opgave 1Opgave 1 Contradansen
Een Engelse contradans is een muziekstuk dat uit twee delen bestaat. Ieder deel
bestaat uit acht maten.
In het boekje “Musik mit Würfeln” staat een systeem beschreven om, zonder enige
muzikale kennis, zelf zulke contradansen te maken met behulp van twee
dobbelstenen. In dit boekje staan 176 verschillende maten uitgeschreven. Deze maten
zijn genummerd van 1 tot en met 176. Ter illustratie zijn in figuur 1 de eerste zes
maten afgebeeld.
De getallen 1 tot en met 176 zijn verdeeld over twee even grote tabellen. De tabel die
nodig is voor het eerste deel van de contradans is afgebeeld in tabel 1.
12 145 97 6 121 56 67 63 16
De andere tabel, die nodig is voor het tweede deel van de contradans, zullen we hier
niet gebruiken.
Door nu 8 keer met twee zuivere dobbelstenen te gooien, kun je in tabel 1 aflezen uit
welke maten het eerste deel van de contradans zal bestaan. Gooi je bijvoorbeeld bij
de eerste worp samen 10 ogen, dan lees je in kolom A af dat maat 99 de eerste maat
is. Gooi je daarna bijvoorbeeld samen 5 ogen, dan lees je in kolom B af dat maat 114
de tweede maat is. Zo ga je door totdat je uit elk van de kolommen A tot en met H
één maat hebt gekozen. De aldus verkregen acht maten vormen het eerste deel van de
contradans.
Iemand beweert dat er op deze wijze meer dan 200 miljoen verschillende eerste delen
van contradansen gemaakt kunnen worden.
13p
Onderzoek of deze bewering waar is.
Het is mogelijk dat na drie keer gooien met de beide dobbelstenen de maten
36 – 114 – 8 de eerste drie maten vormen van het eerste deel van een contradans.
24p
Bereken de kans op deze volgorde.
Iemand beweert dat de kans dat maat H een nummer heeft dat groter is dan 100
gelijk is aan
. Immers, in de kolom onder
H staan 11 getallen, waarvan er 5 groter
zijn dan 100.
Met een berekening kunnen we aantonen dat deze bewering niet waar is.
36p
Bereken hoe groot deze kans wél is.
opgave 3Opgave 3 Kwaliteitscontrole
In een fabriek worden plastic zakken gevuld met suiker. De vulmachine staat
afgesteld op 510 gram.
Neem aan dat het gewicht van de zakken suiker normaal verdeeld is met een
gemiddelde µ van 510 gram en een standaardafwijking σ van 4 gram.
83p
Bereken hoeveel procent van alle zakken een gewicht minder dan 500 gram zal
hebben.
Om de kwaliteit van het vulproces te bewaken, wordt elk uur een aselecte steekproef
van 5 zakken suiker genomen. Van elke zak noteert men het gewicht. Ook wordt van
de steekproef het totale gewicht T berekend.
95p
Bereken de kans dat het totale gewicht van de steekproef minder is dan 2525 gram.
Verder bepaalt men van elke steekproef het gemiddelde gewicht ¯x en de
spreidingsbreedte R (dat is het verschil tussen de grootste en de kleinste meting).
Men noteert al deze gegevens op een controlekaart, de ¯x /R-kaart. Op de ¯x /R-kaart
hieronder (zie figuur 2) staan de meetresultaten van 10 steekproeven.
Iedere steekproef bestaat uit 5 zakken. Op de controlekaart worden de afwijkingen
van 500 gram bij ieder van deze 5 zakken genoteerd als x1, x2, x3, x4 en x5.
Zo heeft de derde zak van de tweede steekproef een gewicht van 509 gram. Dit is
genoteerd als 9.
Het gemiddelde van de eerste steekproef is 509,6 gram. Dit wordt dan genoteerd als 9,6.
De spreidingsbreedte van de eerste steekproef is 515 – 504 = 11 gram.
¯x /R-kaart
steekproefnr 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 x 12 8 10 8 11 9 12 2 5 12 1 x 15 12 13 13 12 14 11 11 8 12 2 x 7 9 15 11 8 7 9 7 13 3 x 4 12 12 6 9 16 10 9 8 4 x 10 15 8 5 10 3 10 16 5 5 totaal T 48 56 58 43 50 53 49 42 45 50 gemiddelde x 9,6 11,2 11,6 8,6 10 10,6 9,8 8,4 9 10 spreidingsbr R 11 7 7 8 4 11 13 9 11 8 controle- 16 grens 14 12 10 8 controle- 6 grens 4 28 24 controle- 20 grens 16 12 8 4 traak-x traak- R
Bij steekproef nummer 6 zijn enkele gegevens onleesbaar geworden.
103p
Welke getallen kunnen hier bijvoorbeeld gestaan hebben? Licht je antwoord toe.
Bij de controle van het vulproces met behulp van de ¯x /R-kaart let men erop of ¯x of R
de zogeheten controlegrenzen overschrijden. Deze controlegrenzen zijn in de
grafieken met stippellijnen aangegeven. Zodra bij een steekproef een van deze
grenzen overschreden wordt, slaat men alarm.
Op een gegeven moment slaat men alarm bij een steekproef, terwijl met de waarde
van ¯x niets mis is.
114p
Wat zouden de vijf gewichten in deze steekproef bijvoorbeeld kunnen zijn? Licht je
antwoord toe.
De zakken zijn bedrukt met het bedrijfslogo. Soms is dit logo onscherp afgedrukt.
Volgens de afdeling Verpakkingen heeft 5% van de zakken een onscherp logo.
Een werknemer van die afdeling vermoedt echter dat dit percentage hoger is dan 5%.
Er wordt een steekproef getrokken van 50 zakken. Op 6 van de 50 zakken is het
bedrijfslogo onscherp.
125p
Onderzoek of de 6 zakken met het onscherpe bedrijfslogo voldoende aanleiding zijn
om de werknemer in het gelijk te stellen. Neem als significantieniveau α = 0,025.
opgave 4Opgave 4 Koeling
Wageningse onderzoekers hebben zich verdiept in de groei van het aantal bacteriën in
voedsel. Bij constante bewaartemperatuur groeit het aantal bacteriën exponentieel.
De bijbehorende groeifactor hangt af van die bewaartemperatuur.
Bij een krantenartikel hierover stond de volgende grafiek. Zie figuur 3. De
schaalverdelingen langs de beide assen zijn zo gekozen dat de grafieken, die de groei
van het aantal bacteriën weergeven, rechte lijnen zijn.
Deze figuur is ook afgebeeld op de bijlage.
Temperatuursafhankelijkheid van het bederf van kip door pseudomonasbacteriën
aantal bacteriën per gram 1010 108 wwii ww nnkk aa ee aa ll rr dd BB bbiijj 44˚˚ CC bbee ww ww iinn aa kk aa ee rrdd ll AA bbiijj 00˚˚CC bbee 55 dd 00 ee mm rrffgg iill r j r joo ee ee nn nn ss bb ee 106 104 102 100 0 5 10 15 20 tijd in dagen
In de grafiek wordt de bacteriegroei beschreven in kip die bij 0 °C (winkel A)
respectievelijk 4 °C (winkel B) wordt bewaard.
134p
Toon aan dat bij 0 °C het aantal bacteriën zich per dag meer dan verdubbelt.
In figuur 3 is het aantal bacteriën per gram bij het begin gelijk aan 1000. De
bederfgrens ligt bij 50 miljoen bacteriën per gram. In de figuur is af te lezen dat kip
die voortdurend op 0 °C wordt bewaard, na 14 dagen de bederfgrens bereikt.
Door verbeterde hygiëne is men in staat het aantal bacteriën bij het begin terug te
brengen van 1000 per gram naar 100 per gram. Dit verlengt de houdbaarheid
natuurlijk.
Bij bewaren bij 0 °C (winkel A) duurt het dan in totaal 17 dagen voordat de
bederfgrens bereikt wordt. De houdbaarheid wordt dus met 3 dagen verlengd.
Bij bewaren bij 4 °C (winkel B) wordt de houdbaarheid door die verbeterde hygiëne
met minder dan 3 dagen verlengd. De groeifactor per dag die bij 4 °C hoort, is 8,3.
145p
Met hoeveel dagen wordt de houdbaarheid bij 4 °C door die verbeterde hygiëne
verlengd? Licht je antwoord toe. Je kunt daarbij gebruik maken van de figuur op de
bijlage.
Om figuur 3 te tekenen gebruikten de onderzoekers een formule voor het verband
tussen de bewaartemperatuur T en de groeifactor per dag g van het aantal bacteriën.
Bij het opstellen van deze formule waren zij er van uitgegaan dat bacteriegroei alleen
optreedt boven een bepaalde minimumtemperatuur. Deze minimumtemperatuur T0
hangt af van het soort voedsel. Voor elk soort voedsel heeft de formule de volgende
vorm:
g = 10
In deze formule is T in °C met T ≥ T0 en is c een constante.
We kunnen controleren dat er volgens deze formule inderdaad geen bacteriegroei
optreedt als T = T0.
153p
Voer deze controle uit.
Uit praktische overwegingen schrijft men de formule voor de groeifactor vaak in de
vorm
g = 10
m. Deze variabele
m is afhankelijk van
T. Er geldt:
=
c ⋅ (
T – T0).
Voor elk soort voedsel moeten c en T0 experimenteel bepaald worden. Zo heeft men
voor kip bij allerlei bewaartemperaturen de bacteriegroei gemeten.
Bij de verwerking van de metingen hebben de onderzoekers het verband tussen T en
in een grafiek gezet, omdat dit verband volgens de formule lineair is. Het resultaat
staat in figuur 4. Deze figuur is ook afgebeeld op de bijlage.
Pseudomonas in kip 166p
Leid uit de grafiek van dit lineaire verband benaderingen af voor de constanten
cen T0. Je kunt bij de beantwoording gebruik maken van de figuur op de bijlage.
Ga er in de rest van de opgave van uit dat geldt: c = 0,096 en T0 = –6.
In figuur 3 kunnen we aflezen dat kip met een aantal bacteriën van 1000 per gram bij
het begin na 14 dagen de bederfgrens bereikt wanneer die wordt bewaard bij 0 °C.
Het kan echter ook voorkomen dat deze kip tijdens het transport een halve dag
(12 uur) wordt bewaard bij een temperatuur van 18 °C en daarna steeds bij 0 °C.
175p
Hoeveel eerder wordt dan de bederfgrens bereikt? Licht je antwoord toe en gebruik
daarbij eventueel de figuur op de bijlage.
Let op: de laatste vragen van dit examen staan op de volgende pagina.
opgave 5Opgave 5 Kosten bij plastics
Bij industriële productieprocessen worden de totale productiekosten voornamelijk
bepaald door de grootte van de installaties die daarvoor gebruikt worden. Dit is
bijvoorbeeld het geval bij de productie van plastics.
In deze opgave bekijken we zo’n productieproces. Alle bedragen in deze opgave zijn
op jaarbasis. Voor een bedrijf waar een dergelijk productieproces plaats vindt,
gebruikt men de volgende formule voor de kosten K:
K = 25 000 ⋅ P 0,62
In deze formule is K in dollars en is P de productie in tonnen per jaar.
De grafiek die bij deze formule hoort zie je in onderstaande figuur 5.
In de grafiek zien we dat de kosten toenemen als de productie toeneemt. Het is de
vraag of ook de marginale kosten K′toenemen bij toenemende productie.
185p
Onderzoek of de marginale kosten toenemen bij toenemende productie.
Ook de opbrengst hangt van de productie af. Men gebruikt hiervoor de formule:
O = 750P
In deze formule is de opbrengst O in dollars en is P weer de productie in tonnen per
jaar.
We willen nu onderzoeken op welke wijze de productie van plastics het best kan
worden ingericht; de vraag is dan of de producent moet kiezen voor grootschalige dan
wel kleinschalige productie. Doelstelling hierbij is dat de producent zo veel mogelijk
winst wil maken.
Iemand gaat er van uit dat de maximale winst gevonden wordt als de marginale
kosten
K′gelijk zijn aan de marginale opbrengst
O
Hij berekent daartoe voor welke
waarde van
P geldt dat
K′=
O
195p
Bereken deze waarde van
P.
De in vraag 19 berekende waarde van P levert echter niet de maximale winst op.
205p
Leg uit of de producent zijn productie grootschalig of kleinschalig moet inrichten om
zoveel mogelijk winst te maken.
