naslagFormules
Vlakke meetkunde
Verwijzingen naar definities en stellingen die bij een bewijs mogen worden
gebruikt zonder nadere toelichting.
Hoeken, lijnen en afstanden:
gestrekte hoek, rechte hoek, overstaande hoeken, F-hoeken, Z-hoeken,
afstand punt tot lijn, driehoeksongelijkheid.
ice, bissectricepaar, middenparallel, cirkel,parabool.
driehoek, buitenhoek driehoek, congruentie: HZH, ZHH, ZHZ,ZZZ, ZZR; gelijkvormigheid: hh, zhz, zzz, zzr; middelloodlijnen driehoek,
bissectrices driehoek, hoogtelijn driehoek, hoogtelijnen driehoek,
zwaartelijn driehoek, zwaartelijnen driehoek, gelijkbenige driehoek,
gelijkzijdige driehoek, rechthoekige driehoek, Pythagoras, gelijkbenige
rechthoekige driehoek, halve gelijkzijdige driehoek.
vierhoek, parallellogram, ruit, rechthoek, vierkant.Cirkel, koorden, bogen, hoeken, raaklijn, vierhoeken:
koorde, boog en koorde, loodlijn op koorde, middellijn, Thales,
middelpuntshoek, omtrekshoek, constante hoek, raaklijn, hoek tussen
koorde en raaklijn, koordenvierhoek.
Goniometrie
sin(t + u) = sin(t)cos(u) + cos(t)sin(u)
cos
sin(t − u) = sin(t)cos(u) − cos(t)sin(u)
cos
cos(t + u) = cos(t)cos(u) − sin(t)sin(u)
cos
cos(t − u) = cos(t)cos(u) + sin(t)sin(u)
sin
opgave 2Twee functies
De functies f en g zijn gegeven door:
14pKettingregel 2p · Vergelijkingen en snijpunten met de GR oplossen 2pGR mag
f(x) = e−x en
, met
x > −1 In figuur 1 zijn de grafieken van f en g
getekend.
Beide grafieken gaan door het punt (0, 1) en
de twee grafieken hebben in (0, 1) dezelfde
helling.
Behalve x = 0 is er nog een tweede waarde
van x waarvoor de grafieken van f en g
dezelfde helling hebben.
Bereken deze waarde van x in twee decimalen
nauwkeurig.
Het vlakdeel ingesloten door de grafiek van g, de y-as, de x-as en de lijn
x = a, met a > 0, noemen we W. Zie figuur 2.
figuur 2
Als de waarde van a onbegrensd toeneemt, neemt de oppervlakte van W
ook onbegrensd toe.
Er is bijvoorbeeld een waarde van a waarvoor geldt: de oppervlakte van W
is 2011.
opgave 3Temperatuur in de aardbodem
Per 24 uur schommelt de temperatuur aan het aardoppervlak en daardoor
ook de temperatuur in de aarde. Naarmate je op een bepaalde plek dieper
de aardbodem ingaat, zijn de temperatuurschommelingen minder groot.
Bovendien lopen ze achter in de tijd ten opzichte van de
temperatuurschommeling aan het aardoppervlak.
In figuur 1 zie je voor een bepaalde plaats in Nederland het dagelijkse
temperatuurverloop op verschillende dieptes als functie van de tijd t, met t
in uren. Hierbij geldt t = 0 om middernacht in het begin van een week met
zacht zomerweer. Voor elk van deze geringe dieptes is de
evenwichtsstand van het temperatuurverloop (bij benadering) 20,0 °C. Bij
elke grafiek is met een dubbele pijl de amplitude aangegeven.
figuur 1
De amplitude van het temperatuurverloop blijkt exponentieel af te hangen
van de diepte in de aardbodem.
De diepte waarop de amplitude is afgenomen tot
-de deel van de
amplitude aan het aardoppervlak wordt de dempingsdiepte genoemd. Er
Hierin is z de diepte in de aardbodem in centimeter, A(z) de amplitude
van het temperatuurverloop in graden Celsius op diepte z cm en D de
dempingsdiepte in centimeter.
In figuur 1 zijn onder andere de amplitudes A(0) = 10,0 en A(15) = 2,9
aangegeven.
33pVergelijkingen en snijpunten met de GR oplossen 2p · Formules en vergelijkingen opstellen 1pGR mag
Bereken uitgaande van de genoemde amplitudes de waarde van D in één
decimaal nauwkeurig.
Gebruikmakend van de waarden van A(0) en D kan de formule voor de
amplitude worden herschreven tot A(z) = 10,0 ⋅ 0,92z. Met deze formule
werken we in het vervolg van deze opgave.
De grafieken in figuur 1 zijn sinusoïden met een evenwichtsstand van
20,0 °C en een periode van 24 uur. De grafiek die hoort bij z = 0 gaat bij
t = 7,9 stijgend door de evenwichtsstand. Bij elke centimeter dieper in de
aardbodem gaat de bijbehorende grafiek ongeveer 0,28 uur later door de
evenwichtsstand.
Voor de situatie van figuur 1 komen we uit op de volgende formule voor
de temperatuur in de aardbodem:
T = 20,0 + 10,0 ⋅ 0,92z ⋅ sin
Hierin is z de diepte in de aardbodem in centimeter, T de temperatuur op
deze diepte in graden Celsius en t de tijd in uren met t = 0 om
middernacht. Deze formule geldt voor 0 ≤ z ≤ 30 en 0 ≤ t ≤ 48.
De temperatuur op 15 cm diepte in de aardbodem bereikt op een bepaald
tijdstip van de dag zijn maximale waarde.
opgave 4Koorde evenwijdig aan raaklijn
Gegeven is een cirkel c met middelpunt M en een punt P op c . Op het verlengde van de straal MP ligt het punt A zo dat MP = PA . Een raaklijn door A aan c raakt de cirkel in het punt B . Het punt Q ligt op c zo dat de koorde PQ evenwijdig is aan de raaklijn AB . Zie figuur 1. In deze figuur is ook de straal MQ getekend. Deze figuur staat ook op de uitwerkbijlage. figuur 1 Er geldt: MQP = BAM
opgave 5Wortelfunctie met cosinus
In figuur 1 is een sinusoïde getekend die de grafiek is van een functie f
met domein [0,2π].
figuur 1
Het bijbehorende functievoorschrift kan op dit domein geschreven worden
als
.
75pKettingregel 2p · Vergelijkingen met machten, wortels en breuken exact oplossen 1p · Goniometrische vergelijkingen exact oplossen 1p · +1exact
Bereken exact de richtingscoëfficiënt van de raaklijn aan de grafiek van f
in het punt op de grafiek waarvan de
y-coördinaat
is en de
x-coördinaat groter dan π is.
In figuur 2 zijn de grafiek van
f en de lijnen
en
getekend. Deze lijnen raken de grafiek van f in respectievelijk (0, 0) en
.
Het vlakdeel V wordt begrensd door de grafiek van f en de twee
genoemde lijnen. Dit vlakdeel is in figuur 2 grijs gemaakt.
figuur 2
Het omwentelingslichaam L ontstaat bij wenteling van V om de x-as.
opgave 6Twee lijnen die raken aan parabolen
De functie
f is gegeven door
. De lijn met vergelijking
y = xraakt aan de grafiek van f. Vanwege symmetrie in de y-as raakt ook de lijn
y = − x aan de grafiek van f.
Het vlakdeel V wordt begrensd door de grafiek van f en de twee
raaklijnen.
Zie figuur 1.
figuur 1
96pLineaire en kwadratische vergelijkingen exact oplossen 2p · Bepaalde integralen en oppervlakte 2p · Raaklijnen aan grafieken 1p · +1exact
Bereken exact de oppervlakte van het vlakdeel V.
Voor elk tweetal positieve waarden van a en b is de functie ga,b gegeven
door
ga,b(x) = ax2 + b. We bekijken de functies
ga,b die de lijn
(en
dus ook de lijn
) als raaklijn aan hun grafiek hebben. In figuur 2
zijn de grafieken van drie van zulke functies en de lijnen
en
getekend.
figuur 2
Voor alle functies
ga,b die de lijn
(en dus ook de lijn
) als
raaklijn aan hun grafiek hebben, kunnen we b uitdrukken in a.
opgave 7Koordenvierhoek en gelijke hoeken
Gegeven is koordenvierhoek ABCD
met de twee diagonalen AC en BD,
die elkaar in punt S snijden.
Op lijnstuk CS ligt punt F en op lijnstuk
DS ligt punt E zó dat de lijnstukken AB
en EF evenwijdig zijn.
Zie figuur 1. De cirkel door de
hoekpunten van de koordenvierhoek is in
deze figuur gestippeld. Deze figuur staat
ook op de uitwerkbijlage.
Vierhoek CDEF is een koordenvierhoek.
115puitwerkbijlageMeetkundig bewijzen 5pexact
Bewijs dit. Je kunt hierbij gebruik maken
van de figuur op de uitwerkbijlage.
In figuur 2 is, behalve de situatie van
123puitwerkbijlageMeetkundig bewijzen 3pexact
figuur 1, ook de cirkel door de punten
C, D, E en F getekend. Ook deze figuur
staat op de uitwerkbijlage.
Bewijs dat
. Je kunt
hierbij gebruik maken van de figuur op de
uitwerkbijlage.
opgave 8Fontein
Op de foto is de Crown Fountain in Chicago te
zien.
In figuur 1 is een cilindervormige vijverfontein
getekend die volgens hetzelfde principe werkt.
In de verticale, holle cilinderbuis wordt water tot een
hoogte van 2,50 meter opgepompt. In de buis is op
een hoogte h meter boven de grond een klein gat
aangebracht. Uit dit gat spuit in horizontale richting
water. Omdat de pomp er ondertussen voor zorgt
dat het water in de buis 2,50 meter hoog blijft,
krijgen we een waterstraal te zien die bij benadering
de vorm heeft van een halve parabool.
De waterstraal komt op afstand d meter van de cilinderbuis op het
wateroppervlak in de vijver. Zie figuur 1 en figuur 2.
De horizontale uitstroomsnelheid v van het water bij het gat hangt af van
de hoeveelheid water die zich boven het gat bevindt en dus van de hoogte
h van het gat. Er geldt bij benadering:
, met
v in meter per seconde en
h in meter.
In een geschikt assenstelsel beweegt een waterdruppel (uit de
waterstraal) met coördinaten (x, y) bij benadering volgens de
vergelijkingen:
x = v ⋅ t
y = h − 4,9 ⋅ t2
Hierin is t de tijd in seconden en t = 0 op het moment dat de waterdruppel
het gat passeert (zodat dan geldt x = 0 en y = h).
Voor de waarde van t die hoort bij het tijdstip waarop de waterdruppel in
de vijver valt, geldt x = d en y = 0. Zie figuur 1 en figuur 2.
Er geldt:
135pFormules herleiden en omwerken 3pexact
Leid langs algebraïsche weg deze laatste formule af uit de gegeven
formules voor v, x en y.
Door de hoogte h van het gat te veranderen, verandert ook de plaats waar
de waterstraal in de vijver terechtkomt. Er is een hoogte van het gat
waarvoor de afstand van deze plaats tot de buis maximaal is.
opgave 9Vierkant tussen buigpunten
De functie fp is voor elke waarde van p gegeven door:
fp(x) = (x − 3p)(x2 − 3p)
Voor elke waarde van p hebben de grafieken van fp en f−p beide een
buigpunt. In de onderstaande figuur zijn voor een waarde van p met p > 0
de grafieken van fp en f−p met hun buigpunten A en B getekend. Verder
is de rechthoek met hoekpunten A en B getekend waarvan twee zijden
evenwijdig zijn met de x-as en de andere twee zijden evenwijdig zijn met
de y-as.
figuur
De coördinaten van de buigpunten zijn afhankelijk van p.
Er is een positieve waarde van p waarvoor de rechthoek een vierkant is.
