Eindexamen wiskunde A vwo 2001 tijdvak 1 (wiskunde A1)

opgave 1Opgave 1 Contradansen

Een Engelse contradans is een muziekstuk dat uit twee delen bestaat. Ieder deel

bestaat uit acht maten.

In het boekje „Musik mit Würfeln” staat een systeem beschreven om, zonder enige

muzikale kennis, zelf zulke contradansen te maken met behulp van twee

dobbelstenen. In dit boekje staan 176 verschillende maten uitgeschreven. Deze maten

zijn genummerd van 1 tot en met 176. Ter illustratie zijn in figuur 1 de eerste zes

maten afgebeeld.

figuur 1

De getallen 1 tot en met 176 zijn verdeeld over twee even grote tabellen. De tabel die

nodig is voor het eerste deel van de contradans is afgebeeld in tabel 1.

tabel 1

aantal ogen:

De eerste acht maten:

70 14 164 122 25 153 18 10 64 100 12 149 30 161 33 1 160 163 77 156 168 36 114 8 35 111 39 137 105 150 57 71 117 52 132 165 152 112 15 147 27 73 7 81 131 37 21 125 49 142 106 40 69 43 140 23 99 68 86 139 120 92 143 85 45 90 158 82 123 78

12 145 97 6 121 56 67 63 16

De andere tabel, die nodig is voor het tweede deel van de contradans, zullen we hier

niet gebruiken.

Door nu 8 keer met twee zuivere dobbelstenen te gooien, kun je in tabel 1 aflezen uit

welke maten het eerste deel van de contradans zal bestaan. Gooi je bijvoorbeeld bij

de eerste worp samen 10 ogen, dan lees je in kolom A af dat maat 99 de eerste maat

is. Gooi je daarna bijvoorbeeld samen 5 ogen, dan lees je in kolom B af dat maat 114

de tweede maat is. Zo ga je door totdat je uit elk van de kolommen A tot en met H

één maat hebt gekozen. De aldus verkregen acht maten vormen het eerste deel van de

contradans.

Iemand beweert dat er op deze wijze meer dan 200 miljoen verschillende eerste delen

van contradansen gemaakt kunnen worden.

13p

Onderzoek of deze bewering waar is.

Het is mogelijk dat na drie keer gooien met de beide dobbelstenen de maten

36 – 114 – 8 de eerste drie maten vormen van het eerste deel van een contradans.

24p

Bereken de kans op deze volgorde.

Iemand beweert dat de kans dat maat H een nummer heeft dat groter is dan 100

gelijk is aan

. Immers, in de kolom onder H staan 11 getallen, waarvan er 5 groter

zijn dan 100.

Met een berekening kunnen we aantonen dat deze bewering niet waar is.

36p

Bereken hoe groot deze kans wél is.

opgave 2Opgave 2 Koeling

Wageningse onderzoekers hebben zich verdiept in de groei van het aantal bacteriën in

voedsel. Bij constante bewaartemperatuur groeit het aantal bacteriën exponentieel.

De bijbehorende groeifactor hangt af van de bewaartemperatuur.

Bij een krantenartikel hierover stond de volgende grafiek. Zie figuur 2. De

schaalverdelingen langs de beide assen zijn zo gekozen dat de grafieken, die de groei

van het aantal bacteriën weergeven, rechte lijnen zijn.

Deze figuur is ook afgebeeld op de bijlage.

Temperatuursafhankelijkheid van het bederf van kip door pseudomonasbacteriën

aantal bacteriën per gram 1010 108 wwii ww nnkk aa ee aa ll rr dd BB bbiijj 44˚˚ CC bbee ww ww iinn aa kk aa ee rrdd ll AA bbiijj 00˚˚CC bbee 55 dd 00 ee mm rrffgg iill r j r joo ee ee nn nn ss bb ee 106 104 102 100 0 5 10 15 20 tijd in dagen

In de grafiek wordt de bacteriegroei beschreven in kip die bij 0 °C (winkel A)

respectievelijk 4 °C (winkel B) wordt bewaard.

44p

Toon aan dat bij 0 °C het aantal bacteriën zich per dag meer dan verdubbelt.

In figuur 2 is het aantal bacteriën per gram bij het begin gelijk aan 1000. De

bederfgrens ligt bij 50 miljoen bacteriën per gram. In de figuur is af te lezen dat kip

die voortdurend op 0 °C wordt bewaard, na 14 dagen de bederfgrens bereikt.

Door verbeterde hygiëne is men in staat het aantal bacteriën bij het begin terug te

brengen van 1000 per gram naar 100 per gram. Dit verlengt de houdbaarheid

natuurlijk.

Bij bewaren bij 0 °C (winkel A) duurt het dan in totaal 17 dagen voordat de

bederfgrens bereikt wordt. De houdbaarheid wordt dus met 3 dagen verlengd.

Bij bewaren bij 4 °C (winkel B) wordt de houdbaarheid door die verbeterde hygiëne

met minder dan 3 dagen verlengd. De groeifactor per dag die bij 4 °C hoort, is 8,3.

55p

Met hoeveel dagen wordt de houdbaarheid bij 4 °C door die verbeterde hygiëne

verlengd? Licht je antwoord toe. Je kunt daarbij gebruik maken van de figuur op de

bijlage.

In figuur 2 kunnen we zien dat de groeifactor per dag g van het aantal bacteriën

afhangt van de bewaartemperatuur. De onderzoekers hebben de volgende formule

hiervoor opgesteld:

g = 10

In deze formule is T de bewaartemperatuur in °C.

Met deze formule kun je dus bij iedere bewaartemperatuur de bijbehorende

groeifactor berekenen.

Bij de volgende vraag gaan we uit van kip die buiten de koelkast bij een temperatuur

van 18 °C bewaard wordt. Het aantal bacteriën per gram bij het begin is gelijk aan

100. De bederfgrens is nog steeds 50 miljoen bacteriën per gram.

64p

Onderzoek met een berekening of de bederfgrens binnen één dag bereikt wordt.

opgave 3Opgave 3 Kwaliteitscontrole

In een fabriek worden plastic zakken gevuld met suiker. De vulmachine staat

afgesteld op 510 gram.

Neem aan dat het gewicht van de zakken suiker normaal verdeeld is met een

gemiddelde µ van 510 gram en een standaardafwijking σ van 4 gram.

73p

Bereken hoeveel procent van alle zakken een gewicht minder dan 500 gram zal

hebben.

Om de kwaliteit van het vulproces te bewaken, wordt elk uur een aselecte steekproef

van 5 zakken suiker genomen. Van elke zak noteert men het gewicht. Ook wordt van

de steekproef het totale gewicht T berekend.

85p

Bereken de kans dat het totale gewicht van de steekproef minder is dan 2525 gram.

Verder bepaalt men van elke steekproef het gemiddelde gewicht ¯x en de

spreidingsbreedte R (dat is het verschil tussen de grootste en de kleinste meting).

Men noteert al deze gegevens op een controlekaart, de ¯x /R-kaart. Op de ¯x /R-kaart

hieronder (zie figuur 3) staan de meetresultaten van 10 steekproeven.

Iedere steekproef bestaat uit 5 zakken. Op de controlekaart worden de afwijkingen

van 500 gram bij ieder van deze 5 zakken genoteerd als x₁, x₂, x₃, x₄ en x₅.

Zo heeft de derde zak van de tweede steekproef een gewicht van 509 gram. Dit is

genoteerd als 9.

Het gemiddelde van de eerste steekproef is 509,6 gram. Dit wordt dan genoteerd als 9,6.

De spreidingsbreedte van de eerste steekproef is 515 – 504 = 11 gram.

¯x /R-kaart

steekproefnr 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 x 12 8 10 8 11 9 12 2 5 12 1 x 15 12 13 13 12 14 11 11 8 12 2 x 7 9 15 11 8 7 9 7 13 3 x 4 12 12 6 9 16 10 9 8 4 x 10 15 8 5 10 3 10 16 5 5 totaal T 48 56 58 43 50 53 49 42 45 50 gemiddelde x 9,6 11,2 11,6 8,6 10 10,6 9,8 8,4 9 10 spreidingsbr R 11 7 7 8 4 11 13 9 11 8 controle- 16 grens 14 12 10 8 controle- 6 grens 4 28 24 controle- 20 grens 16 12 8 4 traak-x traak- R

Bij steekproef nummer 6 zijn enkele gegevens onleesbaar geworden.

93p

Welke getallen kunnen hier bijvoorbeeld gestaan hebben? Licht je antwoord toe.

Bij de controle van het vulproces met behulp van de ¯x /R-kaart let men erop of ¯x of R

de zogeheten controlegrenzen overschrijden. Deze controlegrenzen zijn in de

grafieken met stippellijnen aangegeven. Zodra bij een steekproef een van deze

grenzen overschreden wordt, slaat men alarm.

Op een gegeven moment slaat men alarm bij een steekproef, terwijl met de waarde

van ¯x niets mis is.

104p

Wat zouden de vijf gewichten in deze steekproef bijvoorbeeld kunnen zijn? Licht je

antwoord toe.

De bij de controles gebruikte zakken legt men in een bak om ze later met de hand in

dozen te verpakken. Aan het eind van een dag liggen er 50 zakken in de bak. Daarvan

hebben 30 een Nederlandse opdruk en 20 een Arabische opdruk (bestemd voor de

export).

Een werknemer zet twee dozen voor zich, een voor de Nederlandse zakken en een

voor de Arabische. In elke doos passen 5 zakken. Hij pakt telkens aselect een zak uit

de bak en doet die in de goede doos. Zodra hij een doos vol heeft, plakt hij die dicht

en neemt hij zo nodig een nieuwe.

114p

Bereken de kans dat hij na 5 zakken de doos voor de Nederlandse zakken vol heeft.

Geef je antwoord in 4 decimalen nauwkeurig.

opgave 4Opgave 4 Tillen

Veel rugklachten worden veroorzaakt door het (verkeerd) tillen van zware voorwerpen. Het Amerikaanse National Institute for Occupational Safety and Health (NIOSH) heeft een methode ontwikkeld om voor iedere tilsituatie het aanbevolen maximale tilgewicht RWL (Recommended Weight Limit) te bepalen. In figuur 4 is zo’n tilsituatie afgebeeld. figuur 4 In deze figuur is H de horizontale afstand in cm van de handen tot de enkels bij het begin van het tillen, V de verticale afstand in cm van het voorwerp tot de vloer bij het begin van het tillen en D de verticale afstand in cm waarover het voorwerp moet worden getild. Verder hangt de tilsituatie af van de tilfrequentie F. Dit is het aantal keren per minuut dat een voorwerp wordt getild. De RWL (in kg) wordt berekend door 23 kg te vermenigvuldigen met een aantal reductiefactoren die afhangen van de afstanden H , V en D en van de tilfrequentie F . In een formule: RWL = 23 ⋅ HF ⋅ VF ⋅ DF ⋅ FF Hierin zijn HF , VF , DF en FF de reductiefactoren. De reductiefactor VF hangt af van de afstand V volgens de onderstaande formule: { 1 + 0,003 ⋅ ( V – 75) voor 0 ≤ V ≤ 75 VF = / 1 – 0,003 ⋅ ( V – 75) voor 75 ≤ V ≤ 200

De reductiefactoren HF en DF hangen af van de afstanden H en D volgens de 25 4,5 . formules HF = — en DF = 0,82 + — H D De reductiefactoren HF , VF , DF en FF zijn allemaal kleiner dan of gelijk aan 1.Als H zo klein is dat HF volgens bovenstaande formule groter dan 1 zou zijn, wordt de formule voor HF niet gebruikt. In dat geval neemt men HF = 1. Hetzelfde geldt voor DF : als D zo klein is dat DF volgens bovenstaande formule groter dan 1 zou zijn, wordt de formule voor DF niet gebruikt. In dat geval neemt men DF = 1.

Bereken de kleinste waarde van D waarbij de formule voor DF nog te gebruiken is. De reductiefactor FF hangt af van de tilfrequentie F .Voor het verband tussen F en FF heeft men geen formule opgesteld. In plaats daarvan maakt men gebruik van de waarden in tabel 2. tabel 2 frequentie F ≤ (aantal keren per minuut) 0,2 0,5 1 2 3 4 FF 1,00 0,97 0,94 0,91 0,88 0,84 0,80 0,75 0,70 0,60 0,52 0,45 0,41 0,37 Volgens de NIOSH-methode wordt een tilsituatie veilig genoemd als het gewicht (in kg) van het te tillen voorwerp niet groter is dan de RWL . Een werknemer moet vijf keer per minuut een krat van een lopende band in een spoelmachine tillen. Er geldt H = 40 cm, V = 60 cm en D = 30 cm. De kratten wegen 10 kg.

Onderzoek of dit volgens de NIOSH-methode een veilige tilsituatie is. Een Arbo-dienst gebruikt voor de bepaling van FF in plaats van de tabel de volgende benaderingsformule: FF = 1 – 0,05 F . De dienst beweert dat de waarden van FF volgens deze formule niet meer dan 10% afwijken van de waarden volgens de tabel.

opgave 5Opgave 5 Wijnvoorraad

Een wijnboer heeft op 1 januari 2000 een wijngaard gekocht die goed is voor een jaarproductie van 400 hl wijn (1 hl = 1 hectoliter = 100 liter). De wijnboer wil er kwaliteitswijn produceren die lang houdbaar is. Hoe langer hij de wijn bewaart, hoe meer deze waard wordt. Als de wijnboer elk jaar direct al zijn wijn verkoopt, dan kan hij niet van deze waardevermeerdering profiteren. Maar als hij al zijn wijn opslaat in zijn wijnkelders, dan raken deze snel vol en heeft de wijnboer voorlopig geen inkomsten. De wijnboer is van plan om jaarlijks 40% te verkopen van de wijn uit dat jaar en van de wijn die nog over is uit elk voorgaand jaar. De rest voegt hij toe aan de voorraad. De grootte van deze voorraad wordt aan het begin van elk jaar, dus op 1 januari, bepaald. In tabel 3 kunnen we zien hoe de wijnvoorraad zich gedurende de eerste jaren ontwikkelt. tabel 3 Voorraad in hl bij verkoop van 40% van de wijn per jaar Op 1 januari 2003 is er 240 hl over van de wijn die in 2002 geproduceerd is. Hiervan is, zoals we in de tabel kunnen zien, op 1 januari 2005 nog 86,4 hl in voorraad. Verder kunnen we zien dat de totale voorraad op 1 januari 2002 bestaat uit 240 hl nieuwe wijn en 144 hl 1-jarige wijn, samen dus 384 hl. De 240 hl is afkomstig van de productie van het jaar 2001 en de 144 hl is afkomstig van de nieuwe wijn uit de voorraad van het jaar 2001. Alle hoeveelheden wijn in deze tabel, behalve de totale voorraad, kunnen berekend worden met behulp van de volgende formule: hoeveelheid = 240 ⋅ (0,6) n In deze formule geeft n aan hoeveel jaren oud de wijn is.

Om de totale voorraad (in hl) te berekenen, kunnen we gebruik maken van de totale voorraad = 240 In deze formule is t het aantal jaren na 2000. Met bijvoorbeeld t = 4 bedoelen we hier Met behulp van de gegevens uit de tabel kan deze formule eenvoudig gecontroleerd worden voor t = 1, 2 en 3. Met behulp van de somformule voor meetkundige rijen kun je aantonen dat deze formule voor iedere waarde van t geldt.

Toon aan dat deze formule voor iedere waarde van t geldt. De wijnboer overweegt om niet 40% van de jaarproductie te verkopen, maar een ander percentage. Veronderstel dat hij jaarlijks p % verkoopt. Ook in dat geval kunnen we met behulp van een formule nagaan hoe groot de totale voorraad (in hl) op 1 januari 2007 zal zijn. Deze formule ziet er als volgt uit: 400 ⋅ ⋅ { p 7 } voorraad = p (100 – p ) 1 – (1 – 100 ) Als de wijnboer jaarlijks slechts 1% zou verkopen, zou de wijnvoorraad op 1 januari 2007 een aanzienlijk percentage bevatten van alle wijn die gedurende deze 7 jaar geproduceerd is.