bij dit examen
OVERZICHT FORMULES
Differentiëren
naam van de regel functie afgeleide somregel s ( x ) = f ( x ) + g ( x ) s' ( x ) = f ' ( x ) + g' ( x ) verschilregel v ( x ) = f ( x ) − g ( x ) v' ( x ) = f ' ( x ) − g' ( x ) productregel p ( x ) = f ( x ) ⋅ g ( x ) p' ( x ) = f ' ( x ) ⋅ g ( x ) + f ( x ) ⋅ g' ( x ) f ( x ) q ( x ) = f ' ( x ) ⋅ g ( x ) − f ( x ) ⋅ g' ( x ) q' ( x ) = quotiëntregel q ( x ) = g ( x ) q' ( x ) = ( g ( x )) 2 kettingregel k ( x ) = f ( g ( x )) k' ( x ) = f ' ( g ( x )) ⋅ g' ( x ) of d k d f d g = ⋅ = ⋅ d x d g d x
Logaritmen
regel voorwaarde g log ( a ) + g log ( b ) = g log ( ab ) g >0, g ≠ 1, a >0, b >0 g g g a log ( a ) − log ( b ) = log g >0, g ≠ 1, a >0, b >0 log ( a ) − log ( b ) = log b g >0, g ≠ 1, a >0, b >0 g log ( a p ) = p ⋅ g log ( a ) g >0, g ≠ 1, a >0 p log ( a ) g log ( a ) = g >0, g ≠ 1, a >0, p >0, p ≠ 1 log ( a ) = p log ( g ) g >0, g ≠ 1, a >0, p >0, p ≠ 1
Ga verder op de volgende pagina.
opgave 1Duurzamer douchen
De laatste tientallen jaren wordt er door de overheid aandacht besteed
aan duurzamer leven.
Op de website milieucentraal.nl zijn onder andere de volgende tips over
duurzamer douchen te vinden:
− Gebruik een waterbesparende douchekop, die laat 7,2 liter water per
minuut door in plaats van 10 liter water per minuut bij een gewone
douchekop.
− Douch korter, 5 minuten in plaats van 7,4 minuten.
− Douch minder vaak, niet dagelijks, maar vijf keer per week en was je
de andere twee keer bij de wastafel. Bij wassen bij de wastafel wordt
gemiddeld maar 3 liter water per keer verbruikt.
We bekijken een Nederlander die dagelijks 7,4 minuten met een gewone
douchekop doucht. Deze persoon besluit alle hierboven genoemde tips op
te volgen. Hierdoor neemt het waterverbruik per week flink af.
13pProcenten, verhoudingen en eenheden 3p
Bereken met hoeveel procent het waterverbruik afneemt. Geef je
antwoord in een geheel aantal procenten.
Het water dat uit een douchekop komt, noemen we douchewater. In het
vervolg van deze opgave nemen we het volgende aan:
− De temperatuur van douchewater is gelijk aan 38 °C.
− Tijdens een douchebeurt wordt 7,2 liter douchewater per minuut
gebruikt.
In de meeste huishoudens wordt voor douchewater koud water met warm
water vermengd. De verhouding tussen de hoeveelheid koud en warm
water bepaalt de temperatuur van het douchewater.
Als er 3,2 liter koud water van 10 °C met 4 liter warm water van 60 °C
vermengd wordt, ontstaat er 7,2 liter douchewater van afgerond 38 °C.
23pProcenten, verhoudingen en eenheden 3p
Bereken in één decimaal nauwkeurig de temperatuur in °C van dit
douchewater.
Water verwarmen kost energie. Door gebruik te maken van douche
warmteterugwinning kan er duurzamer worden gedoucht. Bij deze
techniek wordt er uit het water dat het riool instroomt warmte gehaald,
waardoor er minder energie nodig is om douchewater (van 38 °C) te
verkrijgen. Het apparaat waarmee dit gebeurt, wordt een douche-wtw
genoemd.
Als er geen douche-wtw geïnstalleerd is, zijn de energiekosten tijdens een
douchebeurt gemiddeld 5,8 cent per minuut.
Als er wel een douche-wtw geïnstalleerd is, zijn de energiekosten voor
een douchebeurt te berekenen met de formule
K = 5,75 + 2,92t
Hierin is K de energiekosten per douchebeurt in centen en t de tijd in
minuten die een douchebeurt duurt, met t groter dan 0.
Een vierpersoonshuishouden laat bij de verbouwing van de badkamer
voor 650 euro een douche-wtw installeren. De energiekosten om
douchewater te verkrijgen gaan hierdoor omlaag in vergelijking met de
situatie zonder douche-wtw. We nemen aan dat alle vier de personen vijf
dagen per week douchen en dat elke douchebeurt vijf minuten duurt.
Op een bepaald moment zal dit huishouden met de douche-wtw in totaal
net zoveel aan energiekosten voor het douchen bespaard hebben als dat
de installatie van de douche-wtw gekost heeft.
opgave 2Wonen in New York
Wonen in het centrum van een grote stad is in het algemeen duurder dan
wonen buiten het centrum. In figuur 1 staan de huurprijzen per maand in
2016 van 1- en 3-kamerappartementen in New York, uitgezet tegen de
reistijd met het openbaar vervoer tot 42nd Street, een van de
belangrijkste straten in het commerciële centrum. Figuur 1 staat ook
vergroot op de uitwerkbijlage.
figuur 1
Een punt in figuur 1 stelt niet de huurprijs van één appartement voor,
maar de gemiddelde huurprijs van alle appartementen met dezelfde
reistijd.
Verhuurders van appartementen gebruiken soms de volgende vuistregel:
Voor elke kamer meer in een appartement stijgt de huurprijs met
ongeveer 25%.
We bekijken appartementen met een reistijd van 25 minuten.
43puitwerkbijlageExponentiële functies en groei 2p · Tabellen en grafieken lezen en gebruiken 1p
Onderzoek met behulp van figuur 1 op de uitwerkbijlage of de gemiddelde
huurprijs van deze appartementen aan bovenstaande vuistregel voldoet.
In figuur 2 op de uitwerkbijlage zijn aan figuur 1 twee trendlijnen
toegevoegd. In het vervolg van deze opgave gaan we uit van deze
trendlijnen en niet meer van de individuele datapunten.
We bekijken een 1-kamerappartement met een reistijd van 15 minuten tot
42nd Street. Voor de huurprijs van dit appartement kun je ook een
3-kamerappartement huren. De reistijd tot 42nd Street vanaf dat
3-kamerappartement is wel langer dan de reistijd vanaf het
1-kamerappartement.
53puitwerkbijlageTabellen en grafieken lezen en gebruiken 3p
Bepaal met behulp van figuur 2 op de uitwerkbijlage hoeveel langer de
reistijd vanaf dat 3-kamerappartement is. Licht je antwoord toe en geef je
antwoord in hele minuten.
De formule die past bij de trendlijn van de 3-kamerappartementen is:
H = 20367 ⋅ r−0,571
Hierin is H de huurprijs per maand van een 3-kamerappartement in dollars
en r de reistijd tot 42nd Street in minuten.
63pEvenredigheden en machtsverbanden 2p · Formules herleiden en omwerken 1p
Beredeneer aan de hand van de formule, zonder getallen in te vullen of
een schets/tekening te maken, dat de huurprijs H hoger wordt als de
reistijd r korter wordt.
Voor 1-kamerappartementen is de formule van de trendlijn:
P = 5800 − 2572 ⋅ log(r)
Hierin is P de huurprijs per maand van een 1-kamerappartement in dollars
en r de reistijd tot 42nd Street in minuten.
Er zijn in New York bewoners van een 1-kamerappartement met een
bepaalde reistijd tot 42nd Street die theoretisch minstens $ 75 huur
zouden kunnen besparen door één minuut verder weg van 42nd Street in
een ander 1-kamerappartement te gaan wonen.
Ofwel, voor deze bewoners geldt: als de reistijd tot 42nd Street met één
minuut toeneemt, dan daalt de huurprijs met minstens $ 75.
opgave 3Daglengte
Gedurende het hele jaar veranderen het tijdstip van zonsopkomst en het
tijdstip van zonsondergang van dag tot dag. In de figuur zie je periodieke
grafieken van de tijdstippen van de zonsopkomst en de zonsondergang in
De Bilt voor een jaar met 365 dagen. In de figuur is geen rekening
gehouden met de zomertijd.
figuur
Het meest vroege tijdstip waarop de zon onder gaat is op 12 december
om 16:30 uur. Het meest late tijdstip dat de zon onder gaat is in de zomer
om 21:00 uur. Met behulp van deze gegevens kan voor het tijdstip van de
zonsondergang een model opgesteld worden van de vorm
Tonder = a + b ⋅ sin(c(t − d))
Hierin is Tonder het tijdstip van de zonsondergang in uren en t de tijd in
gehele dagen met t = 0 op 1 januari. Bijvoorbeeld bij 12 december hoort
t = 345. Dit geeft Tonder = 16,5 dus de zon gaat dan onder om 16:30 uur.
Na afronding van c en d geldt: Tonder = 18,75 + 2,25sin(0,0172(t − 71)).
83pSinusoïden: periode, amplitude en formule 3p
Laat zien hoe de waarden van a, b, c en d uit de gegevens volgen.
Het model voor het tijdstip van de zonsopkomst is:
Top = 6,58 + 2,25sin(0,0172(t − 272))
Hierin is Top het tijdstip van de zonsopkomst in uren en t de tijd in gehele
dagen met t = 0 op 1 januari.
93pRekenen met een gegeven formule 2p · Ongelijkheden oplossen 1p
Bereken hoeveel dagen van het jaar de zonsopkomst in De Bilt vóór
06:30 uur plaatsvindt.
Het meest vroege tijdstip van zonsopkomst valt later in het jaar dan het
meest late tijdstip van de zonsondergang.
103pExtremen en optimaliseren 3p
Bereken hoeveel dagen later.
Doordat het tijdstip van zonsopkomst en het tijdstip van zonsondergang
gedurende het hele jaar veranderen, verandert gedurende het jaar ook de
daglengte, dat is de tijd tussen zonsopkomst en zonsondergang.
Op 21 maart begint op het noordelijk halfrond de lente. De daglengte
neemt dan het meest toe.
opgave 4Minder werken
In 2020 publiceerde de onderzoeker Charlie Giattino de resultaten van
een onderzoek naar de welvaart in een land. Welvaart is een maat voor
hoe goed mensen het financieel hebben en wordt (vaak) uitgedrukt in
dollars.
Volgens zijn onderzoek was de verdubbelingstijd van de welvaart in
Duitsland in de periode 1850-1940 gelijk aan 47 jaar.
Verder volgde uit het onderzoek dat de welvaart in Duitsland vanaf 1950
bij benadering toeneemt volgens de formule:
Hierin is WD de welvaart in Duitsland in dollars en t de tijd in gehele jaren
met t = 0 het jaar 1950.
De welvaart nam in de periode 1850-1940 langzamer toe dan dat hij sinds
1950 toeneemt.
124pVergelijkingen en snijpunten met de GR oplossen 2p · Formules en vergelijkingen opstellen 1p · Exponentiële functies en groei 1p
Bereken het verschil tussen de verdubbelingstijd van de welvaart in
Duitsland in de periode 1850-1940 en de verdubbelingstijd sinds 1950.
Geef je antwoord in gehele jaren.
Giattino deed ook onderzoek naar het verband tussen de welvaart in een
land en het aantal uren dat een werknemer in dat land gemiddeld per jaar
werkt. Voor Duitsland wordt dit verband gegeven door de formule:
Hierin is UD het aantal uren dat een werknemer in Duitsland gemiddeld
per jaar werkt en WD de welvaart in Duitsland in dollars. Op basis van
formule 2 concludeerde Giattino dat naarmate de welvaart toeneemt, het
aantal gewerkte uren afneemt.
Als de welvaart in Duitsland met 50% toeneemt, dan neemt het gemiddeld
aantal gewerkte uren per werknemer per jaar met een vast aantal af.
133pRekenen met een gegeven formule 3p
Bereken hoeveel uur dit volgens de formule voor UD is. Geef je antwoord
in gehele uren.
Iemand doet de volgende bewering:
Als in Duitsland de welvaart toeneemt dan neemt het gemiddeld aantal
gewerkte uren per werknemer per jaar sneller af bij een hogere welvaart
dan bij een lagere welvaart.
144pStijgen, dalen en veranderingsgedrag 3p · Afgeleide van e-macht, logaritme en goniometrische functies 1p
Beredeneer aan de hand van een formule van de afgeleide van UD,
zonder getallen in te vullen of een schets/tekening te maken, of deze
bewering juist is.
Door formule 1 en formule 2 te combineren, kan een formule opgesteld
worden die het verband benadert tussen het gemiddeld aantal gewerkte
uren per werknemer per jaar in Duitsland en het jaar. Deze formule is van
de vorm UD = pt + q.
155pFormules herleiden en omwerken 4p · Samengestelde functies, som- en verschilfuncties 1p
Stel deze formule op. Geef p in drie decimalen en q als een geheel getal.
In Nederland groeit de welvaart bij benadering ook exponentieel sinds
1950. In 1960 was de welvaart in Nederland $ 11 529 en in 2000 was dat
$ 34 497. Uit de gegevens volgt dat de welvaart in Nederland kan worden
beschreven met de formule:
Hierin is WN de welvaart in Nederland in dollars en t de tijd in gehele
jaren met t = 0 het jaar 1950.
In formule 3 is de beginhoeveelheid afgerond op helen tot 8766 en de
jaarlijkse groeifactor is afgerond op drie decimalen tot 1,028.
164pExponentiële functies en groei 4p
Bereken de beginhoeveelheid in één decimaal en de jaarlijkse groeifactor
in vier decimalen.
In 1950 was de welvaart in Nederland groter dan in Duitsland. Bovendien
nam de welvaart in Nederland toen sneller toe dan die in Duitsland.
Decennia later haalde de welvaart in Duitsland die in Nederland in. Hieruit
volgt dat vanaf een bepaald moment de welvaart in Duitsland sneller
toenam dan die in Nederland.
opgave 5Krattenbrug
Studenten van de Technische Universiteit Eindhoven hebben in 2016 een
brug van kratten gebouwd. Zie de foto. Naast de foto zie je ook een
afbeelding van een computeranimatie uit de ontwerpfase van de
krattenbrug.
De krattenbrug bestaat uit twee even grote torens met daartussen een
overspanning.
Elke toren bestaat uit 29 lagen gestapelde kratten. De bovenste laag
geven we nummer 1, de laag direct daaronder nummer 2, enzovoorts.
Voor de bovenste 11 lagen geldt voor het aantal kratten per laag:
A(n) = 3,5n + 3,5 voor lagen met een oneven nummer
A(n) = 3,5n + 3 voor lagen met een even nummer
Hierin is A(n) het aantal kratten en n het nummer van de laag.
Elke laag (behalve de bovenste laag natuurlijk) met een oneven nummer
heeft eenzelfde aantal kratten meer dan de direct daarboven gelegen laag
met een even nummer.
183pRijen en recursie 2p · Formules herleiden en omwerken 1p
Toon dit, zonder gebruik te maken van een getallenvoorbeeld, aan.
Neem aan dat voor de overspanning in totaal 4950 kratten zijn gebruikt.
Voor beide torens geldt dat laag 12 tot en met laag 29 elk evenveel
kratten bevatte als laag 11.
194pRijen en recursie 4p
Bereken het totaal aantal kratten in de hele krattenbrug.
Op de foto is te zien dat de krattenbrug over een rivier is gebouwd. Deze
rivier, de Dommel, stroomt midden onder de brug door. In de figuur is de
situatie schematisch weergegeven in een assenstelsel. In deze figuur zijn
van de brug alleen de torens en de onderkant van de overspanning
weergegeven. Deze onderkant noemen we de boog.
figuur
In de figuur is de grond als x-as genomen en gaat de y-as door het
hoogste punt van de boog.
Verder zijn de volgende gegevens bekend, zie de figuur:
− De boog is 26,7 meter breed.
− De maximale hoogte van de boog is 5,3 meter ten opzichte van de
grond.
− De Dommel is 9,0 meter breed.
Voor de boog kan een formule worden opgesteld van de vorm
y = a ⋅ x2 + b.
Een persoon met een lengte van 1,90 meter loopt op een afstand van
6 meter van de waterkant onder de brug door.
opgave 6Quoridor
In deze opgave bekijken we de
tweepersoonsvariant van het spel
Quoridor dat gespeeld wordt met een
witte en een zwarte pion en meerdere
muurtjes op een speelbord van negen
bij negen velden. Zie foto 1.
Het doel van het spel is om met je pion zo snel mogelijk de overkant van
het speelbord te bereiken. Om beurten doen de spelers een zet. Een zet
bestaat uit het verplaatsen van de eigen pion of het neerzetten van een
nieuw muurtje. In deze opgave kijken we alleen naar het neerzetten van
de eerste twee muurtjes waarbij de pionnen niet verplaatst worden.
De velden zijn vierkantjes en de muurtjes worden in
gleuven tussen de velden neergezet. De muurtjes zijn
identiek en even lang als twee velden en één gleuf.
De muurtjes worden zo neergezet dat zich aan elke zijde
van het muurtje precies twee velden en een gleuf
bevinden. Zie foto 2. De letters in foto 2 staan niet echt
op het speelbord, maar die zijn toegevoegd om
de velden een naam te geven.
Muurtjes kunnen niet geheel of gedeeltelijk over elkaar
heen neergezet worden, daarom zijn er met elk
neergezet muurtje minder mogelijkheden om een
volgend muurtje neer te zetten.
Het muurtje op foto 2 staat ergens midden op het speelbord. Het volgende
muurtje kan niet op een van de volgende vier plaatsen neergezet worden:
rechts van A en B, rechts van B en C, rechts van C en D, onder B en F.
Als het eerste muurtje ergens midden op het bord neergezet is, dan zijn er
dus vier plaatsen minder om het tweede muurtje neer te zetten. Grenst
het eerste muurtje met een uiteinde aan de rand van het speelbord, dan
zijn er drie plaatsen minder om het tweede muurtje neer te zetten.
Op foto 1 zie je een mogelijke situatie waarin beide spelers een muurtje
hebben neergezet en de witte en zwarte pion nog op hun startpositie
staan.
216pTelproblemen 6p
Bereken op hoeveel manieren de eerste twee muurtjes neergezet hadden
kunnen worden.
Bronvermelding
Een opsomming van de in dit examen gebruikte bronnen, zoals teksten en afbeeldingen, is te vinden in het bij dit examen
behorende correctievoorschrift.
