bronnen

Eindexamen wiskunde B vwo 2018, tijdvak 2

naslagFormules

Goniometrie
sin(t + u) = sin(t)cos(u) + cos(t)sin(u)
sin(t − u) = sin(t)cos(u) − cos(t)sin(u)
cos(t + u) = cos(t)cos(u) − sin(t)sin(u)
cos(t − u) = cos(t)cos(u) + sin(t)sin(u)
sin(2t) = 2sin(t)cos(t)
cos(2t) = cos2(t) − sin2(t) = 2cos2(t) − 1 = 1 − 2sin2(t)

opgave 2Loodrecht in de perforatie

De functie f is gegeven door f ( x ) Ook is gegeven de functie h door Voor x ≠ 0 geldt: f ( x ) = h ( x )

Formules herleiden en omwerken 3pexact

Bewijs dat voor x ≠ 0 geldt: f ( x ) = h ( x ) 4 x 2 x + x Verder is de functie g gegeven door g ( x ) = Er is een lijn k die voor x ≠ 0 samenvalt met de grafiek van g . In figuur 1 zijn de grafieken van f en g weergegeven. Punt P (0,1) is de perforatie van beide grafieken. In figuur 2 zijn de…

Bewijs dat voor x ≠ 0 geldt: f ( x ) = h ( x ) 4 x 2 x + x Verder is de functie g gegeven door g ( x ) = Er is een lijn k die voor x ≠ 0 samenvalt met de grafiek van g . In figuur 1 zijn de grafieken van f en g weergegeven. Punt P (0,1) is de perforatie van beide grafieken. In figuur 2 zijn de grafiek van h en lijn k weergegeven en ook hun snijpunt P . figuur 1 figuur 2 Er geldt: de grafieken van f en g staan in hun perforatie P loodrecht op elkaar als de grafiek van h en lijn k in hun snijpunt P loodrecht op elkaar staan.

opgave 3IJsbol

De snelheid waarmee een ijsklontje smelt, hangt
foto
onder andere af van de verhouding tussen de
oppervlakte A in cm2 en het volume V in cm3 van
het ijsklontje. Deze verhouding wordt uitgedrukt in
het quotiënt (A)/(V).
Voorbeeld: bij een kubusvormig ijsklontje met
ribben van 3 cm is dit quotiënt gelijk aan (54)/(27) = 2.
Er zijn ook bolvormige ijsklontjes ofwel ijsbollen.
Zie de foto.
foto
Voor een bol met straal r gelden voor A en V de
formules A = 4πr2 en V = (4)/(3)πr^3.
Bij een ijsbol met hetzelfde volume als het genoemde kubusvormige
ijsklontje met ribben van 3 cm is het quotiënt (A)/(V) kleiner dan 2.
34p

Rekenen met een gegeven formule 2p · Formules en vergelijkingen opstellen 1p · Vergelijkingen met machten, wortels en breuken exact oplossen 1pexact

Bereken algebraïsch dit quotiënt bij deze ijsbol. Rond je eindantwoord af
op 2 decimalen.
Een ijsbol wordt in een glas water gedaan,
figuur
waarna de ijsbol in het water drijft. Op het
moment dat de ijsbol in het water wordt
gedaan, heeft deze een straal van 1,5 cm.
Er geldt dat 92% van het volume van de
ijsbol onder water zit en 8% erboven.
Het volume van de ijsbol is dan
(4)/(3)π ⋅ 1,5^3 ≈14,137 cm3.
Het deel van de ijsbol onder het
wateroppervlak is op te vatten als een
omwentelingslichaam dat ontstaat bij
wenteling van een deel van de cirkel met
y O x
vergelijking x2 + y2 = 2,25 om de y-as.
Zie de figuur.
45p

Vergelijkingen en snijpunten met de GR oplossen 3p · Inhoud van omwentelingslichamen 2pGR mag

Bereken hoeveel cm de ijsbol boven het water uitsteekt op het moment
dat hij in het water wordt gedaan. Rond je eindantwoord af op
2 decimalen.
In een wiskundig model van het smelten van een ijsbol wordt ervan
uitgegaan dat de ijsbol tijdens het smelten bolvormig blijft.
De straal van de ijsbol is afhankelijk van de tijd. De straal van de ijsbol op
tijdstip t is r(t), met t in minuten.
Het volume van de ijsbol op tijdstip t is dan V(t) = (4)/(3)π(r(t))^3. In het model
wordt er verder van uitgegaan dat de formule van r(t) lineair is.
Een ijsbol heeft op tijdstip t = 0 een straal van 1,5 cm. Op tijdstip t = 10 is
het volume van deze ijsbol gehalveerd. Vanaf een bepaald tijdstip is er
geen ijs meer aanwezig.
55p

Lineaire functies 2p · Rekenen met een gegeven formule 1p · Vergelijkingen met machten, wortels en breuken exact oplossen 1p · +1GR mag

Bereken vanaf welk geheel aantal minuten er voor het eerst geen ijs meer
aanwezig is.

opgave 4Constante verhouding

Voor a > 0 wordt de functie fa gegeven door fa(x) = x − xln(ax).
64p

Formules herleiden en omwerken 4pexact

Bewijs dat voor elke toegestane waarde van x geldt:
(a a)/(2)f(x) + f_1(x) = f_1(x)
Voor elke positieve waarde van a geldt:
− de grafiek van fa snijdt de x-as in precies één punt S (met
x-coördinaat xS);
− de grafiek van fa heeft één top T (met x-coördinaat xT).
In de figuur zijn voor een waarde van a de grafiek van fa en de punten S
en T weergegeven.
figuur
y T f a S O x

opgave 5Gekanteld vierkant

Gegeven is het vierkant ABCD
figuur 1
85p

Meetkundig bewijzen 2p · Cirkels: vergelijking, middelpunt en straal 2p · Afstanden met coördinaten 1pGR mag

met hoekpunten A(8,0), B(0,4),
C(−4, − 4) en D(4, − 8).
Op zijde AB ligt het punt P(2,3).
Zie figuur 1.
De punten B, C en P liggen op
één cirkel.
Stel een vergelijking op van deze
cirkel.
B P A O x C D
Over lijnstuk DP beweegt
figuur 2
95p

Stelsels van lineaire vergelijkingen 3p · Lijnen: vergelijking, snijpunt en loodlijn 2pexact

(van D naar P) een punt Q.
Er is een positie van Q waarvoor
lijnstuk CQ loodrecht staat op
lijnstuk DP. Zie figuur 2.
Bereken voor deze positie exact de
coördinaten van Q.
B P A O x Q C D
In figuur 3 is driehoek CDQ grijs
figuur 3
105p

Vectoren en inproduct 3p · Formules en vergelijkingen opstellen 1p · Gelijkvormigheid 1pexact

gemaakt.
Er is een positie van Q waarbij de
oppervlakte van driehoek CDQ een
derde deel is van de oppervlakte van
vierkant ABCD.
Bereken voor deze positie exact de
coördinaten van Q.
B P A O Q x C D

opgave 7Een baan

figuur 1 Een punt beweegt voor 0 ≤ t ≤ 2 π volgens de bewegingsvergelijkingen: x ( t ) = cos( t )sin(2 t ) y ( t ) = cos( t ) De baan van het bewegende punt is weergegeven in figuur 1. Voor t = ½ π en t = 1 ½ π bevindt het bewegende punt zich in O . Deze situatie laten we in de gehele opgave…

figuur 1 Een punt beweegt voor 0 ≤ t ≤ 2 π volgens de bewegingsvergelijkingen: x ( t ) = cos( t )sin(2 t ) y ( t ) = cos( t ) De baan van het bewegende punt is weergegeven in figuur 1. Voor t = ½ π en t = 1 ½ π bevindt het bewegende punt zich in O . Deze situatie laten we in de gehele opgave verder buiten beschouwing. P t is de positie van het bewegende punt op tijdstip t . Er geldt: de lijn door P a en P π− a is voor elke in deze situatie mogelijke waarde van a verticaal.

opgave 8Buiten een vierkant

Gegeven is het vierkant OABC met O(0,0), A(4,0) en C(0,4).
Het snijpunt van OB en AC is het punt S.
Het punt M(3,2) is het middelpunt van een cirkel door A en B.
De punten F en G zijn de snijpunten van deze cirkel met CS
respectievelijk OS. Zie figuur 1.
figuur 1
F M S G
Er geldt: F is het midden van CS.
155p

Cirkels: vergelijking, middelpunt en straal 1p · Lijnen: vergelijking, snijpunt en loodlijn 1p · Lijn en cirkel: snijpunten en raaklijnen 1p · +1exact

Bewijs dat F inderdaad het midden is van CS.
Verder geldt: G is het midden van OS.
In figuur 2 zijn de cirkelsectoren BMF en GMA grijs gemaakt.
figuur 2
F M S G
De oppervlakte van deze twee sectoren samen is gelijk aan de helft van
de oppervlakte van de cirkel.
163p

Vectoren en inproduct 3pexact

Bewijs dit.