bronnen

Eindexamen wiskunde B vwo 2018, tijdvak 1

naslagFormules

Goniometrie
sin(t + u) = sin(t)cos(u) + cos(t)sin(u)
sin(t − u) = sin(t)cos(u) − cos(t)sin(u)
cos(t + u) = cos(t)cos(u) − sin(t)sin(u)
cos(t − u) = cos(t)cos(u) + sin(t)sin(u)
sin(2t) = 2sin(t)cos(t)
cos(2t) = cos2(t) − sin2(t) = 2cos2(t) − 1 = 1 − 2sin2(t)

opgave 2Bewegend punt

De beweging van een punt P figuur
wordt gegeven door de volgende
bewegingsvergelijkingen:
xy((tt)) = = 1(1 − + t^2t)^2
In de figuur is de baan van P
weergegeven.
y A O x
De baan van P snijdt de y-as in de oorsprong O en in punt A.
Zie de figuur.
14p

Parametervoorstellingen en bewegingen 2p · Kettingregel 1pexact

Bereken exact de snelheid waarmee P door punt A gaat.
Voor elke waarde van t bevindt P zich op de kromme met vergelijking:
(x + y)2 = 4y
24p

Formules herleiden en omwerken 4pexact

Bewijs dit.

opgave 3Lijn door de toppen

Voor elke waarde van a met a > 0 wordt de functie fa gegeven door
fa(x) = xeax.
De afgeleide functie fa' wordt gegeven door fa'(x) = eax + axeax.
In figuur 1 zie je voor een aantal waarden van a de grafiek van fa.
Ook is de lijn l met vergelijking y = (1)/(e)x weergegeven.
figuur 1
y l O x
Voor elke waarde van a met a > 0 heeft de grafiek van fa precies één
top.
34p

Extremen en optimaliseren 3p · Lineaire en kwadratische vergelijkingen exact oplossen 1pexact

Bewijs dat deze top op lijn l ligt.
De functie Fa is gegeven door:
F_a(x) = (1)/(a)xe^a^x − (1)/(a2)e^a^x
Fa is een primitieve van fa.
43p

Product- en quotiëntregel 2p · Kettingregel 1pexact

Bewijs dat Fa inderdaad een primitieve van fa is.
Voor f1 geldt f1(x) = xex. In figuur 2 is de grafiek van f1 getekend, en ook
lijn l. Het vlakdeel tussen lijn l en de grafiek van f1 is grijs gemaakt.
figuur 2
y f1 l O x
55p

Bepaalde integralen en oppervlakte 2p · Primitiveren 2p · Exponentiële en logaritmische vergelijkingen exact oplossen 1pexact

Bereken exact de oppervlakte van het grijze vlakdeel.

opgave 4Zwaartepunt en rakende cirkels

Gegeven is cirkel c met middelpunt M(14,8) en straal 10. Deze cirkel
snijdt de x-as in de punten A en B met xA < xB. Zie figuur 1.
In A bevindt zich een puntmassa met massa 3, in B een puntmassa met
massa 1 en in M een puntmassa met massa 2.
figuur 1
y c M A B O x
65p

Vectoren en inproduct 2p · Cirkels: vergelijking, middelpunt en straal 1p · Lijn en cirkel: snijpunten en raaklijnen 1p · +1exact

Bereken exact de coördinaten van het zwaartepunt van deze drie
puntmassa’s.
De cirkel d met middelpunt N raakt de y-as in de oorsprong O en raakt
cirkel c zoals weergegeven in figuur 2. Deze figuur staat ook op de
uitwerkbijlage.
figuur 2
y c M O N x d
75puitwerkbijlage

Lineaire en kwadratische vergelijkingen exact oplossen 2p · Afstanden met coördinaten 1p · Pythagoras, sinus, cosinus en tangens 1pexact

Bereken exact de straal van cirkel d. Je kunt hierbij gebruikmaken van de
figuur op de uitwerkbijlage.

opgave 5Maxima en minima

De functie f wordt gegeven door f(x) = 6sin(x) − cos(2x).
De grafiek van f heeft oneindig veel toppen.
86p

Goniometrische vergelijkingen exact oplossen 3p · Kettingregel 2p · Goniometrische formules en herleidingen 1pexact

Bereken exact de x-coördinaten van alle toppen van de grafiek van f.
Een van de toppen is het punt P(1(1)/(2)π, − 5).
De grafiek van f is symmetrisch ten opzichte van de verticale lijn door P.
Boven P wordt een horizontaal lijnstuk van lengte 2 geplaatst, waarvan de
eindpunten op de grafiek van f liggen. Zie de figuur.
figuur
y x = 1 1_ 2 O x P
94p

Eigenschappen van functies en grafieken 2p · Rekenen met een gegeven formule 2pGR mag

Bereken de afstand van P tot het horizontale lijnstuk. Rond je
eindantwoord af op twee decimalen.

opgave 6Sheffield Winter Garden

Voor elke waarde van k met k > 0 wordt de functie fk gegeven door:
f_k(x) = (1)/(2k)(e^k^x + e^ −^k^x)
De grafiek van fk wordt een kettinglijn genoemd.
Op de grafiek van fk worden twee punten P en Q met gelijke y-coördinaat
gekozen. De lengte van het deel van de kettinglijn tussen P en Q noemen
we l. De top T van de kettinglijn ligt op de y-as. De afstand van T tot de
horizontale lijn PQ noemen we d. Zie figuur 1.
Er geldt: k = (8d)/(l2 − 4d2)
figuur 1
104p

Formules en vergelijkingen opstellen 2p · Rekenen met een gegeven formule 1pGR mag

In figuur 1 is voor k = 0,7, xP = −3 en
xQ = 3 het bijbehorende deel van de kettinglijn
getekend.
Bereken voor de situatie van figuur 1 de lengte
van het deel van de kettinglijn tussen P en Q.
Rond je eindantwoord af op twee decimalen.
y P Q d f 0,7 T −3 O 3 x
Als het deel van de grafiek van fk
foto
tussen P en Q wordt gespiegeld in
de x-as en vervolgens omhoog wordt
geschoven, ontstaat een boog.
Bij de bouw van de Sheffield Winter
Garden, een in 2003 geopende
plantenkas, is gebruikgemaakt van
foto
dergelijke bogen. Zie de foto.
De ontwerpers hebben een tekening
figuur 2
gemaakt van het vooraanzicht van het
gebouw. Dit vooraanzicht bestaat uit
acht bogen. Zie figuur 2. In de rest van
deze opgave kijken we naar de
grootste boog. Deze boog is in figuur 2
dikker gedrukt.
figuur 2
Voor de grootste boog in deze tekening geldt:
− de lengte van de boog is 49,63 meter;
− het hoogste punt van de boog bevindt zich 20,51 meter boven de
grond.
Bij deze grootste boog gaan we een functievoorschrift opstellen.
We kiezen daartoe een assenstelsel waarbij de x-as door de onderste
punten van de boog gaat en de top van de boog op de y-as ligt.
De eenheden langs de assen zijn meters.
In dit assenstelsel wordt de boog weergegeven door de grafiek van een
functie h.
De grafiek van deze functie h ontstaat door de grafiek van een functie fk
te spiegelen in de x-as en de beeldgrafiek vervolgens omhoog te
schuiven.
Er is precies één waarde van k waarvoor de beeldgrafiek de juiste lengte
en hoogte heeft.
115p

Transformaties van grafieken 3p · Rekenen met een gegeven formule 1pGR mag

Stel een functievoorschrift op van h. Rond de getallen in je eindantwoord
af op twee decimalen.

opgave 7Natuurlijke logaritme van de wortel

De functie f wordt gegeven door f ( x ) = ln ( x ) . Deze functie heeft een inverse functie f inv . Er geldt: f inv ( x ) = e 2 x .

Inverse functies 3pexact

Bewijs dat inderdaad geldt f inv ( x ) = e 2 x . De grafiek van f inv wordt ten opzichte van de x -as met factor ½ vermenigvuldigd. Zo ontstaat de grafiek van de functie g . Elke verticale lijn rechts van de y -as snijdt de grafiek van f in één punt en de grafiek van g in één punt. Het lijnstuk…

Bewijs dat inderdaad geldt f inv ( x ) = e 2 x . De grafiek van f inv wordt ten opzichte van de x -as met factor ½ vermenigvuldigd. Zo ontstaat de grafiek van de functie g . Elke verticale lijn rechts van de y -as snijdt de grafiek van f in één punt en de grafiek van g in één punt. Het lijnstuk tussen deze twee punten heeft een lengte die afhangt van de plaats van de verticale lijn. Zie de figuur. figuur

opgave 8Vierkant onder grafiek

Voor x > 0 wordt de functie f gegeven door f(x) = (1)/(x).
In de figuur is de grafiek van f getekend. Onder de grafiek is een vierkant
getekend met twee zijden evenwijdig aan de x-as en twee zijden
evenwijdig aan de y-as.
figuur
y f O 1 x
Het vierkant heeft linksonder hoekpunt (1,0). Het hoekpunt rechtsboven
ligt op de grafiek van f.
154p

Lineaire en kwadratische vergelijkingen exact oplossen 2p · Formules en vergelijkingen opstellen 1p · Vergelijkingen met machten, wortels en breuken exact oplossen 1pexact

Bereken exact de lengte van de zijde van het vierkant.
Let op: de laatste vragen van dit examen staan op de volgende pagina.

opgave 9Twee vierkanten op een kwartcirkel

Gegeven zijn de punten A(1,0) en B(0,1). Punt C bevindt zich op de
kwartcirkel door A en B met middelpunt O(0,0). Op de lijnstukken AC en
BC worden twee vierkanten ADEC en BCFG getekend. Zie figuur 1.
figuur 1
y G F E B C D t O A x
De grootte van hoek AOC (in radialen) noemen we t, met 0 < t < (1)/(2)π.
Punt C heeft dus coördinaten (cos(t),sin(t)).
Er is een waarde van t waarvoor de oppervlakte van vierkant ADEC twee
keer zo groot is als de oppervlakte van vierkant BCFG.
165p
Bereken deze waarde van t. Rond je eindantwoord af op twee decimalen.
In figuur 2 is de situatie van figuur 1 uitgebreid met vector OF.
Deze figuur staat vergroot op de uitwerkbijlage.
figuur 2
y G F E B C D t O A x
Voor elke waarde van t met 0 < t < (1)/(2)π geldt: OF = 1 − sisni(nt()t +) + cocso(st()t)
174puitwerkbijlage
Bewijs dit. Je kunt hierbij gebruikmaken van de figuur op de
uitwerkbijlage.