opgave 1Reistijd
figuur 1
Een boot vaart op een rivier van A naar B en terug. De afstand tussen A en B is 10 km. De
boot vaart altijd met een snelheid van 20 km/u ten opzichte van het water. De rivier stroomt
in de richting van A naar B. Zie figuur 1.
Tijdens de reis van de boot van A naar B en terug is de stroomsnelheid van de rivier
constant. We noemen de stroomsnelheid v (in km/u).
Een voorbeeld: als v = 5, dan vaart de boot op de heenreis met een snelheid van 25 km/u ten
opzichte van de oever en op de terugreis met een snelheid van 15 km/u ten opzichte van de
oever.
De totale reistijd T van een retourtocht wordt gegeven door:
T =
Hierbij is T in uren en v in km/u met 0 < v < 20.
13p
Toon aan dat deze formule juist is.
23p
Bereken bij welke waarde van
v de totale reistijd van een retourtocht 2 uur is. Geef je
antwoord in twee decimalen nauwkeurig.
Als de stroomsnelheid van de rivier groter wordt, neemt de totale reistijd van een
retourtocht toe.
36p
Toon dit aan met behulp van de formule van de afgeleide functie van
T.
Veronderstel dat v varieert tussen 0 en 10 km/u en dat alle waarden van 0 tot en met 10
even vaak voorkomen. De gemiddelde reistijd kun je dan benaderen door T uit te rekenen
voor
v = 0,
v 
,
v 
,
v 
, enzovoort tot en met
v = 10 en van de reistijden het
gemiddelde te nemen.
45p
Bereken de gemiddelde reistijd met deze benaderingswijze; geef je antwoord in minuten
nauwkeurig.
Je kunt de gemiddelde reistijd ook uitrekenen met een integraal.
56p
Toon langs algebraïsche weg aan dat de gemiddelde reistijd gelijk is aan ln 3 uur.
opgave 2Maximumsnelheid
De snelheidsmeter van een auto geeft meestal niet precies aan wat de werkelijke snelheid is
waarmee de auto rijdt. Voor een bepaald type snelheidsmeter geldt het volgende: als de
snelheidsmeter een snelheid van v km/u aangeeft, is de waarde van de werkelijke snelheid
normaal verdeeld, waarbij het gemiddelde gelijk is aan v en de standaardafwijking gelijk is
aan 1,5% van dat gemiddelde.
Bij snelheidscontroles wordt een marge aangehouden van 3%. Dus bijvoorbeeld bij een
maximumsnelheid van 100 km/u wordt er beboet bij snelheden van 103 km/u en hoger.
Van een auto is de snelheidsmeter van bovenstaand type. De bestuurder rijdt volgens de
meter steeds met precies de toegestane maximumsnelheid.
Stel dat de toegestane maximumsnelheid 70 km/u is. De kans dat de werkelijke snelheid van
de bestuurder zo groot is dat hij voor een boete in aanmerking komt, is dan, afgerond op
drie decimalen, gelijk aan 0,023.
64p
Toon dit aan.
De kans dat hij in aanmerking komt voor een boete is voor elke toegestane
maximumsnelheid even groot.
74p
Toon dit aan.
De bestuurder passeert in een jaar 200 keer een elektronisch bord dat waarschuwt wanneer
men te hard rijdt, dat wil zeggen wanneer men de boetegrens overschrijdt. De kans dat de
bestuurder voor een boete in aanmerking komt, is telkens 0,023.
84p
Bereken de kans dat de bestuurder van die 200 keer meer dan 2 keer gewaarschuwd wordt.
opgave 3Achtervolging
Op tijdstip t = 0 beginnen de punten P en Q met een eenparige cirkelbeweging. De bewegingsvergelijkingen ⎧/⎪ x ( t ) = 5cos ( 10 11 t ) zijn ⎪ ⎧ x ( t ) = 5cos ( t + ⅔ π ) voor P : ⎨ en voor Q : ⎨ ⎪/⎩ y ( t ) = 5sin ( 10 11 t ) ⎪/⎩ y ( t ) = 5sin ( t + ⅔ π ) Hierbij is t in seconden. In figuur 2 staat de beginsituatie getekend. figuur 2 Tijdens de beweging wordt Q telkens door P ingehaald.
opgave 4Snijpunten met een ellips
→ Teken in de figuur op de uitwerkbijlage de snijpunten van deze ellips e en lijn AB . Licht je werkwijze toe. In figuur 4 en op de uitwerkbijlage is cirkel c nogmaals getekend met M en F en ellips e . Verder is een willekeurige middellijn XY getekend. De snijpunten van de ellips e en de lijn XY zijn P en Q . figuur 4 ∠ PFQ noemen we α en ∠ XFY noemen we β . Tussen α en β bestaat het volgende verband: β = ½ α + 90°.
opgave 5Exponentiële functie
x-coördinaten xA = 0 en xB = 1.
Op de grafiek van f ligt een punt C waarin de raaklijn aan de grafiek van f evenwijdig is aan
het lijnstuk AB.
135p
Bereken de
x-coördinaat van
C. Rond af op twee decimalen.
en de grafiek van f in R. Het gebied begrensd door de grafiek van f en de lijnstukken PS, PQ
en QR noemen we V. Het trapezium PQRS noemen we W. Zie figuur 5.
figuur 5
147p
Toon aan dat de verhouding
onafhankelijk is van
a.
opgave 6Vijf punten op een cirkel
Gegeven zijn de cirkels c1 en c2 met middelpunten M1 en M2 en stralen r1 en r2.
Cirkel c1 is groter dan cirkel c2. Cirkel c2 ligt geheel buiten cirkel c1.
Het verbindingslijnstuk M1M2 snijdt c1 in punt A en c2 in punt B. Zie figuur 6.
De lengte van lijnstuk AB is gelijk aan d. In figuur 6 is ook nog een derde cirkel c3
getekend, met middelpunt D en straal d.
We plaatsen c3 zo, dat hij c1 en c2 raakt. De raakpunten noemen we E en C.
Dan ligt het punt E op M1D en het punt C op M2D. Zie figuur 7.
Deze figuur staat ook vergroot op de uitwerkbijlage.
Vierhoek ABDE is een koordenvierhoek.
156p
Toon dit aan.
164p
Bewijs dat de vijf punten
A,
B,
C,
D en
E op één cirkel liggen.
Let op: de laatste vragen van dit examen staan op de volgende pagina.
opgave 7Periodieke rijen
Een rij u 0 , u 1 , u 2 , … noemen we periodiek met periode p als p het kleinste positieve gehele getal is waarbij voor alle waarden van n geldt dat u n + p = u n . Een voorbeeld van een periodieke rij met periode 4 is de rij 1, 5, 16, 12, 1, 5, 16, 12, 1, 5, 16, 12, … . Gegeven is een rij u 0 , u 1 , u 2 , … waarvoor geldt: ⎧ u 0 = 3 ⎪/⎪ u = 7 ⎪ u n + 2 = ( n = 0, 1, 2, 3, … )
→ Bereken exact voor welke waarde van a en welke waarde van b de rij periode 1 heeft. We kiezen weer u 0 = 3 en u 1 = 7. We definiëren een bij de rij u 0 , u 1 , u 2 , … horende productrij P 0 , P 1 , P 2 , … als volgt: ⎧ P 0 = u 0 ⎪/⎪ P 1 = u 0 ⋅ u 1 ⎪/⎨ P 2 = u 0 ⋅ u 1 ⋅ u 2 ⎪ … ⎪ ⎪/⎩ P n = u 0 ⋅ u 1 ⋅ … ⋅ u n ( n = 3, 4, 5, … )
