijk 1/6, 2/6 en 3/6 deel van de amplitude.
− Gedurende het vierde, vijfde en zesde deel stijgt de waterstand
respectievelijk 3/6, 2/6 en 1/6 deel van de amplitude.
figuur
In de figuur zijn de benaderingen van de waterstanden met de
twaalfdelenregel en de sinusfunctie weergegeven met respectievelijk een
doorgetrokken en een gestippelde kromme. Deze figuur staat vergroot op
de uitwerkbijlage. Het grootste verschil tussen beide benaderingen treedt
op vlak voor en vlak na laagwater en vlak voor en vlak na hoogwater.
geldt: wanneer de geluidsdruk
