opgave 1Draaiend huis
Op de Hasseltrotonde in Tilburg staat een huis. Eigenlijk is ‘staat’ niet het
goede woord, want het huis beweegt: het draait in het rond. Het gevolg is
dat elke keer dat je langs de rotonde rijdt, het huis op een andere plaats
kan staan. Het is een kunstproject, ontworpen door John Körmeling.
Zie foto 1 en foto 2 hieronder.
Het huis legt in 20 uur één ronde af, zodat je, als je de rotonde elke dag
op hetzelfde tijdstip passeert, het huis geen twee opeenvolgende dagen
op dezelfde plaats ziet.
Op een maandag staat het huis om acht uur ‘s morgens (08.00 uur)
precies aan de oostkant van de rotonde. Voor het vervolg van de opgave
is dit t = 0. In figuur 1 is een overzicht van de situatie te zien. Het huis is
in figuur 1 weergegeven als vierkantje en bevindt zich in punt O.
figuur 1
Het huis draait met de rijrichting van het verkeer mee.
13puitwerkbijlageProcenten, verhoudingen en eenheden 3p
Geef in de figuur op de uitwerkbijlage de plaats aan waar het huis zich op
diezelfde maandag om 20.30 uur bevindt. Licht je antwoord toe.
23pProcenten, verhoudingen en eenheden 3p
Bereken hoeveel hele weken na tijdstip t = 0 het huis zich voor het eerst
weer om 08.00 uur op maandag in punt O bevindt.
De straal van de cirkel waarover het huis beweegt, is 30 meter. De
afstand tussen het huis en de weg is 2,5 meter. Het oorspronkelijke idee
van kunstenaar John Körmeling was om het huis in dezelfde tijd rond te
laten draaien als de tijd die het de auto’s kost om de rotonde rond te
rijden. Omdat de auto’s op de rotonde een grotere afstand moeten
afleggen dan de afstand die het huis aflegt, hebben de auto’s dan dus een
hogere snelheid. In figuur 2 is het draaiende huis met H aangegeven en
een auto op de rotonde met A.
figuur 2
De kunstenaar ging ervan uit dat de auto’s met een gemiddelde snelheid
van 25 km/uur op de rotonde zouden rijden.
De omtrek van een cirkel bereken je met de formule: omtrek = 2π ⋅ straal
opgave 2Tweepiramidendak
Op de foto zie je een bijzonder huis:
als basis voor het grondvlak zijn twee even grote
overlappende vierkanten gebruikt. Het dak
bestaat uit twee piramidevormige delen die aan
elkaar vastzitten.
In figuur 1 zie je een model van het dak van dit
huis. In het vervolg van deze opgave kijken we
naar dit model, waarbij de verbinding tussen de
toppen van beide dakdelen buiten beschouwing
is gelaten.
Figuur 2 laat zien hoe figuur 1 is ontstaan: ABCD.T en EFGH.S zijn twee
even grote symmetrische vierzijdige piramiden. De top T ligt precies
boven punt
F. Verder is
.
Op de uitwerkbijlage is het begin van een bovenaanzicht van figuur 1
getekend.
44puitwerkbijlagePerspectief en aanzichten 4p
Maak dit bovenaanzicht op de uitwerkbijlage af.
Op de uitwerkbijlage is een perspectieftekening van grondvlak ABCD van
de voorste piramide te zien.
55puitwerkbijlagePerspectief en aanzichten 5p
Teken het grondvlak EFGH van de achterste piramide in deze
perspectieftekening op de uitwerkbijlage.
Om in te schatten hoeveel dakpannen er nodig zijn voor het dak, is het
nodig om de totale oppervlakte te berekenen van alle schuine
bovenvlakken van het model van het tweepiramidendak. De volgende
afmetingen zijn bekend: AB = 7 m, AP = 3,5 m, AT = 6,49 m en de
afstand van T tot AB is (afgerond op twee decimalen) 5,47 m.
64pOppervlakte, inhoud en schaal 4p
Bereken de totale oppervlakte van alle schuine bovenvlakken van het
model van het tweepiramidendak.
Geef je antwoord in een geheel aantal m2.
opgave 3Huurprijzen in New York
New York is al decennialang een van de populairste steden ter wereld om
te wonen met als gevolg dat de gemiddelde prijs van huurwoningen er
explosief gestegen is. In 1970 bedroeg de gemiddelde huur van een
woning in New York $ 125 per maand. In 2013 was dat gestegen tot $ 917
per maand. Dat is een toename van ruim 600%.
Zo’n vergelijking is echter niet helemaal eerlijk, want de waarde van geld
verandert ook. Dat heet inflatie. Sinds 1970 bedroeg de gemiddelde
inflatie per jaar 3,95%. We gaan ervan uit dat sinds 1970 de huurprijzen,
onafhankelijk van andere factoren, jaarlijks door de inflatie 3,95%
gestegen zijn.
Door de $ 125 uit 1970 om te rekenen naar dollars uit 2013 kan je de
reële gemiddelde huurstijging berekenen. De reële gemiddelde
huurstijging is de procentuele stijging van de gemiddelde huurprijzen
boven op de stijging als gevolg van de inflatie.
73pExponentiële functies en groei 2p · Procenten, verhoudingen en eenheden 1p
Bereken de reële gemiddelde huurstijging. Geef je antwoord in één
decimaal.
In het vervolg van deze opgave zijn alle genoemde bedragen, getallen en
percentages berekend met de naar 2013-dollars omgerekende bedragen.
Je hoeft dus zelf geen rekening te houden met inflatie.
Verder spreken we in het vervolg van deze opgave over inkomen,
huurprijs en huurlast, terwijl daar gemiddeld inkomen, gemiddelde
huurprijs en gemiddelde huurlast bedoeld wordt.
Een belangrijke maatstaf om de betaalbaarheid van huurwoningen te
onderzoeken is het percentage van het inkomen dat besteed wordt aan
het betalen van de huur: de huurlast.
In 1960 bedroeg de huurprijs in New York $ 561 en was de huurlast 15%.
In de periode tussen 1960 en 2013 stegen de huurprijzen met 63,5%,
terwijl het maandinkomen in dezelfde periode met slechts 17% steeg.
Uit deze gegevens volgt dat de huurlast in 2013 ongeveer gelijk was
aan 21%.
83pProcenten, verhoudingen en eenheden 3p
Laat een berekening zien waaruit dit blijkt.
Doordat de huurprijzen sneller stijgen dan de inkomens, neemt de
huurlast steeds verder toe: van 15% in 1960 tot 21% in 2013. Een
econoom beweert dat er zich grote problemen zullen gaan voordoen als
de huurlast boven de 25% uitkomt. De econoom gaat ervan uit dat de
huurlast exponentieel is toegenomen sinds 1960 en dat die exponentiële
stijging zich ook na 2013 voortzet.
94pExponentiële functies en groei 2p · Vergelijkingen en snijpunten met de GR oplossen 2p
Bereken in welk jaar de huurlast volgens deze veronderstelling voor het
eerst groter is dan 25%.
In figuur 1 is het werkelijke verloop van de huurprijs in New York en van
het inkomen van zijn inwoners als percentage van de bedragen in 1960
uitgezet tegen de tijd.
figuur 1
Hieronder staan twee uitspraken die gaan over de gegevens in figuur 1:
1 In de periode 1960–1980 steeg de huurprijs sneller dan in de periode
1980–2000.
2 In de periode 1990–2000 daalde de huurlast.
104pTabellen en grafieken lezen en gebruiken 4p
Leg voor elk van deze uitspraken uit of deze waar is of niet.
figuur 2
In figuur 2 is te zien dat de huurprijs schommelt om een trendlijn. De
huurprijs kan dus worden benaderd met behulp van deze trendlijn.
In 1960 bedroeg de huurprijs in New York $ 561 en was de huurlast 15%.
Het gemiddelde maandinkomen van de inwoners van New York was op
zijn hoogst in het jaar 2000 en was toen $ 4832. In een rapport van de
Bank of America uit 2013 stond dat het gemiddelde maandinkomen pas in
2023 weer op het niveau van het jaar 2000 zou zijn.
Je kunt nu, uitgaande van de getekende trendlijn voor de huurprijs en de
veronderstelling uit het rapport van de Bank of America, berekenen wat in
2023 de huurlast in New York zal zijn.
opgave 4De Grand Prix van Monaco
Op 19 mei 1996 werd in Monaco de Grand Prix Formule 1 de Monaco
gehouden. Deze race staat in de autosport bekend als de race met de
meeste uitvallers ooit. Aan deze race namen 22 coureurs deel, van wie er
uiteindelijk slechts drie de finish haalden.
123pTelproblemen 3p
Bereken hoeveel verschillende top 3’s er mogelijk zijn in een wedstrijd
met 22 deelnemers.
De race duurde 75 ronden van 3328 meter en werd gewonnen door de
Fransman Olivier Panis.
Panis deed in totaal 2 uur en 45 seconden over de race.
133pProcenten, verhoudingen en eenheden 3p
Bereken zijn gemiddelde snelheid. Geef je antwoord in hele kilometers
per uur.
De uitslag van de race staat in de tabel. Bij de uitgevallen coureurs staat
aangegeven of ze uitvielen door een ongeluk (O), door technische
problemen (T) of door een stuurfout (S).
tabel
positie naam positie naam 1 O. Panis - - M. Brundle S 2 D. Coulthard - - G. Berger T 3 J. Herbert - - P. Diniz T 4 H. Frentzen T - R. Rosset S 5 M. Salo O - U. Katayama S 6 M. Häkkinen O - R. Barrichello S 7 E. Irvine O - M. Schumacher O - J. Villeneuve O - P. Lamy O - J. Alesi O - G. Fisichella O - L. Badoer O - J. Verstappen O - D. Hill T - A. Montermini T
Ondanks dat Frentzen, Salo, Häkkinen en Irvine uitgevallen zijn, hebben
ze toch een positie in de eindstand toebedeeld gekregen, omdat ze
tenminste 90% van de te racen afstand hebben afgelegd. Deze posities
zijn op volgorde van het aantal afgelegde ronden. Als dat aantal gelijk is,
wordt gekeken naar wie als eerste over de finish kwam aan het einde van
die ronde.
Bij iedere race in een Formule 1-seizoen kunnen de coureurs punten
verdienen voor het kampioenschap. Bij de race in 1996 gold de regel dat
de eerste 6 coureurs punten kregen, de overige 16 coureurs niet. Het was
dus mogelijk dat een uitgevallen coureur toch punten behaalde.
In het diagram in de figuur zijn alle mogelijkheden voor de coureurs
schematisch weergegeven.
figuur
In dit diagram geldt:
− A zijn de coureurs die punten hebben behaald.
− B zijn de coureurs die zijn uitgevallen.
− C zijn de coureurs die zijn uitgevallen door een ongeluk.
− D zijn de coureurs die zijn uitgevallen door technische problemen.
Het ingekleurde deel van het diagram kan maar één coureur bevatten.
142pLogisch redeneren 2p
Leg uit welke coureur dat is.
Er is ook één gebied in het diagram dat helemaal leeg blijft bij de race in
Monaco.
152puitwerkbijlageLogisch redeneren 2p
Geef op de uitwerkbijlage aan welk gebied dat is.
We kunnen de positie van een coureur in het diagram ook beschrijven met
behulp van logische symbolen. Er geldt:
− a: ‘de coureur’ bevindt zich in gebied A.
− b: ‘de coureur’ bevindt zich in gebied B.
− c: ‘de coureur’ bevindt zich in gebied C.
− d: ‘de coureur’ bevindt zich in gebied D.
Als bijvoorbeeld ‘de coureur’ zou verwijzen naar een coureur in het
ingekleurde gebied, dan geldt
.
162pLogisch redeneren 2p
Beredeneer naar welke coureurs ‘de coureur’ allemaal zou kunnen
verwijzen als geldt
.
172pLogisch redeneren 2p
Geef in logische symbolen de situatie weer dat ‘de coureur’ verwijst naar
M. Schumacher.
opgave 5Padovantafels
Op de foto zie je een zogenoemde
Fibonaccitafel van de firma NautaBene
Design. Het patroon van het tafelblad is
geïnspireerd op de rij van Fibonacci:
1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21,….
Het tafelblad bestaat uit vier vierkanten en
een rechthoekig gat.
De zijden van de vierkanten verhouden
zich als 5: 8: 13: 21.
De tafel is 120 cm lang en 74 cm breed.
183pProcenten, verhoudingen en eenheden 3p
Bereken de afmetingen van het rechthoekige gat. Je mag hierbij de
randen om de vierkanten buiten beschouwing laten. Geef je antwoord in
een geheel aantal cm.
Behalve de rij van Fibonacci bestaan er ook andere rijen, bijvoorbeeld de
rij van Padovan. In figuur 1 zie je het ontwerp voor een Padovantafel.
Het tafelblad bestaat uit zes gelijkzijdige driehoeken met zijden van 2, 2,
3, 4, 5 en 7 dm. In het tafelblad zit een gat. Hier zijn drie gelijkzijdige
driehoekjes met een zijde van 1 dm weggelaten.
figuur 1
Het patroon van het tafelblad is geïnspireerd op de rij van Padovan, een
rij getallen die op de volgende manier beschreven kan worden:
De tweede regel zegt dat p4 = p2 + p1, p5 = p3 + p2, enzovoort.
Zo ontstaat dus de rij getallen: 1, 1, 1, 2, 2, 3, 4, 5, 7,…
Deze rij kan nog verder voortgezet worden.
In figuur 2 zie je nogmaals het ontwerp voor de Padovantafel, waarvan
pn de lengte van de zijde van de n-de driehoek is. Bij een zijde van elke
driehoek is de bijbehorende term pn uit de rij van Padovan gezet.
figuur 2
In figuur 2 is te zien dat vanaf p6 het volgende geldt:
enzovoort.
Blijkbaar kunnen de Padovan-getallen vanaf p6 ook op deze manier
berekend worden.
192pRijen en recursie 2p
Geef een recursieve formule (inclusief startwaarden) die bij deze manier
hoort.
Op grond van de formule pn = pn−2 + pn−3 aan het begin van deze
opgave geldt dus:
202pFormules herleiden en omwerken 2p
Toon aan, door uit te gaan van de formules 4, 5 en 6, dat geldt:
p6 = p5 + p1. Doe dit zonder een getallenvoorbeeld te gebruiken.
opgave 6De Wisselslag
Zwembad De Wisselslag in Blerick (Limburg) heeft drie binnenbaden,
waaronder een wedstrijdbad met een inhoud van 647 m3, en een
buitenbad.
Om een zwembad te vullen kunnen er verschillende types pompen
gebruikt worden. Hoe verder een pomp van het zwembad af staat, hoe
meer tijd het kost om het zwembad te vullen.
In onderstaande figuur is voor vier verschillende pompen de hoeveelheid
water die een pomp per uur kan vullen (Q) in m3 per uur uitgezet tegen de
afstand van de pomp tot het zwembad (A) in meters.
figuur
Het wedstrijdbad van De Wisselslag wordt gevuld met behulp van een
pomp van type SB15 op 8 meter afstand. Als de medewerkers op
diezelfde afstand een pomp van type SB20 zouden gebruiken, zou er
minder tijd nodig zijn om het zwembad te vullen.
214pProcenten, verhoudingen en eenheden 3p · Tabellen en grafieken lezen en gebruiken 1p
Bereken met behulp van de figuur hoeveel tijd er dan minder nodig zou
zijn om het zwembad te vullen. Geef je antwoord in een geheel aantal
minuten.
De grafiek die hoort bij een pomp van type SB10 staat vergroot in de
figuur op de uitwerkbijlage. Ook hierin is A de afstand van de pomp tot het
zwembad in meters en Q het aantal m3 per uur waarmee het zwembad
gevuld kan worden.
224puitwerkbijlageGemiddelde verandering en differentiequotiënt 4p
Schat met behulp van de figuur op de uitwerkbijlage de waarde van de
helling van de grafiek bij A = 10 en leg uit wat de betekenis is van deze
waarde. Geef de waarde van de helling in één decimaal.
De bezoekersaantallen van het buitenbad van zwembad De Wisselslag
lopen terug. Daardoor dreigt het buitenbad gesloten te worden.
Dit teruglopen van bezoekersaantallen van zwembaden is een landelijk
probleem, met name in buitenbaden. Zie onderstaande tabel.
tabel
Je ziet in de tabel dat in de periode tussen 2003 en 2012 zowel het aantal
buitenzwembaden als het aantal bezoekers per buitenzwembad afneemt.
Ook het totale aantal bezoekers zal dus vanaf 2003 afnemen.
233pExponentiële functies en groei 2p · Procenten, verhoudingen en eenheden 1p
Onderzoek of het totale aantal bezoekers van buitenzwembaden in de
periode tussen 2003 en 2012 exponentieel afneemt.
Een deskundige beweerde in 2012 dat het zeer waarschijnlijk was dat het
aantal buitenzwembaden in de jaren na 2012 zou blijven dalen tot één
buitenzwembad per twee gemeenten. In 2019 telde Nederland 355
gemeenten.
243pLineaire functies 3p
Onderzoek met behulp van lineair extrapoleren of de deskundige in 2019
al gelijk heeft gekregen.
