bronnen

Eindexamen wiskunde B vwo 2010, tijdvak 1 (wiskunde B1)

opgave 1Wisselingen in rijtjes kop en munt

Het komt wel eens voor dat onderzoeksresultaten vervalst worden om gewenste
uitkomsten te krijgen. In deze opgave bekijken we een wiskundige techniek om
zulke fraude te achterhalen. Deze techniek is erop gebaseerd dat het verdacht is
als in rijtjes onafhankelijke waarnemingen te veel afwisseling voorkomt. We
demonstreren deze techniek aan de hand van een sterk vereenvoudigde
situatie: het meerdere keren werpen van een muntstuk.
We werpen vier keer een zuiver muntstuk en noteren de rij uitkomsten kop (K) of
munt (M). We kijken naar het aantal wisselingen in zo’n rijtje. Zo heeft
bijvoorbeeld het rijtje MKMM twee wisselingen en het rijtje KKKK nul
wisselingen.
14p
Toon aan dat bij vier keer werpen de verwachtingswaarde van het aantal
wisselingen 1(1)/(2) is.
We werpen tien keer een zuiver muntstuk en noteren de rij uitkomsten:
⊗ −^1⊗ −^2⊗ −^3⊗ −^4⊗ −^5⊗ −^6⊗ −^7⊗ −^8⊗ −^9⊗
Hierin stelt ⊗ telkens kop (K) of munt (M) voor. De negen plekken waar een
wisseling kan optreden, zijn genummerd.
23p
Toon aan dat er 252 verschillende rijtjes van tien worpen zijn met precies
5 wisselingen.
In onderstaande tabel staan de kansen op de verschillende aantallen
wisselingen bij tien keer werpen van een muntstuk.
aantal wisselingen 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 kans 2 18 72 168 252 252 168 72 18 2 kans 1024 1024 1024 1024 1024 1024 1024 1024 1024 1024
Jolly moet tien keer een muntstuk werpen, het verkregen rijtje noteren en de
wisselingen tellen. Dit saaie werk moet zij 20 keer doen.
33p
Bereken de kans dat de 20 rijtjes allemaal ten minste één wisseling hebben.
Hieronder staan de rijtjes die Jolly heeft opgeschreven met achter elk rijtje het
aantal wisselingen.
KMKKMMMKMM 5 KKMKMMMKKK 4 MMMKMKMMKM 6 KMKMKKKKMK 6 MMKKKMMMMK 3 MMMKKMKMMM 4 MKMMMKKKMM 4 MKKKMMMMKM 4 KMKKMMKKMM 5 MMMMKKKKKK 1 MMKKKKKMMM 2 MMKMKMKKMK 7 KMKKMKMMKK 6 MMMKKMMMMK 3 KMMKMMKKMK 6 KKKMKMKKMK 6…

KMKKMMMKMM 5 KKMKMMMKKK 4 MMMKMKMMKM 6 KMKMKKKKMK 6 MMKKKMMMMK 3 MMMKKMKMMM 4 MKMMMKKKMM 4 MKKKMMMMKM 4 KMKKMMKKMM 5 MMMMKKKKKK 1 MMKKKKKMMM 2 MMKMKMKKMK 7 KMKKMKMMKK 6 MMMKKMMMMK 3 KMMKMMKKMK 6 KKKMKMKKMK 6 MKMKKMKMMK 7 KKKKMKMMMM 3 KKMKMKMMKK 6 MKMKMMKKKM 6

We vragen ons af of Jolly wel echt met een muntstuk heeft geworpen. Zij heeft
namelijk 9 rijtjes met meer dan 5 wisselingen genoteerd.
Als iemand echt met een muntstuk werpt, is de kans op 9 of meer rijtjes met
meer dan 5 wisselingen nogal klein. Als die kans kleiner dan 5% is, vertrouwen
we Jolly niet en verdenken we haar ervan dat zij - zonder echt met een muntstuk
te werpen - zomaar wat K-M-rijtjes heeft opgeschreven.
45p
Is er voldoende aanleiding om Jolly niet te vertrouwen? Licht je antwoord toe.

opgave 2Een gebroken functie

figuur 1 De functies f en g zijn gegeven door In figuur 1 zijn de grafieken van f en g getekend.
Bereken langs algebraïsche weg de exacte waarden van de x -coördinaten van de snijpunten van de grafieken van f en g . figuur 2 Het punt P ligt op de grafiek van f. De raaklijn in P aan de grafiek van f snijdt de x -as in S en de y -as in T. De x- coördinaat van P noemen we p. Zie figuur 2. Een…

Bereken langs algebraïsche weg de exacte waarden van de x -coördinaten van de snijpunten van de grafieken van f en g . figuur 2 Het punt P ligt op de grafiek van f. De raaklijn in P aan de grafiek van f snijdt de x -as in S en de y -as in T. De x- coördinaat van P noemen we p. Zie figuur 2. Een vergelijking van de raaklijn ST is

Toon dit aan.
Toon aan dat de oppervlakte van driehoek OST onafhankelijk is van de plaats van P op de grafiek van f .

opgave 3Oppervlakte en inhoud bij f(x) = ex

De functie f is gegeven door f(x) = ex.
figuur 1
86p
Op de grafiek van deze functie liggen de
punten A(0,1) en B(2,e2).
De grafiek van f en het lijnstuk AB sluiten een
vlakdeel in. Zie figuur 1.
Bereken algebraïsch de oppervlakte van dat
vlakdeel.
9 f 8 B 7 6 5 4 3 2 1 A -2 -1 O 1 2 3 x
96p
De grafiek van f, de lijn y = 1 en de
lijn x = 2 sluiten een vlakdeel in. Zie figuur 2.
We wentelen dit vlakdeel om de lijn y = 1.
Bereken de exacte inhoud van het
omwentelingslichaam dat dan ontstaat.
figuur 2 y 9 8 B 7 f 6 5 4 3 2 1 A C -2 -1 O 1 2 3 x

opgave 4Elo

De Hongaar Elo heeft een systeem bedacht om de gemiddelde speelsterkte van
een schaker in een getal uit te drukken. Het systeem gaat ervan uit dat de
speelsterkte van een schaker normaal verdeeld is, met standaardafwijking 200.
Het gemiddelde van de normale verdeling is niet bij elke schaker hetzelfde. Dit
gemiddelde is, afgerond op een geheel getal, de Elo-rating van de schaker.
Schaker A met Elo-rating 2345 speelt een groot aantal partijen tegen een
nieuwe schaakcomputer, waarvan de Elo-rating nog niet bekend is.
We veronderstellen dat de schaakcomputer altijd even sterk speelt met
speelsterkte x.
De verwachte score van A per partij wordt in het systeem van Elo gegeven door
de oppervlakte rechts van x onder de normaalkromme die behoort bij de
speelsterkte van A. Zie het grijs gemaakte gebied in figuur 1.
figuur 1
2345 x
Op grond van de gespeelde partijen tussen A en de schaakcomputer zijn de
kansen van A op winst, remise en verlies bekend. Deze kansen staan in de
volgende tabel:
  winst remise verlies kans van A 0,1 0,6 0,3
Een winstpartij levert A 1 punt op, remise (1)/(2) punt en een verliespartij 0 punten.
De verwachte score van A per partij is dus 0,1 ⋅ 1 + 0,6 ⋅ (1)/(2) + 0,3 ⋅ 0 = 0,4.
103p
Bereken met behulp van deze gegevens de Elo-rating x van de schaakcomputer.
Schaker A speelt vervolgens een match tegen een andere schaakcomputer, die
een rating van 2400 heeft.
De verwachte score van A per partij is de oppervlakte van het grijs gemaakte
gebied in figuur 2.
figuur 2
2345 2400
De match gaat over 12 partijen. Het verwachte aantal punten V dat A in de hele
match behaalt, is 12 maal de verwachte score van A per partij.
Het aantal punten dat A behaalt in de match blijkt 6(1)/(2) te zijn. Dat is meer dan
het verwachte aantal V. De rating van A wordt daarom na de match als volgt
aangepast:
nieuwe rating van A = oude rating van A + 10 · (6(1)/(2) – V).
115p
Bereken de nieuwe rating van A.

opgave 5Een parabool?

Voor elk getal a met 0 ≤ a ≤ 10 zijn gegeven:
het punt A(a,a) op de lijn y = x en het punt B(a −10,10 − a) op de lijn y = − x.
Zie figuur 1.
figuur 1
y 10 y=-x y=x (a -10, 10-a) A (a, a) -10 O 10 x
Voor de lijn AB geldt de formule y = ((1)/(5)a − 1)x − (1)/(5)a^2 + 2a.
124p
Toon aan dat deze formule juist is voor a = 4.
Voor elke waarde van a tussen 0 en 10 heeft het lijnstuk AB een snijpunt met de
y-as. Zie figuur 2.
figuur 2
y 10 y=-x y=x -10 O 10 x
De grootste waarde die de y-coördinaat van zo’n snijpunt aanneemt is 5.
134p
Toon dit langs algebraïsche weg aan.
Als je alle verbindingslijnstukken AB tekent voor 0 ≤ a ≤ 10, wordt een gebied G
opgevuld. In figuur 3 is het gebied G grijs gemaakt.
figuur 3
y 10 y=-x y=x G -10 O 10 x
Het lijkt alsof het gebied G aan de bovenkant begrensd wordt door een
parabool. Als dit juist is, is dat de parabool die door de punten (0,5), (10,10) en
(−10,10) gaat.
Een formule van die parabool is: y = (1)/(20)x^2 + 5.
144p
Toon dit laatste aan door uit te gaan van de formule y = ax2 + bx + c en de
waarden van a, b en c te berekenen.
(4,5(4)/(5)) is een punt van de parabool y = (1)/(20)x^2 + 5.
Als het gebied G aan de bovenkant begrensd wordt door deze parabool, is de
raaklijn aan de parabool in (4,5(4)/(5)) een van de lijnen AB.
156p
Onderzoek of de raaklijn aan de parabool in (4,5(4)/(5)) een van de lijnen AB is.
Let op: de laatste vragen van dit examen staan op de volgende pagina.

opgave 6Jupiter en Aarde

De planeten Jupiter en Aarde draaien om de zon. In deze opgave doen we de
werkelijkheid enigszins geweld aan met de volgende vereenvoudigingen:
− de banen van Jupiter en Aarde zijn cirkelvormig
− de banen liggen in één vlak
− Jupiter en Aarde hebben constante snelheid
− Jupiter en Aarde zijn puntvormig
− de omlooptijd van Aarde is 1 jaar
− de omlooptijd van Jupiter is 12 jaar
− de afstand Jupiter-Zon is 5 keer zo groot als de afstand Aarde-Zon
figuur 1
Z A J
We kiezen een assenstelsel in het vlak waar Jupiter en Aarde zich bewegen met
Zon in de oorsprong en als lengte-eenheid de astronomische eenheid (AE); dat
is de afstand Aarde-Zon. Eén AE is 150 miljoen km.
Aarde heeft in dit model de bewegingsvergelijkingen: xA = cos2πt, yA = sin2πt.
De bewegingsvergelijkingen van Jupiter zijn: x_J = 5cos(1)/(6)πt, y_J = 5sin(1)/(6)πt.
Hierbij is t de tijd in jaren.
In figuur 1 staat een schets van de situatie op tijdstip t = 0.
163p
Bereken de snelheid van Aarde in km/uur. Neem voor een jaar 365 dagen.
De onderlinge afstand tussen Jupiter en Aarde op tijdstip t is gelijk aan
26−10cos(11πt) AE. 6
173p
Bereken het eerste tijdstip na t = 0 waarop de onderlinge afstand tussen Jupiter
en Aarde gelijk is aan 5 AE.
185p
Bereken op algebraïsche wijze met welke snelheid de afstand tussen Aarde en
Jupiter verandert op tijdstip t = 3. Geef je antwoord in AE/jaar, afgerond op twee
decimalen.
Op tijdstip t = 0 staan Zon, Aarde en Jupiter op één lijn, met Aarde tussen Zon
en Jupiter in. Zie figuur 1. Er zijn meer tijdstippen waarop dit zo is.
195p
Bereken het eerstvolgende tijdstip na t = 0 waarop dit het geval is.